24.7 向量的線性運(yùn)算（第2課時）同步練習(xí)

24.7向量的線性運(yùn)算（第2課時）【夯實基礎(chǔ)】一、填空題1．（2021··九年級專題練習(xí)）向量在方向上的分量分別則＝_______2．（2022·上海嘉定·二模）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點，，，用與的線性組合表示_____．3．（2021·上海市實驗學(xué)校西校九年級階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，且EFBD，AD＝3AF，設(shè)AB＝，BC＝，則向量FE關(guān)于、的分解式是FE＝___．4．（2021·上海奉賢·三模）如圖，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心，記，，那么＝__________________（用向量、表示）．5．（2021·上海嘉定·二模）如圖，中，D為邊AC的中點，設(shè)向量，向量，那么向量用向量，可表示為__________．6．（2021·上?！ざ＃┤鐖D中，點在上，且．設(shè)，，那么______（結(jié)果用、表示）．7．（2021·上海市實驗學(xué)校二模）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點，DE與對角線AC相交于點F，如果，那么（用含的式子表示）．8．（2021·上海寶山·九年級期中）如圖，已知等腰梯形中，，如果，那么________．9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知△中，是中線，點是△的重心，，如果用向量表示向量，那么__________．10．（2020·上海松江·九年級階段練習(xí)）如圖，已知在中，E是邊的中點，與對角線相交于點F．如果，那么_______（用含的式子表示）．11．（2020·上海交大附中九年級期中）如圖，梯形中，，對角線與中位線交于點，如果，，設(shè)，那么__（用表示）二、解答題12．（2022·上海虹口·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC到點E，使，聯(lián)結(jié)AE交DC于點F，設(shè)，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）13．（2022·上海長寧·九年級期末）如圖，在梯形中，AB//CD，且，點是邊的中點，聯(lián)結(jié)交對角線于點，若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）14．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖．四邊形ABCD是平行四邊形：點E是邊AD的中點．AC、BE相交于點O．設(shè)，．（1）試用表示；（寫出必要步驟）（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）15．（2021·上海市南洋模范初級中學(xué)九年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N是邊DC、BC的中點，設(shè)，．（1）求向量；（2）在圖中求作向量在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．16．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，點E、F分別是邊DC、AB的中點，AE、CF與對角線BD分別交于點G、H，設(shè)，（1）試用、分別表示向量；（2）作出向量分別在、方向上的分向量．17．（2020·上海市民辦文綺中學(xué)九年級期中）如圖，在梯形中，，，，．（1）______（用含、的式子表示）．（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）【能力提升】一、單選題1．（2021·上海市文來中學(xué)九年級期中）下列正確的有（

）（1）（2）為單位向量，則（3）平面內(nèi)向量、，總存在實數(shù)m使得向量（4）若，，，則，就是在、方向上的分向量A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題2．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知在中，設(shè)，，若、分別為、的中點，那么用、的線性組合表示為______．3．（2021·上海浦東新·九年級期末）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，設(shè)，，那么向量關(guān)于、的分解式為______．4．（2022·上海閔行·九年級期末）如圖，是的中線，交于點，且．(1)直接寫出向量關(guān)于的分解式，______(2)在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）5．（2022·上海金山·九年級期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，點、分別在邊BC、CD上，，設(shè)，．求向量關(guān)于、的分解式．6．（2022·上海崇明·九年級期末）如圖，在中，點F為的重心，聯(lián)結(jié)AF并延長交BC于點D，聯(lián)結(jié)BF并延長交AC于點E．(1)求的值；(2)如果，，用，表示和．7．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實驗學(xué)校九年級期中）已知：線段DE分別交△ABC的邊BA、CA的延長線于點D、E，且，△ABC的周長是6cm，（1）求△ADE的周長；（2）如果，求作：．8．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點E、F分別是AD、AC的中點，設(shè)＝，＝，用、的線性組合表示向量．9．（2021·上海市松江九峰實驗學(xué)校九年級期中）如圖，是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點，且，CE交BD點E，BF＝15．（1）求DF的長；（2）如果＝，＝，用、表示向量．10．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實驗學(xué)校九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，DEBC，DFAC，DE、DF分別交邊AC、BC于點E、F，且．