專項22-與二次函數(shù)圖象有關(guān)的八種考法-重難點題型

與二次函數(shù)圖象有關(guān)的八種考法-重難點題型【題型1根據(jù)條件確定二次函數(shù)的圖象】【例1】（鎮(zhèn)平縣一模）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函數(shù)的圖象可以是（）A． B．C． D．【變式1-1】（北侖區(qū)期中）若a＞0，則二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣1的圖象可能是（）A． B．C． D．【變式1-2】（大連期中）函數(shù)y＝ax2+ax+a（a≠0）的圖象可能是下列圖象中的（）A． B． C． D．【變式1-3】（浙江校級模擬）已知函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)y＞0時，?12＜x＜13．則函數(shù)y＝cx2A． B．C． D．【題型2根據(jù)拋物線特征確定其他函數(shù)的圖象】【例2】（南寧一模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣x+m的圖象交x軸的正半軸于A，B兩點，交y軸的正半軸于C點，如果x＝a時，y＜0，那么關(guān)于x的一次函數(shù)y＝（a﹣1）x+m的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式2-1】（和平區(qū)校級月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax與一次函數(shù)y＝bx﹣c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）A． B． C． D．【變式2-2】（江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式2-3】（廬陽區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示，則函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【題型3確定一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象】【例3】已知一次函數(shù)y=bax+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+A． B． C． D．【變式3-1】（深圳）二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數(shù)y＝2ax+b在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式3-2】（越秀區(qū)模擬）已知a，b是非零實數(shù)，|b|＞|a|，在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx與一次函數(shù)y2＝ax﹣b的大致圖象不大可能的是（）A． B． C． D．【變式3-3】（廣西模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2+bx+2b與y＝﹣ax+b的圖象可能是（）A． B． C． D．【題型4利用二次函數(shù)的圖象解決不等式問題】【例4】（番禺區(qū)校級月考）如圖．拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2+mx+c＞n的解集為（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3【變式4-1】（賀州）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關(guān)于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【變式4-2】（南山區(qū)校級二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的右交點A（5，0），對稱軸是直線x＝2，當(dāng)ax2+bx+c＞16a時，x的取值范圍是（）A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7【變式4-3】（梧州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h交于A，B兩點，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4 C．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2 D．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【題型5利用二次函數(shù)的圖象解決一元二次方程問題】【例5】（松山區(qū)期末）如圖所示，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解為（）A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3【變式5-1】（海珠區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則整數(shù)m的最小值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【變式5-2】（南寧二模）如圖，二次函數(shù)：y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)：y＝mx+n（m≠0）的圖象交于A，B兩點，則一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解為（）A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝x2＝2【變式5-3】（開福區(qū)模擬）如圖，是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)是A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②拋物線與x軸的另一個交點是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根；④當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；則x1+x2＝1．則命題正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【題型6利用二次函數(shù)的圖象特征判斷結(jié)論正誤】【例6】（福田區(qū)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸是直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m為實數(shù)）．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式6-1】（鐵嶺模擬）數(shù)學(xué)課上老師出了這樣一道題：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣2，與x軸的一個交點在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，其部分圖象如圖所示，請同學(xué)們據(jù)此寫出正確結(jié)論，每寫對一個結(jié)論得20分，寫錯一個結(jié)論倒扣10分；小濤得到了如下結(jié)論：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t為實數(shù)）；⑤點（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是該拋物線的點，則y1＞y3＞y2．