第二十四章 相似三角形（單元重點綜合測試）

第二十四章相似三角形單元重點綜合測試注意事項：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題3分，共18分）1．（2023秋·上海閔行·六年級統(tǒng)考期末）如果和都不為零，且，那么下列比例中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知，添加下列條件后，仍無法判定的是（）A． B． C． D．3．（2023春·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學校考期末）在矩形中，，則向量的長度為（）A． B． C． D．4．（2023·上海嘉定·模擬預測）已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段的長度如圖所示，則的值為（）A． B． C． D．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）新定義：由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖中的格點三角形，那么該網(wǎng)格中所有與相似且有一個公共角的格點三角形的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，直角梯形中，，，，，．是延長線上一點，使得與相似，這樣的點的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（12小題，每小題3分，共36分）7．（2023春·上海浦東新·八年級?？计谀┮阎狿點為線段的黃金分割點，，且，則8．（2023春·上海普陀·八年級?？茧A段練習）在中，點是邊的中點，，那么用表示．9．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，已知直線、、分別交直線于點A、B、C，交直線于點D、E、F，且，，，，則．10．（2023秋·上海黃浦·九年級上海市民辦明珠中學校考階段練習）如圖，，點分別在上，如果，那么的長為．11．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┰谥?，，點是的重心，連接．若，則長為．12．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，G是的重心，延長交于點D，延長交于點E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為．13．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在中，中線、交于點，設，，那么向量用向量，表示為．14．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）規(guī)定：如果經(jīng)過三角形一個頂點的直線把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個小三角形是等腰三角形，另一個小三角形和原三角形相似，那么符合這樣條件的三角形稱為“和諧三角形”，這條直線稱為這個三角形的“和諧分割線”．例如，如圖所示，在中，，是斜邊上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和諧三角形”，直線為的“和諧分割線”．請依據(jù)規(guī)定求解問題：已知是“和諧三角形”，，當直線是的“和諧分割線”時，的度數(shù)是（寫出所有符合條件的情況）15．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，點D、E、F分別在邊、、上，，，如果，那么的值是．16．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、P在一直線），且，那么底部B到球體P之間的距離是米（結果保留根號）17．（2023春·上海普陀·八年級校考期末）如圖，在中，點為邊上的一點，且，，過點作，交于點，如果，那么的面積為．18．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在矩形ABCD中，，點E在邊AB上，，連接DE，將沿著DE翻折，點A的對應點為P，連接EP、DP，分別交邊BC于點F、G，如果，那么CG的長是．

三、解答題（9小題，共96分）19．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，，，，求的值．20．（2023春·上海奉賢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點、、分別是邊、、的中點．

(1)寫出圖中所有與相等的向量：______；(2)用圖中的向量表示：______；(3)求作：（不要求寫作法，但要寫出結論）．21．（2023春·上海·九年級專題練習）已知，在等腰中，，以的中點D為頂點作，分別交、于點E、F，，，求底邊的長．

22．（2023·上海·一模）如圖，在梯形ABCD中，，DF分別交對角線AC、底邊BC于點E、F，且．(1)求證：；(2)點G在底邊BC上，，，連接，如果與的面積相等，求的長．23．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知與都是等邊三角形，點D在BC邊上（點D不與B、C重合），DE與AC相交于點F．(1)求證：∽；(2)若BC＝1，設BD＝x，CF＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式及定義域；(3)當x為何值時，？24．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）把兩塊全等的直角三角板和疊放在一起，使三角板的銳角頂點D與三角板的斜邊中點O重合，其中，，，把三角板固定不動，讓三角板繞點O旋轉，設射線與射線相交于點P，射線與線段相交于點Q．

(1)如圖1，當射線經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證，則此時______；(2)將三角板由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉，設旋轉角為α．其中，問的值是否改變？請說明理由．25．（2023春·上海長寧·八年級上海市延安初級中學?？计谥校┤鐖D，點E在菱形的邊上（點E不與點B、點C重合），聯(lián)結交對角線于點F，聯(lián)結．