（1）求的值；（2）聯(lián)結(jié)EF，設(shè)，，用含的式子表示．11．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級期中）如圖在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．（1）用向量分別表示向量、；（2）作出向量分別在方向上的分向量（不要求寫作法，寫出結(jié)論）．12．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）已知：如圖，中，，，，點、分別在邊、上，且，．（1）求的正切值；（2）如果設(shè)，，試用、的線性組合表示；（3）求作在、方向上的分向量．13．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，已知：點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊CD、AD上的點，且，BF、CD的延長線交于點G，設(shè)，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作關(guān)于向量、的分向量．14．（2021·上海松江·九年級階段練習(xí)）如圖，D、E是△ABC邊AB上的點，F(xiàn)、G分別是邊AC、BC上的點，且滿足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．（1）求證：FG∥AB；（2）設(shè)＝，＝，請用向量，表示．15．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在中，點是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點，過點作交邊于點．（1）如果，，用、表示向量；（2）當(dāng)，，時，求的長．16．（2021·上海市羅星中學(xué)九年級期中）如圖，一個的網(wǎng)格．其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點．（1）在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似？請說明理由；（2）設(shè)a，，寫出向量關(guān)于a、b的分解式．17．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，已知中，，，，．（1）求線段的長；（2）設(shè)，．①請直接寫出向量關(guān)于、的分解式，________；②連接，在圖中作出向量分別在、方向上的分向量．【可以不寫作法，但必須寫出結(jié)論】18．（2022·上海青浦·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，CE、BD相交于點F，BF=3DF．(1)求AE：ED的值；(2)如果，，試用、表示向量．19．（2021·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD上一點，CE與BD相交于點O，CE與BA的延長線相交于點G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的長；（2）若＝，＝，用、表示；（3）在圖中畫出．（不需要寫畫法，但需要結(jié)論）20．（2021··九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，點E是邊BC的中點，AE、BD相交于點F，過點F作FG∥BC，交邊DC于點G．（1）求FG的長；（2）設(shè)，，用、的線性組合表示．

24.7向量的線性運(yùn)算（第2課時）（解析版）【夯實基礎(chǔ)】一、填空題1．（2021··九年級專題練習(xí)）向量在方向上的分量分別則＝_______【答案】【分析】根據(jù)向量的分量的概念及向量分解式的寫法即可得到答案．【詳解】∵向量在，方向上的分量分別，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，掌握向量分量的定義及向量分解式的寫法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海嘉定·二模）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點，，，用與的線性組合表示_____．【答案】######【分析】根據(jù)點D，E分別是△ABC邊AB，BC上的中點，得到DE是△ABC的中位線，則＝，再根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則求出，即可得到答案．【詳解】解：∵點D，E分別是△ABC邊AB，BC上的中點，∴DE是△ABC的中位線∴＝∵，∴＋∴故答案為：．【點睛】此題考查了三角形的中位線定理、向量的加法法則等知識，利用三角形的中位線定理得到＝是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海市實驗學(xué)校西校九年級階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，且EFBD，AD＝3AF，設(shè)AB＝，BC＝，則向量FE關(guān)于、的分解式是FE＝___．【答案】【分析】依題意先證明，根據(jù)AD＝3AF，可得，，進(jìn)而根據(jù)即可求得．【詳解】AB＝，BC＝，四邊形是矩形，故答案為：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量三角形法則，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海奉賢·三模）如圖，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心，記，，那么＝__________________（用向量、表示）．【答案】【分析】根據(jù)正六邊形性質(zhì)，得為等邊三角形，根據(jù)平行線性質(zhì)，得；結(jié)合向量性質(zhì)，得，再根據(jù)向量性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】連接OE，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，∴∴為等邊三角形∴∴∴∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形、等邊三角形、平行線、向量的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、向量的性質(zhì)，從而完成求解．5．