則小濤此題得分為（）A．100分 B．70分 C．40分 D．10分【變式6-2】（槐蔭區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為M（2，0）．下列結(jié)論：①ac＜0；②2a+b＝0；③若關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝4．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-3】（肇源縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四個根，則這四個根的和為﹣4．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【題型7由幾何動點問題確定函數(shù)圖象】【例7】（聊城）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，點P，Q同時由A點出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【變式7-1】（杭州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為5，動點P的運動路線為A→B→C，動點Q的運動路線為B→D．點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點到達(dá)終點且停止運動時，另一個點也隨之停止．設(shè)點P運動的路程為x，△BPQ的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【變式7-2】（包河區(qū)二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直線上，將△ABC向右平移，則△ABC和正方形EFGH重疊部分的面積y與點B移動的距離x之間的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【變式7-3】（瑤海區(qū)二模）如圖，直線a、b都與直線l垂直，垂足分別為E、F，EF＝1，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC在直線l上，且點C位于點E處，將正方形ABCD沿l向右平移，直到點A與點F重合為止，記點C平移的距離為x，正方形ABCD位于直線a、b之間部分（陰影部分）的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【題型8由動點問題的函數(shù)圖象獲取信息】【例8】（西城區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD，動點P從點A出發(fā)沿折線AB→BD→DA勻速運動，回到點A后停止．設(shè)點P運動的路程為x，線段AP的長為y，圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則?ABCD的面積為（）A．245 B．165 C．125 D．36【變式8-1】（花都區(qū)三模）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，點E是BC邊上的一動點，點P是對角線BD上一動點，設(shè)PD的長度為x，PE與PC的長度和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H（a，b）是圖象上的最低點，則a+b的值為（）A．73 B．63+3 C．83【變式8-2】（鄭州期末）如圖①，E為長方形ABCD的邊AD上一點，點P從點B出發(fā)沿折線B﹣E﹣D運動到點D停止，點Q從點B出發(fā)沿BC運動到點C停止，它們的運動速度都是1cm/s．現(xiàn)P，Q兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），若y與x的對應(yīng)關(guān)系如圖②所示，則a的值是（）A．32cm2 B．34cm2 C．36cm2 D．38cm2【變式8-3】（河南）如圖1，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設(shè)B，P兩點間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7

與二次函數(shù)圖象有關(guān)的八種考法-重難點題型（解析版）【題型1根據(jù)條件確定二次函數(shù)的圖象】【例1】（鎮(zhèn)平縣一模）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函數(shù)的圖象可以是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)已知條件“a＜0、b＞0、c＜0”判斷出該函數(shù)圖象的開口方向、與x和y軸的交點、對稱軸所在的位置，然后據(jù)此來判斷它的圖象．【解答過程】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴該函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸是直線x=?b2a＞0，與y故選：D．【變式1-1】（北侖區(qū)期中）若a＞0，則二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣1的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)a＞0，判斷拋物線開口向上，對稱軸為直線x=?22a=?【解答過程】解：∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵對稱軸直線x=?2∴對稱軸在y軸的左側(cè)，由y＝ax2+2x﹣1可知，拋物線與y軸的交點為（0，﹣1），故選：D．【變式1-2】（大連期中）函數(shù)y＝ax2+ax+a（a≠0）的圖象可能是下列圖象中的（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)y＝ax2+ax+a（a≠0），對a的正負(fù)進(jìn)行分類討論，排除有錯誤的選項，即可得出正確選項．【解答過程】解：在函數(shù)y＝ax2+ax+a（a≠0）中，當(dāng)a＜0時，則該函數(shù)開口向下，頂點在y軸左側(cè)，拋物線與y軸的負(fù)半軸相交，故選項D錯誤；當(dāng)a＞0時，則該函數(shù)開口向上，頂點在y軸左側(cè)，拋物線與y軸的正半軸相交，故選項A、B錯誤；故選項C正確；故選：C．【變式1-3】（浙江校級模擬）已知函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)y＞0時，?12＜x＜13．則函數(shù)y＝cx2A． B． C． D．【解題思路】當(dāng)y＞0時，?12＜x＜13，所以可判斷a＜0，可知?ba=?12+13=?16，【解答過程】解：因為函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)y＞0時，?所以可判斷a＜0，可知?ba所以可知a＝6b，a＝﹣6c，則b＝﹣c，不妨設(shè)c＝1則函數(shù)y＝cx2﹣bx+a為函數(shù)y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）則可判斷與x軸的交點坐標(biāo)是（2，0），（﹣3，0），故選：A．