(1)求證：；(2)當，時，①如果，求的長；②如果是直角三角形，求的長．

第二十四章相似三角形單元重點綜合測試注意事項：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題3分，共18分）1．（2023秋·上海閔行·六年級統(tǒng)考期末）如果a和b都不為零，且，那么下列比例中正確的是（

）A．ab=34 B． C．a【答案】B【分析】根據(jù)逆用比例的基本性質，將乘積式化成比例式，逐個判定即可．【詳解】解：A、∵，∴ab=B、∵，∴，故此選項正確，符合題意；C、∵，∴，故此選項錯誤，不符合題意；D、∵，∴，故此選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查比例的基本性質，熟練掌握根據(jù)比例的基本性質，將乘積式化成比例式是解題的關鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知∠1=∠2，添加下列條件后，仍無法判定△ABCA．ABAD=ACAE B．∠B=∠【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解∵∠1=∴∠DAE=若ABAD=AC∴△ABC若∠DAE=∠BAC∴△ABC~若∠C=∠AED∴△ABC~∵ABAD=BC∴無法判斷△ABC與△故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定方法，熟記知識點是解題關鍵．3．（2023春·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學?？计谀┰诰匦蜛BCD中，|AB|=3A．2 B．4 C．3?1 D．【答案】A【分析】在矩形ABCD中，AB=3，BC=1，∠ABC=90°，則AB=3，BC=1【詳解】解：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=1∴AB=3，∴AC=∵AB∴向量AB+BC的長度為故選：A【點睛】考查了平面向量的運算，解題關鍵是熟練掌握矩形的性質和三角形法則.4．（2023·上海嘉定·模擬預測）已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段的長度如圖所示，則xyA． B．74 C．411 D．【答案】A【分析】根據(jù)平行截線所截線段對應成比例，即可求解.【詳解】解：∵兩條直線被三條平行線所截，∴xy故選：A．【點睛】此題考查了平行截線求相關線段的長或比值，解題的關鍵熟記平行截線對應成比例．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）新定義：由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網(wǎng)格圖中的格點三角形，那么該網(wǎng)格中所有與△ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數(shù)是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】取AB,BC,AC的中點D,F,E，再取網(wǎng)格點M、N，連接格點DE,DF,EF,MN，結合中位線的性質可證明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根據(jù)BN=32，BM=4，【詳解】解：如圖，取AB,BC,AC的中點D,F,E，再取網(wǎng)格點M、N，連接格點DE,DF,EF,MN，

則DE∥BC，且∴∠ADE=∠B∴△ADE同理可證：△BDF∽△BAC∵BN=32，BM=4，，BC=6，∴BNBM∴BNBM=BC∴△ABC綜上，滿足條件的三角形有4個，故選：D．【點睛】本題主要考查了中位線的性質、相似三角形的判定等知識，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關鍵．6．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，，AD=2，．P是BA延長線上一點，使得△PAD與△PBC相似，這樣的點PA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APD～△BPC，②△【詳解】∵AD∥BC，∴∠∴∠設AP的長為x，則BP=AB+AP=3+x．若AB邊上存在P點，使ΔPAD與ΔPBC相似，那么分兩種情況：①若△APD～△BPC即x3+x解得：x=3②若△APD～△BCP即x4整理得：x2x1=?3+∴滿足條件的點P的個數(shù)是2個，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質，難度適中，進行分類討論是解題的關鍵．二、填空題（12小題，每小題3分，共36分）7．（2023春·上海浦東新·八年級?？计谀┮阎狿點為線段AB的黃金分割點，AP=4cm，且，則AB=【答案】25+2【分析】如圖，點P是線段AB上的黃金分割點，，則BPAP=【詳解】解：如圖，點P是線段AB上的黃金分割點，且AP=4cm，，∴BP解得AB=25故答案為：25【點睛】本題考查的是線段的黃金分割點，掌握“線段的黃金分割點的定義”是解題的關鍵．8．（2023春·上海普陀·八年級校考階段練習）在△ABC中，點D是邊AC的中點，BA=a,BC=【答案】1【分析】由點D是邊AC的中點，BA=a,BC=【詳解】解：如圖，