（2021·上海嘉定·二模）如圖，中，D為邊AC的中點，設(shè)向量，向量，那么向量用向量，可表示為__________．【答案】【分析】利用三角形法則求出，可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形法則，解題的關(guān)鍵是求出，屬于中考?？碱}型．6．（2021·上?！ざ＃┤鐖D中，點在上，且．設(shè)，，那么______（結(jié)果用、表示）．【答案】【分析】首先利用三角形法則求得，則；然后再在△ABD中，利用三角形法則求得．【詳解】解：∵，，∴=，∵CD＝2BD，∴∴故答案為：．【點睛】此題考查了平面向量的知識．此題難度適中，掌握三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2021·上海市實驗學(xué)校二模）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點，DE與對角線AC相交于點F，如果，那么（用含的式子表示）．【答案】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可先求出DF:EF的值，從而得到DF:DE，然后用三角形法則表示出，即可得到【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E是AB的中點，∴DC:AE=AB:AE=1:2，∴DF:EF=DC:AE=2:1，∴DF:DE=，∵，∴故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的知識，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得到相關(guān)的邊關(guān)系式解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海寶山·九年級期中）如圖，已知等腰梯形中，，如果，那么________．【答案】【分析】利用平面向量求和的三角形法則，即可求解．【詳解】解：∵AD∥BC，BC＝3AD，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量，梯形的性質(zhì)，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知△中，是中線，點是△的重心，，如果用向量表示向量，那么__________．【答案】【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點距離的2倍用表示出，然后表示出向量即可．【詳解】如圖，∵是中線，點是△的重心，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量、三角形的重心、線段的和差，解題的關(guān)鍵是找出與的關(guān)系，并注意向量的方向．10．（2020·上海松江·九年級階段練習(xí)）如圖，已知在中，E是邊的中點，與對角線相交于點F．如果，那么_______（用含的式子表示）．【答案】【分析】先求出DF：EF的值，從而可得DF：DE，表示出，即可得出答案．【詳解】解：∵E是邊的中點，∴AE=AB∴，又，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量的知識，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系，難度一般．11．（2020·上海交大附中九年級期中）如圖，梯形中，，對角線與中位線交于點，如果，，設(shè)，那么__（用表示）【答案】【分析】根據(jù)梯形中位線性質(zhì)得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，則EG是△ABD的中位線，即可求得EG的長，則FG即可求得，根據(jù)向量的定義可以得到．【詳解】∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×4=2∴FG=EF?EG=10?2=8∴FG=2AD.∵，∴，故答案是：．【點睛】本題考查平面向量，梯形與三角形的中位線，理解概念且準(zhǔn)確推理計算是解題關(guān)鍵．二、解答題12．（2022·上海虹口·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC到點E，使，聯(lián)結(jié)AE交DC于點F，設(shè)，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）【答案】(1)(2)向量、是向量分別在、方向上的分向量．【分析】（1）連接AC，證四邊形ACED是平行四邊形，得出DE∥AC，根據(jù)平行四邊形法則求解即可；（2）過點F作FM∥AB交AB于M，根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案．(1)解：連接AC，∵在平行四邊形ABCD中，∴AD∥CB，AD=CB，∵，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴DE∥AC，；(2)解：過點F作FM∥AB交AB于M，則向量、是向量分別在、方向上的分向量．【點睛】此題考查了平面向量的知識以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．13．（2022·上海長寧·九年級期末）如圖，在梯形中，AB//CD，且，點是邊的中點，聯(lián)結(jié)交對角線于點，若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）【答案】（1）=，；（2）見詳解．【分析】（1）利用向量的表示方法，表示出，再由=即可求出，利用平行線段成比例，求出AF=，即可求出；（2）利用向量中分向量的畫法畫圖即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵=，，∴=，∵AB//CD，，DE=EC，∴，∴AF=∴．（２）在方向上的分向量如圖所示，即為所求；【點睛】本題主要考查圖形中向量的表示方法，以及分向量在平行四邊形中的畫法，熟練掌握向量的基本應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，初中的向量問題只在上海地區(qū)出現(xiàn)，其他地方在高中才會學(xué)到，需要注意．14．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖．四邊形ABCD是平行四邊形：點E是邊AD的中點．AC、BE相交于點O．設(shè)，．