【題型2根據(jù)拋物線特征確定其他函數(shù)的圖象】【例2】（南寧一模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣x+m的圖象交x軸的正半軸于A，B兩點，交y軸的正半軸于C點，如果x＝a時，y＜0，那么關(guān)于x的一次函數(shù)y＝（a﹣1）x+m的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象與y軸的交點，可得m＞0，根據(jù)二次函數(shù)圖象當(dāng)x＝a時，y＜0，可得a＞0，a﹣1＜0，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答過程】解：把x＝a代入函數(shù)y＝x2﹣x+m，得y＝a2﹣a+m＝a（a﹣1）+m，∵x＝a時，y＜0，即a（a﹣1）+m＜0．由圖象交y軸的正半軸于點C，得m＞0，即a（a﹣1）＜0．x＝a時，y＜0，∴a＞0，a﹣1＜0，∴一次函數(shù)y＝（a﹣1）x+m的圖象過一二四象限，故選：A．【變式2-1】（和平區(qū)校級月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax與一次函數(shù)y＝bx﹣c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可以得到a、b、c的正負(fù)，從而可以得到一次函數(shù)y＝ax與一次函數(shù)y＝bx﹣c的圖象，本題得以解決．【解答過程】解：由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函數(shù)y＝ax的圖象經(jīng)過第一、三象限，一次函數(shù)y＝bx﹣c的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故選：A．【變式2-2】（江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函數(shù)y＝ax﹣+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x=?b2a＜0，與y【解答過程】解：觀察函數(shù)圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x=?b2a＜0，與y故選：D．【變式2-3】（廬陽區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示，則函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+c的圖象可能是（）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)一次函數(shù)y＝﹣x與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象交點位置，即可判斷函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+c的圖像與x軸在交點的位置．【解答過程】解：∵一次函數(shù)y＝﹣x與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的交點在第二象限，∴兩個交點的橫坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)，∴函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+c的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)都為負(fù)數(shù)，∴函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+c的圖像與x軸的負(fù)半軸有兩個交點，故選：D．【題型3確定一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象】【例3】已知一次函數(shù)y=bax+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出ba＜0、c＞0，由此即可得出：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象對稱軸x=?b2a＞【解答過程】解：觀察函數(shù)圖象可知：ba＜0、∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象對稱軸x=?b2a＞0，與y故選：A．【變式3-1】（深圳）二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數(shù)y＝2ax+b在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)以及對稱軸，與一次函數(shù)y＝2ax+b的圖象得到的字母系數(shù)的正負(fù)以及與x軸的交點相比較看是否一致．【解答過程】解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＝1，對稱軸為直線x=?b2a，由直線可知，a＞0，b＜0，直線經(jīng)過點（B、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線經(jīng)過點（C、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線經(jīng)過點（D、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線經(jīng)過點（故選：A．【變式3-2】（越秀區(qū)模擬）已知a，b是非零實數(shù)，|b|＞|a|，在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx與一次函數(shù)y2＝ax﹣b的大致圖象不大可能的是（）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2﹣bx與一次函數(shù)y＝ax﹣b（a≠0）可以求得它們的交點坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的正負(fù)情況，從而可以解答本題．【解答過程】解：y=ax2?bxy=ax?b解得故二次函數(shù)y＝ax2﹣bx與一次函數(shù)y＝ax﹣b（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點在x軸上為（ba，0）或點（1，a﹣b在A中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，ba＜0，a﹣b＞0，故選項在B中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，ba＞0，由|b|＞|a|，a﹣b＜0，故選項在C中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，ba＞0，由|b|＞|a|，a﹣b＞0，故選項在D中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，ba＜0，a﹣b＜0，故選項故選：B．【變式3-3】（廣西模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2+bx+2b與y＝﹣ax+b的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)y＝﹣ax+b的圖象判斷a、b與0的大小關(guān)系，進(jìn)一步確定函數(shù)y＝ax2+bx+2b的圖象即可作出判斷．