∵點D是邊AC的中點，BA=∴AC=∴AD=∴BD=故答案為：1【點睛】本題主要考查了平面向量，注意：平行向量既有大小又有方向．9．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知直線l1、l2、l3分別交直線l4于點A、B、C，交直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥【答案】8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可進行解答．【詳解】解：∵l1∴ABBC=DE∵DF=12，∴DE12?DF=2，解得：故答案為：8．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．掌握平行線分線段成比例是解題關鍵．10．（2023秋·上海黃浦·九年級上海市民辦明珠中學?？茧A段練習）如圖，AB//CD//EF，點C、D分別在BE、AF上，如果BC=6,CE=9,AF=10，那么DF的長為．【答案】6．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例、比例的基本性質解答即可．【詳解】解：∵AB//CD//EF，∴BECE∴6+99∴DF=6，故答案為6．【點睛】本題考查平行線分線段成比例、比例的性質；解題的關鍵是由平行線分線段成比例定理得出比例式求出DF．11．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┰凇鰽BC中，∠BAC=90°，點G是△ABC的重心，連接AG．若AG=6，則BC長為．【答案】18【分析】延長AG交BC于點D，根據(jù)點G是△ABC的重心，得到D為BC的中點，以及AG=2DG，進而求出AD的長度，根據(jù)AD是直角三角形斜邊上的中線，從而求出BC的長．【詳解】解：如圖，延長AG交BC于點D，

∵點G是△ABC的重心，AG=6，∴D為BC的中點，且AG=2DG=6，∴DG=3，∴AD=AG+DG=9，∵∠BAC=90°∴BC=2AD=18；故答案為：18．【點睛】本題考查重心的性質，以及直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關鍵．12．（2023·上海·一模）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長交AB于點E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為6，則的長為．【答案】1【分析】連接DE，延長EP交BC于F點，連接DF，由G是△ABC的重心，可證DE是△ABC的中位線，從而可求出DE的長．利用三角形重心的定義和性質得到EP=2PF，，再證明△FPQ∽△FED得到PQED=【詳解】解：連接DE，延長EP交BC于F點，連接DF，如圖，