（1）試用表示；（寫出必要步驟）（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】（1）；（2）圖見詳解，【分析】（1）首先證明，進(jìn)而問題可求解；（2）分別過點O作OM∥AD，ON∥AB，然后證明，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊AD的中點，∴，∴，∴，∴；（2）如圖所示，在、上的分向量分別為和，∵AE∥BC，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，熟練掌握向量的線性運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．15．（2021·上海市南洋模范初級中學(xué)九年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N是邊DC、BC的中點，設(shè)，．（1）求向量；（2）在圖中求作向量在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】（1）-；（2）見解析【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得，又由點M、N是邊DC、BC的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四邊形法則，即可求得答案．【詳解】解：（1）∵=，=，∴=-=-，∵點M、N分別為DC、BC的中點，∴-；（2）作圖：結(jié)論：、是向量分別在、方向上的分向量．．【點睛】本題考查了平面向量的知識、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．16．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，點E、F分別是邊DC、AB的中點，AE、CF與對角線BD分別交于點G、H，設(shè)，（1）試用、分別表示向量；（2）作出向量分別在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）先證明，進(jìn)而利用三角形法則求得出，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求得；（2）利用平行四邊形法則，即可作出向量分別在、方向上的分向量【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形同理可得，；（2）如圖，分別是在、方向上的分向量【點睛】本題考查了平面向量的知識，掌握三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17．（2020·上海市民辦文綺中學(xué)九年級期中）如圖，在梯形中，，，，．（1）______（用含、的式子表示）．（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)向量加法法則計算；（2）根據(jù)平行四邊形法則即可表示．【詳解】（1）；（2）如圖，取的中點，則，即為向量分別在、方向上的分向量．．【點睛】本題考查了向量的平行四邊形法則，及一個向量在另一向量方向的分量的定理，熟練掌握基本定理及靈活運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2021·上海市文來中學(xué)九年級期中）下列正確的有（

）（1）（2）為單位向量，則（3）平面內(nèi)向量、，總存在實數(shù)m使得向量（4）若，，，則，就是在、方向上的分向量A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】∵，∴結(jié)論(1)不符合題意；∵為單位向量，∴∴結(jié)論(2)不符合題意；∵向量、是平行向量時，總存在實數(shù)m使得向量∴結(jié)論(3)不符合題意；∵若，，，則，就是在、方向上的分向量，∴結(jié)論(4)符合題意；故選B．【點睛】本題考查了向量的性質(zhì)，平行向量的性質(zhì)，向量的運(yùn)算，熟練掌握向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知在中，設(shè)，，若、分別為、的中點，那么用、的線性組合表示為______．【答案】【分析】由題意利用三角形法則求得，然后由三角形中位線定理得到，進(jìn)而結(jié)合平面向量的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖，在中，設(shè)，，．又、分別為、的中點，．．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量和三角形中位線定理．由三角形法則求得是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海浦東新·九年級期末）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，設(shè)，，那么向量關(guān)于、的分解式為______．【答案】【分析】根據(jù)計算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了平面向量的知識．注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題4．（2022·上海閔行·九年級期末）如圖，是的中線，交于點，且．(1)直接寫出向量關(guān)于的分解式，______(2)在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線性質(zhì)和重心性質(zhì)可得BD=BC，AG=AD，由求解即可；（2）過點G分別作AB、BC的平行線，分別交BC、AB于H、F，作向量、即可．(1)解：∵是的中線，交于點，∴BD=BC，AG=AD，∵，∴=，∴，故答案為：；(2)解：如圖所示，、是向量在向量和方向上的分向量．【點睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、三角形的中線性質(zhì)、三角形的重心性質(zhì)、尺規(guī)作圖-作平行線，熟練掌握向量的線性運(yùn)算，會作出一個向量在給定的兩個不平行向量的方向上的分向量是解答的關(guān)鍵．5．（2022·上海金山·九年級期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，點、分別在邊BC、CD上，，設(shè)，．求向量關(guān)于、的分解式．【答案】【分析】連接BD，先證明，由可得向量關(guān)于、的分解式．【詳解】解：連接BD．∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．【點睛】此題考查了平面向量的知識．