【解答過程】解：A、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函數(shù)y＝ax2+bx+2b的圖象開口向上，對稱軸x＜0，與y軸的交點位于直線的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，則兩圖象有交點，故A錯誤；B、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函數(shù)y＝ax2+bx+2b開口向上，對稱軸x＞0，故B錯誤；C、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函數(shù)y＝ax2+bx+2b開口向下，對稱軸x＞0，故C錯誤；D、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三，四象限，則﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函數(shù)y＝ax2+bx+2b開口向上，對稱軸x＞0，故D正確；故選：D．【題型4利用二次函數(shù)的圖象解決不等式問題】【例4】（番禺區(qū)校級月考）如圖．拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2+mx+c＞n的解集為（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3【解題思路】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，∴拋物線y＝ax2+c與直線y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）兩點，觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜﹣3或x＞1時，拋物線y＝ax2+c在直線y＝﹣mx+n的上方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集為x＜﹣3或x＞1，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．故選：C．【變式4-1】（賀州）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關(guān)于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【解題思路】y＝kx+m與y＝﹣kx+m的圖象關(guān)于y軸對稱，利用數(shù)形結(jié)合思想，把不等式的解集轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題求解．【解答過程】解：∵y＝kx+m與y＝﹣kx+m的圖象關(guān)于y軸對稱，∴直線y＝﹣kx+m與拋物線y＝ax2+c的交點A′、B′與點A、B也關(guān)于y軸對稱，如圖所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根據(jù)函數(shù)圖象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故選：D．【變式4-2】（南山區(qū)校級二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的右交點A（5，0），對稱軸是直線x＝2，當(dāng)ax2+bx+c＞16a時，x的取值范圍是（）A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7【解題思路】由對稱軸公式得直線x=?b2a=2，可得b＝﹣4a，與x軸右交點為(5,0)，代入拋物線得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入拋物線得ax2﹣4ax﹣5a【解答過程】解：∵y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝2，∴?bb＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵與x軸右交點為(5,0)，∴25a﹣20a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，ax2﹣4ax﹣21a＞0，∵a＜0，∴x2﹣4x﹣21＜0（兩邊同除以a，不等號方向改變），∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，開口向上，當(dāng)x2﹣4x﹣21＝0時，（x﹣7)(x+3)＝0（結(jié)合圖象，可得﹣3＜x＜7），∴x1＝7，x2＝﹣3，∴﹣3＜x＜7，故選：C．【變式4-3】（梧州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h交于A，B兩點，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4 C．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2 D．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【解題思路】聯(lián)立y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函數(shù)圖象知，上述方程的解為x＝2或4，進(jìn)而求解．【解答過程】解：聯(lián)立y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函數(shù)圖象知，上述方程的解為x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示拋物線的值大于直線的值，此時，x＜2或x＞4，故選：D．【題型5利用二次函數(shù)的圖象解決一元二次方程問題】【例5】（松山區(qū)期末）如圖所示，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解為（）A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3【解題思路】由題意可知交點（3，0）中的橫坐標(biāo)3是方程﹣x2+2x+k＝0的一個根，所以把x1＝3代入關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出另一個解x2的值．【解答過程】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），∴橫坐標(biāo)3是方程﹣x2+2x+k＝0的一個根，∴把x1＝3代入關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，﹣9+6+k＝0，解得k＝3，∴原方程可化為：﹣x2+2x+3＝0，∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．故選：B．【變式5-1】（海珠區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則整數(shù)m的最小值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)拋物線的圖象以及二次函數(shù)與一元二次方程的之間的關(guān)系即可求出答案．【解答過程】解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴ax2+bx＝2﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示與x軸平行的直線），∴y1與y2有兩個交點，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整數(shù)，∴m＝1，故選：C．