∵G是△ABC∴D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC∴．∵P點是△BCE∴F點為BC的中點，EP=2PF，∵Q點是△BCD∴點Q在中線DF上，，∵∠PFQ=∠EFD，F(xiàn)QFE∴△FPQ∴PQED∴PQ=1故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質．三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．13．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，中線AD、交于點F，設BA=a，BC=b，那么向量AF用向量a，b【答案】?【分析】根據(jù)重心的性質可得AF=2DF，利用三角形法則求出AD，進而可得結果．【詳解】解：∵中線AD、交于點F，∴AF=2DF，∴AF=2∵AD=AB+∴AF=?故答案為：?2【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形法則等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．14．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）規(guī)定：如果經(jīng)過三角形一個頂點的直線把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個小三角形是等腰三角形，另一個小三角形和原三角形相似，那么符合這樣條件的三角形稱為“和諧三角形”，這條直線稱為這個三角形的“和諧分割線”．例如，如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB，CD是斜邊AB上的高，其中△ACD是等腰三角形，且△BCD和△ABC相似，所以△ABC是“和諧三角形”，直線CD為△ABC的“和諧分割線”．請依據(jù)規(guī)定求解問題：已知△DEF是“和諧三角形”，∠D=42°，當直線EG是△DEF的“和諧分割線”時，∠F【答案】54°、【分析】分類討論，①△EGF∽△DEF，△DEG是等腰三角形，EG=EF；②△DEG∽△DFE，△GEF是等腰三角形，GE=GF；③△DGF∽△DEF，△DEF是等腰三角形，F(xiàn)E=FG；④△FEG∽△FDG，△DEG是等腰三角形，DE=DG；根據(jù)等腰三角形的性質，相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：△DEF是“和諧三角形”，∠D=42°，EG是△DEF①根據(jù)題意，如圖所示，△EGF∽△DEF，△DEG是等腰三角形，EG=EF，∴∠D=∴在△DEG中，∠DGE=180°?∵∠DGE是△EGF∴∠F=②如圖所示，△DEG∽△DFE，△GEF是等腰三角形，GE=GF，∴∠DEG=設∠F=a，則∠DEG=∠F=∠FEG=a，∠EGF=180°?2a∵∠EGF是△DEG∴∠EGF=∠D+∠DEG，即180°?2a=42°+a，解得，a=46°，∴∠F=46°③如圖所示，△DGF∽△DEF，△DEF是等腰三角形，F(xiàn)E=FG，∴FE=FG，∠F=∠GED，∠FEG=設∠F=x，則∠F=∠GED=x，∠FEG=∵∠EGF是△DEG∴∠EGF=∠GED+∠D，即12(180°?x)=x+42°，解得∴∠F=32°④如圖所示，△FEG∽△FDG，△DEG是等腰三角形，DE=DG，∴∠D=∠GEF=42°，∠DEG=∵∠DGE是△EFG∴∠DGE=∠F+∠GEF，即69°=∠∴∠F=69°?42°=27°綜上所述，△DEF是“和諧三角形”，∠D=42°，當直線EG是△DEF的“和諧分割線”時，∠F的度數(shù)是54°、46°、32°、27°，故答案為：54°、46°、32°、27°．【點睛】本題主要考查等腰三角形，相似三角形的綜合，掌握等腰三角形的性質，相似三角形的性質是解題的關鍵．15．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，如果DE:BC=2:5，那么EF:AB的值是．【答案】3【分析】根據(jù)DE∥BC得到AEAC=DEBC=【詳解】解：∵DE∥∴AEAC∴CEAC∵EF∥∴EFAB故答案為：35【點睛】本題考查平行線截線段對應成比例，解題的關鍵是根據(jù)比例性質求得CEAC16．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、P在一直線），且BP>AP，那么底部B到球體P之間的距離是米（結果保留根號）【答案】(234【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值5?1【詳解】解：∵點P是線段AB上的一個黃金分割點，且米，BP>AP，∴BP=5故答案為：(2345【點睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關鍵．17．（2023春·上海普陀·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點D為BC邊上的一點，且，AD⊥AB，過點D作DE⊥AD，DE交AC于點E，如果DE=2，那么△ABC的面積為．【答案】16【分析】由題意得到三角形DEC與三角形ABC相似，由相似三角形面積之比等于相似比的平方求得兩三角形面積之比，進而求出四邊形ABDE與三角形ABC面積之比，求出四邊形ABDE面積，即可確定出三角形ABC面積．【詳解】解：∵AB⊥AD，AD⊥∴∠∴DE∴∠∵∠∴△∵DE=2，AB=4，即DE:AB=1:2，∴S△∴S∵S∴S故答案為：16．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．18．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在矩形ABCD中，，點E在邊AB上，AE=2，連接DE，將△ADE沿著DE翻折，點A的對應點為P，連接EP、DP，分別交邊BC于點F、G，如果BF=14BC，那么CG的長是

【答案】655【分析】延長EP交DC于點Q，根據(jù)已知得出，證明△EBF∽△QCF，求得CQ=3，根據(jù)折疊的性質以及平行線的性質得出QE=QD，在Rt△PDQ中，PD=DQ2?P【詳解】解：如圖所示，延長EP交DC于點Q，

∵BF=1∴，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=3，AD=BC∴△EBF∴EFFQ∵，

∴CQ=3BE=3，∴DQ=DC+CQ=6，∵折疊，∴AD=PD，∠AED=∠QED，AE=EP，則BC=PD，又∵AB∥∴∠∴∠DEQ=∴QE=QD=6∵AE=EP=2，∴PQ=EQ?EP=6?2=4，在Rt△PDQ中，∴BC=AD=PD=25∴BF=1∵∠BEF=90°?∠BFE,∠BFE=∠PFG=90°?∠PGF，∠∴∠BEF=∠又∵∠B=∴△EBF∴EBCG即1CG∴，故答案為：65【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，相似三角形的性質與判定，熟練掌握折疊的性質以及相似三角形的性質是解題的關鍵．三、解答題（9小題，共96分）19．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，l1∥l2，AF:FB=2:5，【答案】2:1【分析】先證明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFFB=【詳解】解：∵l1∴△AFG∴AGBD又BC:CD=4:1，∴BD=5CD，∴AGCD同理可得：△AEG∴AE:EC=AG:CD=2:1．【點睛】考查相似三角形中“X”字型的綜合應用，熟記相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．20．（2023春·上海奉賢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點．