此題難度不大，注意掌握平行向量與向量的模的定義是解此題的關(guān)鍵．6．（2022·上海崇明·九年級期末）如圖，在中，點F為的重心，聯(lián)結(jié)AF并延長交BC于點D，聯(lián)結(jié)BF并延長交AC于點E．(1)求的值；(2)如果，，用，表示和．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)重心是三角形三邊中線的交點即可得到DE是△ABC的中位線，則，DE∥AB，即可證明△ABF∽△DEF，得到；（2）先求出，再由，即可求出；由△ABF∽△DEF，得到，可以推出，則．(1)解：∵F是三角形ABC的重心，∴D、E分別是BC、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴，DE∥AB，∴△ABF∽△DEF，∴；(2)解：∵F是△ABC的重心，∴D、E分別是BC、AC的中點，∵，，∴，∴，∵△ABF∽△DEF，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的線性運(yùn)算等等，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實驗學(xué)校九年級期中）已知：線段DE分別交△ABC的邊BA、CA的延長線于點D、E，且，△ABC的周長是6cm，（1）求△ADE的周長；（2）如果，求作：．【答案】（1）4cm；（2）見解析【分析】（1）先證明△CAB∽△EAD，得到，則，，，再由△ABC的周長為6cm，得到AB+AC+BC=6cm，最后根據(jù)△ADE的周長=求解即可；（2）先根據(jù)向量的加減計算法則化簡得到結(jié)果為，即，然后作線段AC的垂直平分線，找到線段AC的中點F，則向量即為所求．【詳解】解：（1）∵∠CAB=∠EAD，，∴△CAB∽△EAD，∴，∴，，，∵△ABC的周長為6cm，∴AB+AC+BC=6cm，∴△ADE的周長=；（2），∵，，∴，如圖所示，分別以A、C為圓心，以大于AC長的一半為半徑畫弧，二者交于M、N，連接MN交AC于F，作向量，然后作向量，則向量即為所求．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的計算和作圖，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定條件，向量的加減計算法則．8．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點E、F分別是AD、AC的中點，設(shè)＝，＝，用、的線性組合表示向量．【答案】．【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算即可．【詳解】解：∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴．∵點E、F分別是AD、AC的中點，∴，∴．【點睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用三角形法則．9．（2021·上海市松江九峰實驗學(xué)校九年級期中）如圖，是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點，且，CE交BD點E，BF＝15．（1）求DF的長；（2）如果＝，＝，用、表示向量．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理及推論求解即可；（2）利用三角形法則求出，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∵AD∥BC∴（平行線分線段成比例定理的推論），∴∴DF＝；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴，∵，＝∴∴，∴，∵，∴CF＝CE，∴．【點睛】本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理及推論等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則求平面向量．10．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實驗學(xué)校九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，DEBC，DFAC，DE、DF分別交邊AC、BC于點E、F，且．（1）求的值；（2）聯(lián)結(jié)EF，設(shè)，，用含的式子表示．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由可知，根據(jù)可知，再由可得；（2）由可知，據(jù)此可得，同理可知，根據(jù)平行四邊形法則可得答案．【詳解】解：（1）∵∴∵∴又∵∴；（2）∵，∴，∵，與方向相反，∴，同理可得：，∴，故答案為：【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，比例的性質(zhì)以及向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理以及向量的運(yùn)算．11．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級期中）如圖在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．（1）用向量分別表示向量、；（2）作出向量分別在方向上的分向量（不要求寫作法，寫出結(jié)論）．【答案】（1）=，；（2）見解析【分析】（1）由題意可得，由三角形相似可得，，從而可得，，再根據(jù)即可求得結(jié)果；（2）由DE∥BC，作DM∥AC交BC于點M，從而四邊形DMCE是平行四邊形，則向量、即為所求作向量．【詳解】（1）∵∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴即AE=2CE∴，∴，∴∴=，.（2）作DM∥AC交BC于點M∵DE∥BC，∴四邊形DMCE是平行四邊形∴向量、即為所求作向量．【點睛】本題考查了向量的加減運(yùn)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，作向量的分量等知識，靈活運(yùn)用向量加減法的三角形法則是問題的關(guān)鍵．12．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）已知：如圖，中，，，，點、分別在邊、上，且，．（1）求的正切值；（2）如果設(shè)，，試用、的線性組合表示；（3）求作在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）；（3）畫圖見解析；【分析】（1）因為，，所以．