24.7 向量的線性運(yùn)算（第2課時(shí)）同步練習(xí)

24.7向量的線性運(yùn)算（第2課時(shí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、填空題1．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）向量在方向上的分量分別則＝_______2．（2022·上海嘉定·二模）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點(diǎn)，，，用與的線性組合表示_____．3．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校西校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且EFBD，AD＝3AF，設(shè)AB＝，BC＝，則向量FE關(guān)于、的分解式是FE＝___．4．（2021·上海奉賢·三模）如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，記，，那么＝__________________（用向量、表示）．5．（2021·上海嘉定·二模）如圖，中，D為邊AC的中點(diǎn)，設(shè)向量，向量，那么向量用向量，可表示為__________．6．（2021·上海·二模）如圖中，點(diǎn)在上，且．設(shè)，，那么______（結(jié)果用、表示）．7．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，DE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F，如果，那么（用含的式子表示）．8．（2021·上海寶山·九年級(jí)期中）如圖，已知等腰梯形中，，如果，那么________．9．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△中，是中線，點(diǎn)是△的重心，，如果用向量表示向量，那么__________．10．（2020·上海松江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知在中，E是邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)F．如果，那么_______（用含的式子表示）．11．（2020·上海交大附中九年級(jí)期中）如圖，梯形中，，對(duì)角線與中位線交于點(diǎn)，如果，，設(shè)，那么__（用表示）二、解答題12．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使，聯(lián)結(jié)AE交DC于點(diǎn)F，設(shè)，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）13．（2022·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)期末）如圖，在梯形中，AB//CD，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)，若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）14．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖．四邊形ABCD是平行四邊形：點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)．AC、BE相交于點(diǎn)O．設(shè)，．（1）試用表示；（寫出必要步驟）（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）15．（2021·上海市南洋模范初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)M、N是邊DC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，．（1）求向量；（2）在圖中求作向量在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．16．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，AE、CF與對(duì)角線BD分別交于點(diǎn)G、H，設(shè)，（1）試用、分別表示向量；（2）作出向量分別在、方向上的分向量．17．（2020·上海市民辦文綺中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在梯形中，，，，．（1）______（用含、的式子表示）．（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）【能力提升】一、單選題1．（2021·上海市文來(lái)中學(xué)九年級(jí)期中）下列正確的有（

）（1）（2）為單位向量，則（3）平面內(nèi)向量、，總存在實(shí)數(shù)m使得向量（4）若，，，則，就是在、方向上的分向量A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、填空題2．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知在中，設(shè)，，若、分別為、的中點(diǎn)，那么用、的線性組合表示為______．3．（2021·上海浦東新·九年級(jí)期末）如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，設(shè)，，那么向量關(guān)于、的分解式為______．4．（2022·上海閔行·九年級(jí)期末）如圖，是的中線，交于點(diǎn)，且．(1)直接寫出向量關(guān)于的分解式，______(2)在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）5．（2022·上海金山·九年級(jí)期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，點(diǎn)、分別在邊BC、CD上，，設(shè)，．求向量關(guān)于、的分解式．6．（2022·上海崇明·九年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)F為的重心，聯(lián)結(jié)AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E．(1)求的值；(2)如果，，用，表示和．7．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）已知：線段DE分別交△ABC的邊BA、CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E，且，△ABC的周長(zhǎng)是6cm，（1）求△ADE的周長(zhǎng)；（2）如果，求作：．8．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝，用、的線性組合表示向量．9．（2021·上海市松江九峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，且，CE交BD點(diǎn)E，BF＝15．（1）求DF的長(zhǎng)；（2）如果＝，＝，用、表示向量．10．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，DEBC，DFAC，DE、DF分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、F，且．（1）求的值；（2）聯(lián)結(jié)EF，設(shè)，，用含的式子表示．11．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．（1）用向量分別表示向量、；（2）作出向量分別在方向上的分向量（不要求寫作法，寫出結(jié)論）．12．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，．（1）求的正切值；（2）如果設(shè)，，試用、的線性組合表示；（3）求作在、方向上的分向量．13．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，已知：點(diǎn)E、F分別是平行四邊形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且，BF、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，設(shè)，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作關(guān)于向量、的分向量．14．