(1)寫出圖中所有與BE相等的向量：______；(2)用圖中的向量表示：DB+(3)求作：AB?【答案】(1)DF(2)DE或AF或FC(3)見解析【分析】（1）根據(jù)中位線的性質得出DF∥BC，DF=1（2）根據(jù)三角形法則求向量的和，進而即可求解；（3）連接AE，則即為所求，【詳解】（1）解：∵在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點∴DF=12∴與BE相等的向量是：DF,故答案為：DF,（2）解：∵∴DB+又點D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點，則∴DE故答案為：DE或AF或FC（3）解：如圖所示，即為所求，

∵AB∴即為所求，【點睛】本題考查了向量的頂用，三角形法則求向量，熟練掌握向量的定義以及線性運算是解題的關鍵．21．（2023春·上海·九年級專題練習）已知，在等腰△ABC中，，以BC的中點D為頂點作∠EDF=∠B，分別交AB、AC于點E、F，AE=6，AF=4，求底邊BC的長．

【答案】4【分析】先證明∠BED=∠FDC，∠B=∠C，即可證明△EDB∽△DFC，得出BEDC=BDCF，根據(jù)【詳解】解：∵∠而∠EDC=∴∠又∵∠∴∠∵AB=AC∴∠∴△∴BE∴10?6∴DC又∵CD=DB=∴BC=4【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是證明△EDB22．（2023·上海·一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分別交對角線AC、底邊BC于點E、F，且AD?(1)求證：AB∥(2)點G在底邊BC上，BC=10，CG=3，連接AG，如果△AGC與△EFC的面積相等，求FC的長．【答案】(1)見解析(2)30【分析】（1）根據(jù)題意及平行線的性質可證明△AED（2）根據(jù)三角形的面積公式及相似三角形的性質即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵∴∵∴∴∴∴（2）根據(jù)題意得，S∵∴∴∵△AGC和△EFC∴解得：CF=【點睛】本題考查了相似三角形的性質及判定，三角形面積公式等相關知識，根據(jù)題意表達三角形的面積比，得出方程是解題的關鍵．23．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，已知ΔABC與ΔADE都是等邊三角形，點D在BC邊上（點D不與B、C重合），DE與AC相交于點F．(1)求證：ΔABD∽ΔDCF；(2)若BC＝1，設BD＝x，CF＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式及定義域；(3)當x為何值時，SΔAEF【答案】(1)見解析(2)y=?(3)x=23【分析】（1）利用兩角相等，兩三角形相似證明即可；（2）根據(jù)ΔABD∽ΔDCF，得到ABDC=BDCF，即可得到（3）易證ΔABD∽ΔAEF，∴AEAB=AFAD,得到SΔAEFSΔABD=AEAB【詳解】（1）、ΔADE是等邊三角形∴∵∴∠CDF=∠DAB,

∴Δ（2）由（1）得ΔABD∽∴AB∴1∴y=?（3）∵∠EAF+∴又∵∠∴Δ∴∴S∴A是等邊三角形

∴AD=AE∴A∴∵AB=1∴AF=∴y=CF=1?∴?解得x1∴當x=23或x=【點睛】本題考查旋轉的相關知識，熟練運用“一線三等角”模型及相似的性質是解答本題的關鍵．24．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．

(1)如圖1，當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD～△CDQ，則此時AP·CQ=______；(2)將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°<α<90°，問AP·CQ的值是否改變？請說明理由．【答案】(1)8(2)不變【分析】（1）證明△APD～△CDQ，可得，根據(jù)等腰三角形的性質求得AP=PD=2，再代入求值即可；（2）根據(jù)旋轉的性質可得∠APD=90°?α，∠C