【變式5-2】（南寧二模）如圖，二次函數(shù)：y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)：y＝mx+n（m≠0）的圖象交于A，B兩點，則一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解為（）A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝x2＝2【解題思路】結(jié)合函數(shù)圖象得到兩函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)，則當(dāng)x＝﹣1或x＝2時，兩函數(shù)的函數(shù)值相等，從而得到一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解．【解答過程】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)：y＝mx+n（m≠0）的圖象的交點A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，2，∴當(dāng)x＝﹣1或x＝2時，ax2+bx+c＝mx+n，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解為x1＝﹣1，x2＝2．故選：C．【變式5-3】（開福區(qū)模擬）如圖，是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)是A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②拋物線與x軸的另一個交點是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根；④當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；則x1+x2＝1．則命題正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【解題思路】①根據(jù)對稱軸可以判斷；②根據(jù)已知交點坐標(biāo)和對稱軸可以判斷；③根據(jù)圖象性質(zhì)向下平移3個單位即可判斷；④根據(jù)圖象性質(zhì)即可判斷；⑤根據(jù)圖象對稱性即可判斷．【解答過程】解：①∵對稱軸為直線x=?b則：2a+b＝0正確；②∵對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點是B（4，0），則與x軸的另一個交點是（﹣2，0），故②正確；③將拋物線y1=ax2+bx+c向下平移3個單位，得到y(tǒng)＝ax2∴頂點坐標(biāo)變?yōu)椋?，0），∴此時拋物線與x軸只有一個交點，∴方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根正確；④當(dāng)1＜x＜4時，有圖象可知y2＜y1正確；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，則ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，即y1＝y(tǒng)2，∴x1、x2關(guān)于函數(shù)的對稱軸對稱，由①知函數(shù)對稱軸為直線x=?b故12（x1+x2∴⑤不正確，故選：B．【題型6利用二次函數(shù)的圖象特征判斷結(jié)論正誤】【例6】（福田區(qū)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸是直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m為實數(shù)）．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解題思路】該函數(shù)開口方向向上，則a＞0，由對稱軸可知，b＝﹣2a＜0，與y軸交點在y軸負(fù)半軸，則c＜0，再根據(jù)一些特殊點，比如x＝1，x＝﹣1，頂點等進(jìn)行判斷即可．【解答過程】解：∵函數(shù)開口方向向上，a＞0，∵對稱軸為x＝1，則?b∴b＝﹣2a＜0，∵與y軸交點在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①錯；當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正確；對稱軸為x＝1，則?b2a=1，即b由上知，a﹣b+c＞0，則a+2a+c＞0，即3a+c＞0，∴4a+c＞a＞0，故③正確；由圖象可得，當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最小值，∴對任意m為實數(shù)，有am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正確．綜上，正確的個數(shù)有三個．故選：B．【變式6-1】（鐵嶺模擬）數(shù)學(xué)課上老師出了這樣一道題：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣2，與x軸的一個交點在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，其部分圖象如圖所示，請同學(xué)們據(jù)此寫出正確結(jié)論，每寫對一個結(jié)論得20分，寫錯一個結(jié)論倒扣10分；小濤得到了如下結(jié)論：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t為實數(shù)）；⑤點（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是該拋物線的點，則y1＞y3＞y2．則小濤此題得分為（）A．100分 B．70分 C．40分 D．10分【解題思路】由拋物線與x軸的交點及拋物線的對稱性可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸可判斷②；由x＝﹣1時y＞0可判斷③，由x＝﹣2時函數(shù)取得最大值可判斷④；根據(jù)拋物線的開口向下且對稱軸為直線x＝﹣2知圖象上離對稱軸水平距離越小函數(shù)值越大，可判斷⑤．【解答過程】解：∵與x軸的一個交點在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，∴由拋物線的對稱性知，另一個交點在（﹣1，0）和（0，0）之間，∴拋物線與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸，即c＜0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴4a﹣b＝0，所以②正確；∵由②知，x＝﹣1時y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正確；由函數(shù)圖象知當(dāng)x＝﹣2時，函數(shù)取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t為實數(shù)），故④正確；∵拋物線的開口向下，且對稱軸為直線x＝﹣2，∴拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數(shù)值越大，∴y1＞y3＞y2，故⑤正確；∵寫對一個結(jié)論得20分，寫錯一個結(jié)論倒扣10分，∴小濤得到了70分，故選：B．【變式6-2】（槐蔭區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為M（2，0）．下列結(jié)論：①ac＜0；②2a+b＝0；③若關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝4．