（2021·上海松江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，D、E是△ABC邊AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且滿足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．（1）求證：FG∥AB；（2）設(shè)＝，＝，請(qǐng)用向量，表示．15．（2021·上海·九年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．（1）如果，，用、表示向量；（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．16．（2021·上海市羅星中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，一個(gè)的網(wǎng)格．其中點(diǎn)A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點(diǎn)．（1）在點(diǎn)M、N、P、Q中，哪個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)a，，寫出向量關(guān)于a、b的分解式．17．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，已知中，，，，．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)，．①請(qǐng)直接寫出向量關(guān)于、的分解式，________；②連接，在圖中作出向量分別在、方向上的分向量．【可以不寫作法，但必須寫出結(jié)論】18．（2022·上海青浦·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，CE、BD相交于點(diǎn)F，BF=3DF．(1)求AE：ED的值；(2)如果，，試用、表示向量．19．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD上一點(diǎn)，CE與BD相交于點(diǎn)O，CE與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的長(zhǎng)；（2）若＝，＝，用、表示；（3）在圖中畫出．（不需要寫畫法，但需要結(jié)論）20．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE、BD相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，交邊DC于點(diǎn)G．（1）求FG的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，用、的線性組合表示．

24.7向量的線性運(yùn)算（第2課時(shí)）（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、填空題1．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）向量在方向上的分量分別則＝_______【答案】【分析】根據(jù)向量的分量的概念及向量分解式的寫法即可得到答案．【詳解】∵向量在，方向上的分量分別，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，掌握向量分量的定義及向量分解式的寫法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海嘉定·二模）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點(diǎn)，，，用與的線性組合表示_____．【答案】######【分析】根據(jù)點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，BC上的中點(diǎn)，得到DE是△ABC的中位線，則＝，再根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則求出，即可得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，BC上的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線∴＝∵，∴＋∴故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線定理、向量的加法法則等知識(shí)，利用三角形的中位線定理得到＝是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校西校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且EFBD，AD＝3AF，設(shè)AB＝，BC＝，則向量FE關(guān)于、的分解式是FE＝___．【答案】【分析】依題意先證明，根據(jù)AD＝3AF，可得，，進(jìn)而根據(jù)即可求得．【詳解】AB＝，BC＝，四邊形是矩形，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量三角形法則，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海奉賢·三模）如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，記，，那么＝__________________（用向量、表示）．【答案】【分析】根據(jù)正六邊形性質(zhì)，得為等邊三角形，根據(jù)平行線性質(zhì)，得；結(jié)合向量性質(zhì)，得，再根據(jù)向量性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】連接OE，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，∴∴為等邊三角形∴∴∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形、等邊三角形、平行線、向量的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、向量的性質(zhì)，從而完成求解．5．（2021·上海嘉定·二模）如圖，中，D為邊AC的中點(diǎn)，設(shè)向量，向量，那么向量用向量，可表示為__________．【答案】【分析】利用三角形法則求出，可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形法則，解題的關(guān)鍵是求出，屬于中考?？碱}型．6．（2021·上?！ざ＃┤鐖D中，點(diǎn)在上，且．設(shè)，，那么______（結(jié)果用、表示）．【答案】【分析】首先利用三角形法則求得，則；然后再在△ABD中，利用三角形法則求得．【詳解】解：∵，，∴=，∵CD＝2BD，∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度適中，掌握三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，DE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F，如果，那么（用含的式子表示）．【答案】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可先求出DF:EF的值，從而得到DF:DE，然后用三角形法則表示出，即可得到【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DC:AE=AB:AE=1:2，∴DF:EF=DC:AE=2:1，∴DF:DE=，∵，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的知識(shí)，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得到相關(guān)的邊關(guān)系式解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海寶山·九年級(jí)期中）如圖，已知等腰梯形中，，如果，那么________．【答案】【分析】利用平面向量求和的三角形法則，即可求解．【詳解】解：∵AD∥BC，BC＝3AD，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，梯形的性質(zhì)，三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．9．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△中，是中線，點(diǎn)是△的重心，，如果用向量表示向量，那么__________．【答案】【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍用表示出，然后表示出向量即可．