則．再根據(jù)平行線分線段正比例出、，根據(jù)即可解決問題；（2）根據(jù)，只要求出、即可解決問題；（3）構(gòu)造四邊形是平行四邊形，可得，繼而求得答案．【詳解】解：（1），，，又已知，．即，∴，∴，，∴設(shè)，，則，∴，∴，，∵，∴，，，，，，，，在中，，即；（2），，，，，，，；（3）如圖，過點作，且截取，連接，即，∴四邊形為平行四邊形，∴向量在、方向上的分向量為：，．【點睛】本題考查平面向量、平行四邊形法則、銳角三角函數(shù)、平行線分線段成比例等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．13．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，已知：點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊CD、AD上的點，且，BF、CD的延長線交于點G，設(shè)，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作關(guān)于向量、的分向量．【答案】（1），；（2）作圖見解析．【分析】（1），可求得，則有，再根據(jù)，得，則，據(jù)此求解即可（2）過點作交于點，則有，即點為所求．【詳解】解：（1）∵，∴∴，∴∴∵∴∴（2）過點作交于點，則有：，∴點為所求．【點睛】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，熟悉想性質(zhì)，特別是向量額的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海松江·九年級階段練習(xí)）如圖，D、E是△ABC邊AB上的點，F(xiàn)、G分別是邊AC、BC上的點，且滿足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．（1）求證：FG∥AB；（2）設(shè)＝，＝，請用向量，表示．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【分析】（1）由AD＝DE＝EB，可得AE=2BE，BD=2AD，由DF∥BC，，由GE∥AC，可得，可得，∠FCG=∠ACB，可證△FCG∽△ACB即可；（2）由△FCG∽△ACB，可得，由＝，＝可得，由向量的模之間關(guān)系可得，GF∥BA；利用平行向量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵AD＝DE＝EB，∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，∵DF∥BC，∴，∵GE∥AC，，∴，∴，∴，∠FCG=∠ACB，∴△FCG∽△ACB，∴∠FGC=∠B，∴FG∥AB；（2）解：∵△FCG∽△ACB，∴，∴∵＝，＝，∴∵，GF∥BA；∴．【點睛】本題考查平行線截線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量的模，平行向量，和與差向量，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2021·上海·九年級期末）如圖，在中，點是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點，過點作交邊于點．（1）如果，，用、表示向量；（2）當(dāng)，，時，求的長．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由G是重心，可得，，因為，可得，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)G是重心，求出DG=3，因為△AGD是等腰直角三角形，勾股定理計算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可．【詳解】解：（1）∵，∵點G是Rt△ABC的重心，∴AD＝AC，∵，，∴，∴∴，．（2）∵G是三角形的重心，∴BG=2GD，AD=DC，∵BG=6，∴GD=3，∵，，∴AG=GD=3，∴，∵，∴，∴DE=，∴AE=AD+DE=【點睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算、勾股定理解題是關(guān)鍵．16．（2021·上海市羅星中學(xué)九年級期中）如圖，一個的網(wǎng)格．其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點．（1）在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似？請說明理由；（2）設(shè)a，，寫出向量關(guān)于a、b的分解式．【答案】（1）點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由見解析；（2）【分析】（1）設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為a，利用勾股定理求出各邊的長度，然后分類討論，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似逐一判斷即可；（2）延長AB至E，使BE=AB，根據(jù)向量加法的三角形法則計算即可．【詳解】解：（1）點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由如下：設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為a，則BC=a，AB=，AC=，其中BC＜AB＜AC如下圖所示，連接BM、AM則BM=，AM=，其中AB＜BM＜AM∴，∴≠∴和不相似；如下圖所示，連接AN則BN=2a，AN=，其中AB＜BN＜AN∴，，，∴＝=∴∽；如下圖所示，連接BP則BP=，AP=3，其中AB＜BP＜AP∴，∴≠∴和不相似；如下圖所示，連接BQ、AQ則BQ=，AQ=，其中AB＜BQ＜AQ∴，∴≠∴和不相似；綜上：點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似；（2）延長AB至E，使BE=AB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，點E正好落在格點上，如下圖所示∴，∴=＋=．【點睛】此題考查的是勾股定理與網(wǎng)格問題、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法則是解題關(guān)鍵．17．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，已知中，