【詳解】如圖，∵是中線，點(diǎn)是△的重心，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量、三角形的重心、線段的和差，解題的關(guān)鍵是找出與的關(guān)系，并注意向量的方向．10．（2020·上海松江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知在中，E是邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)F．如果，那么_______（用含的式子表示）．【答案】【分析】先求出DF：EF的值，從而可得DF：DE，表示出，即可得出答案．【詳解】解：∵E是邊的中點(diǎn)，∴AE=AB∴，又，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系，難度一般．11．（2020·上海交大附中九年級(jí)期中）如圖，梯形中，，對(duì)角線與中位線交于點(diǎn)，如果，，設(shè)，那么__（用表示）【答案】【分析】根據(jù)梯形中位線性質(zhì)得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，則EG是△ABD的中位線，即可求得EG的長(zhǎng)，則FG即可求得，根據(jù)向量的定義可以得到．【詳解】∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×4=2∴FG=EF?EG=10?2=8∴FG=2AD.∵，∴，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，梯形與三角形的中位線，理解概念且準(zhǔn)確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．二、解答題12．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使，聯(lián)結(jié)AE交DC于點(diǎn)F，設(shè)，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）【答案】(1)(2)向量、是向量分別在、方向上的分向量．【分析】（1）連接AC，證四邊形ACED是平行四邊形，得出DE∥AC，根據(jù)平行四邊形法則求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB交AB于M，根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案．(1)解：連接AC，∵在平行四邊形ABCD中，∴AD∥CB，AD=CB，∵，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴DE∥AC，；(2)解：過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB交AB于M，則向量、是向量分別在、方向上的分向量．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．13．（2022·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)期末）如圖，在梯形中，AB//CD，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)，若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）【答案】（1）=，；（2）見詳解．【分析】（1）利用向量的表示方法，表示出，再由=即可求出，利用平行線段成比例，求出AF=，即可求出；（2）利用向量中分向量的畫法畫圖即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵=，，∴=，∵AB//CD，，DE=EC，∴，∴AF=∴．（２）在方向上的分向量如圖所示，即為所求；【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形中向量的表示方法，以及分向量在平行四邊形中的畫法，熟練掌握向量的基本應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，初中的向量問(wèn)題只在上海地區(qū)出現(xiàn)，其他地方在高中才會(huì)學(xué)到，需要注意．14．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖．四邊形ABCD是平行四邊形：點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)．AC、BE相交于點(diǎn)O．設(shè)，．（1）試用表示；（寫出必要步驟）（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】（1）；（2）圖見詳解，【分析】（1）首先證明，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（2）分別過(guò)點(diǎn)O作OM∥AD，ON∥AB，然后證明，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（2）如圖所示，在、上的分向量分別為和，∵AE∥BC，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，熟練掌握向量的線性運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．15．（2021·上海市南洋模范初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)M、N是邊DC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，．（1）求向量；（2）在圖中求作向量在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】（1）-；（2）見解析【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得，又由點(diǎn)M、N是邊DC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四邊形法則，即可求得答案．【詳解】解：（1）∵=，=，∴=-=-，∵點(diǎn)M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，∴-；（2）作圖：結(jié)論：、是向量分別在、方向上的分向量．．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識(shí)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．16．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，AE、CF與對(duì)角線BD分別交于點(diǎn)G、H，設(shè)，（1）試用、分別表示向量；（2）作出向量分別在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）先證明，進(jìn)而利用三角形法則求得出，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求得；（2）利用平行四邊形法則，即可作出向量分別在、方向上的分向量【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形同理可得，；（2）如圖，分別是在、方向上的分向量【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識(shí)，掌握三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17．（2020·上海市民辦文綺中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在梯形中，，，，．（1）______（用含、的式子表示）．（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)向量加法法則計(jì)算；（2）根據(jù)平行四邊形法則即可表示．【詳解】（1）；（2）如圖，取的中點(diǎn)，則，即為向量分別在、方向上的分向量．．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的平行四邊形法則，及一個(gè)向量在另一向量方向的分量的定理，熟練掌握基本定理及靈活運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2021·上海市文來(lái)中學(xué)九年級(jí)期中）下列正確的有（

）（1）（2）為單位向量，則（3）平面內(nèi)向量、，總存在實(shí)數(shù)m使得向量（4）若，，，則，就是在、方向上的分向量A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】∵，∴結(jié)論(1)不符合題意；∵為單位向量，∴∴結(jié)論(2)不符合題意；∵向量、是平行向量時(shí)，總存在實(shí)數(shù)m使得向量∴結(jié)論(3)不符合題意；∵若，，，則，就是在、方向上的分向量，∴結(jié)論(4)符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的性質(zhì)，平行向量的性質(zhì)，向量的運(yùn)算，熟練掌握向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知在中，設(shè)，，若、分別為、的中點(diǎn)，那么用、的線性組合表示為______．【答案】【分析】由題意利用三角形法則求得，然后由三角形中位線定理得到，進(jìn)而結(jié)合平面向量的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖，在中，設(shè)，，．又、分別為、的中點(diǎn)，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量和三角形中位線定理．由三角形法則求得是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海浦東新·九年級(jí)期末）如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，設(shè)，，那么向量關(guān)于、的分解式為______．【答案】【分析】根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)．注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題4．（2022·上海閔行·九年級(jí)期末）如圖，是的中線，交于點(diǎn)，且．(1)直接寫出向量關(guān)于的分解式，______(2)在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線性質(zhì)和重心性質(zhì)可得BD=BC，AG=AD，由求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)G分別作AB、BC的平行線，分別交BC、AB于H、F，作向量、即可．(1)解：∵是的中線，交于點(diǎn)，∴BD=BC，AG=AD，∵，∴=，∴，故答案為：；(2)解：如圖所示，、是向量在向量和方向上的分向量．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、三角形的中線性質(zhì)、三角形的重心性質(zhì)、尺規(guī)作圖-作平行線，熟練掌握向量的線性運(yùn)算，會(huì)作出一個(gè)向量在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上的分向量是解答的關(guān)鍵．5．（2022·上海金山·九年級(jí)期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，點(diǎn)、分別在邊BC、CD上，，設(shè)，．求向量關(guān)于、的分解式．【答案】【分析】連接BD，先證明，由可得向量關(guān)于、的分解式．【詳解】解：連接BD．∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握平行向量與向量的模的定義是解此題的關(guān)鍵．6．（2022·上海崇明·九年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)F為的重心，聯(lián)結(jié)AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E．(1)求的值；(2)如果，，用，表示和．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)即可得到DE是△ABC的中位線，則，DE∥AB，即可證明△ABF∽△DEF，得到；（2）先求出，再由，即可求出；由△ABF∽△DEF，得到，可以推出，則．(1)解：∵F是三角形ABC的重心，∴D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴，DE∥AB，∴△ABF∽△DEF，∴；(2)解：∵F是△ABC的重心，∴D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵△ABF∽△DEF，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的線性運(yùn)算等等，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）已知：線段DE分別交△ABC的邊BA、CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E，且，△ABC的周長(zhǎng)是6cm，（1）求△ADE的周長(zhǎng)；（2）如果，求作：．【答案】（1）4cm；（2）見解析【分析】（1）先證明△CAB∽△EAD，得到，則，，，再由△ABC的周長(zhǎng)為6cm，得到AB+AC+BC=6cm，最后根據(jù)△ADE的周長(zhǎng)=求解即可；（2）先根據(jù)向量的加減計(jì)算法則化簡(jiǎn)得到結(jié)果為，即，然后作線段AC的垂直平分線，找到線段AC的中點(diǎn)F，則向量即為所求．【詳解】解：（1）∵∠CAB=∠EAD，，∴△CAB∽△EAD，∴，∴，，，∵△ABC的周長(zhǎng)為6cm，∴AB+AC+BC=6cm，∴△ADE的周長(zhǎng)=；（2），∵，，∴，如圖所示，分別以A、C為圓心，以大于AC長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，二者交于M、N，連接MN交AC于F，作向量，然后作向量，則向量即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的計(jì)算和作圖，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定條件，向量的加減計(jì)算法則．8．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝，用、的線性組合表示向量．【答案】．【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算即可．【詳解】解：∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴．∵點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用三角形法則．9．（2021·上海市松江九峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，且，CE交BD點(diǎn)E，BF＝15．（1）求DF的長(zhǎng)；（2）如果＝，＝，用、表示向量．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理及推論求解即可；（2）利用三角形法則求出，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∵AD∥BC∴（平行線分線段成比例定理的推論），∴∴DF＝；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴，∵，＝∴∴，∴，∵，∴CF＝CE，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理及推論等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則求平面向量．10．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，DEBC，DFAC，DE、DF分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、F，且．（1）求的值；（2）聯(lián)結(jié)EF，設(shè)，，用含的式子表示．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由可知，根據(jù)可知，再由可得；（2）由可知，據(jù)此可得，同理可知，根據(jù)平行四邊形法則可得答案．【詳解】解：（1）∵∴∵∴又∵∴；（2）∵，∴，∵，與方向相反，∴，同理可得：，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，比例的性質(zhì)以及向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理以及向量的運(yùn)算．11．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．（1）用向量分別表示向量、；（2）作出向量分別在方向上的分向量（不要求寫作法，寫出結(jié)論）．【答案】（1）=，；（2）見解析【分析】（1）由題意可得，由三角形相似可得，，從而可得，，再根據(jù)即可求得結(jié)果；（2）由DE∥BC，作DM∥AC交BC于點(diǎn)M，從而四邊形DMCE是平行四邊形，則向量、即為所求作向量．【詳解】（1）∵∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴即AE=2CE∴，∴，∴∴=，.（2）作DM∥AC交BC于點(diǎn)M∵DE∥BC，∴四邊形DMCE是平行四邊形∴向量、即為所求作向量．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減運(yùn)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，作向量的分量等知識(shí)，靈活運(yùn)用向量加減法的三角形法則是問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，．（1）求的正切值；（2）如果設(shè)，，試用、的線性組合表示；（3）求作在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）；（3）畫圖見解析；【分析】（1）因?yàn)?，，所以．則．再根據(jù)平行線分線段正比例出、，根據(jù)即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)，只要求出、即可解決問(wèn)題；（3）構(gòu)造四邊形是平行四邊形，可得，繼而求得答案．【詳解】解：（1），，，又已知，．即，∴，∴，，∴設(shè)，，則，∴，∴，，∵，∴，，，，，，，，在中，，即；（2），，，，，，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，且截取，連接，即，∴四邊形為平行四邊形，∴向量在、方向上的分向量為：，．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、平行四邊形法則、銳角三角函數(shù)、平行線分線段成比例等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．13．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，已知：點(diǎn)E、F分別是平行四邊形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且，BF、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，設(shè)，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作關(guān)于向量、的分向量．【答案】（1），；（2）作圖見解析．【分析】（1），可求得，則有，再根據(jù)，得，則，據(jù)此求解即可（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則有，即點(diǎn)為所求．【詳解】解：（1）∵，∴∴，∴∴∵∴∴（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則有：，∴點(diǎn)為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，熟悉想性質(zhì)，特別是向量額的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海松江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，D、E是△ABC邊AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且滿足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．（1）求證：FG∥AB；（2）設(shè)＝，＝，請(qǐng)用向量，表示．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【分析】（1）由AD＝DE＝EB，可得AE=2BE，BD=2AD，由DF∥BC，，由GE∥AC，可得，可得，∠FCG=∠ACB，可證△FCG∽△ACB即可；（2）由△FCG∽△ACB，可得，由＝，＝可得，由向量的模之間關(guān)系可得，GF∥BA；利用平行向量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵AD＝DE＝EB，∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，∵DF∥BC，∴，∵GE∥AC，，∴，∴，∴，∠FCG=∠ACB，∴△FCG∽△ACB，∴∠FGC=∠B，∴FG∥AB；（2）解：∵△FCG∽△ACB，∴，∴∵＝，＝，∴∵，GF∥BA；∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線截線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量的模，平行向量，和與差向量，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．（1）如果，，用、表示向量；（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由G是重心，可得，，因?yàn)椋傻?，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)G是重心，求出DG=3，因?yàn)椤鰽GD是等腰直角三角形，勾股定理計(jì)算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可．【詳解】解：（1）∵，∵點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，∴AD＝AC，∵，，∴，∴∴，．（2）∵G是三角形的重心，∴BG=2GD，AD=DC，∵BG=6，∴GD=3，∵，，∴AG=GD=3，∴，∵，∴，∴DE=，∴AE=AD+DE=【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算、勾股定理解題是關(guān)鍵．16．（2021·上海市羅星中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，一個(gè)的網(wǎng)格．其中點(diǎn)A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點(diǎn)．（1）在點(diǎn)M、N、P、Q中，哪個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)a，，寫出向量關(guān)于a、b的分解式．【答案】（1）點(diǎn)N和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由見解析；（2）【分析】（1）設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)度，然后分類討論，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似逐一判斷即可；（2）延長(zhǎng)AB至E，使BE=AB，根據(jù)向量加法的三角形法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)N和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由如下：設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為a，則BC=a，AB=，AC=，其中BC＜AB＜AC如下圖所示，連接BM、AM則BM=，AM=，其中AB＜BM＜AM∴，∴≠∴和不相似；如下圖所示，連接AN則BN=2a，AN=，其中AB＜BN＜AN∴，，，∴＝=∴∽；如下圖所示，連接BP則BP=，AP=3，其中AB＜BP＜AP∴，∴≠∴和不相似；如下圖所示，連接BQ、AQ則BQ=，AQ=，其中AB＜BQ＜AQ∴，∴≠∴和不相似；綜上：點(diǎn)N和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似；（2）延長(zhǎng)AB至E，使BE=AB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，點(diǎn)E正好落在格點(diǎn)上，如下圖所示∴，∴=＋=．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法則是解題關(guān)鍵．17．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，已知中，