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】由拋物線開口向上得a＞0，由拋物線與y軸的交點在x軸上方得c＞0，則可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=?b2a=2可對②進(jìn)行判斷；由頂點M的坐標(biāo)為（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判別式△＞0，則可對③進(jìn)行判斷；由ax12+bx1＝ax22+bx2得出x【解答過程】解：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴ac＞0，所以①不正確；②∵頂點M（2，0），∴拋物線的對稱軸為直線x=?b∴4a+b＝0，所以②不正確；③∵拋物線的頂點M的坐標(biāo)為（2，0），∴4a+2b+c＝0，又∵4a+b＝0，∴b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2﹣4a（c﹣t）＞0，即c2﹣c（c﹣t）＞0，得ct＞0，∵c＞0，∴t＞0，所以③正確；④∵ax12+bx1＝ax22+bx2，則ax12+bx1+c＝ax22∵當(dāng)x＝x1與x＝x2時，y值相同，∴x1，x2關(guān)于對稱軸x＝2對稱，則x1+x22=2，即x1故選：B．【變式6-3】（肇源縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四個根，則這四個根的和為﹣4．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【解答過程】解：∵拋物線的開口向上，則a＞0，對稱軸在y軸的左側(cè)，則b＞0，交y軸的負(fù)半軸，則c＜0，∴abc＜0，所以①結(jié)論錯誤；∵拋物線的頂點坐標(biāo)（﹣2，﹣9a），∴?b2a=?2，4ac?∴b＝4a，c＝﹣5a，∴拋物線的解析式為y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②結(jié)論正確，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③結(jié)論錯誤，∵拋物線y＝ax2+4ax﹣5a交x軸于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1，正確，故結(jié)論④正確，若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，設(shè)方程ax2+bx+c＝1的兩根分別為x1，x2，則x1+x22=?2，可得設(shè)方程ax2+bx+c＝﹣1的兩根分別為x3，x4，則x3+x42=?2，可得所以這四個根的和為﹣8，故結(jié)論⑤錯誤，故選：A．【題型7由幾何動點問題確定函數(shù)圖象】【例7】（聊城）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，點P，Q同時由A點出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【解題思路】分點Q在線段AD上，點Q在線段CD上，點Q在線段BC上，三種情況討論，由三角形面積公式可求解析式，即可求解．【解答過程】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥AB于F，∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CFA＝90°，∴四邊形DEFC是矩形，∴DC＝EF＝3，∵AD＝5，DE＝4，∴AE=AD∵∠ABC＝45°，∴∠FCB＝∠ABC＝45°，∴CF＝BF＝4，∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，當(dāng)點Q在線段AD上時，則0≤x≤3，y=12×x×43當(dāng)點Q在線段CD上時，則3＜x≤6，y=12×x當(dāng)點Q在線段BC上，則6＜x≤10，如圖，∵AP＝t，AB＝10，∴BP＝10﹣t，∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴PQ＝PB＝10﹣x，∴y=12×x×（10﹣x）=?12故選：B．【變式7-1】（杭州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為5，動點P的運動路線為A→B→C，動點Q的運動路線為B→D．點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點到達(dá)終點且停止運動時，另一個點也隨之停止．設(shè)點P運動的路程為x，△BPQ的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【解題思路】分兩種情況：P點在AB上運動和P點在BC上運動時；分別求出解析式即可．【解答過程】解：（1）點P在AB上運動時，0＜x≤5，如右圖，∵正方形ABCD的邊長為5，點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，作QE⊥AB交AB于點E，則有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，∴BP＝5﹣x，QE=22∴△BPQ的面積為：y=12BP?QE=12×(5?x)×22∴此時圖象為拋物線開口方向向下；（2）點P在BC上運動時，5＜x≤52，如右圖，∵正方形ABCD的邊長為5，點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，作QE⊥BC交BC于點E，則有AP+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，∴BP＝x﹣5，QE=22∴△BPQ的面積為：y=12BP?QE=12×（x﹣5）×22x=24∴此時圖象是拋物線一部分，開口方向向上，且y隨x的增大而增大；綜上，只有選項B的圖象符合，故選：B．【變式7-2】（包河區(qū)二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直線上，將△ABC向右平移，則△ABC和正方形EFGH重疊部分的面積y與點B移動的距離x之間的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【解題思路】首先確定每段與x的函數(shù)關(guān)系類型，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定選項．【解答過程】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝22，∴△ABC的底邊AB邊上的高為：AC?sin45°=22①當(dāng)0＜x≤2時，y=1故第一段函數(shù)圖象為開口方向向上的拋物線，可排除選項A、D；②當(dāng)2＜x≤4時，F(xiàn)B＝x﹣2，AE＝4﹣x，∴y=12×(22)故第二段函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線，可排除選項B；③當(dāng)4＜x＜6時，y=1故第二段函數(shù)圖象為開口方向向上的拋物線，故選項C符合題意．故選：C．【變式7-3】（瑤海區(qū)二模）如圖，直線a、b都與直線l垂直，垂足分別為E、F，EF＝1，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC在直線l上，且點C位于點E處，將正方形ABCD沿l向右平移，直到點A與點F重合為止，記點C平移的距離為x，正方形ABCD位于直線a、b之間部分（陰影部分）的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【解題思路】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三種情況，分別求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解．【解答過程】解：①當(dāng)0≤x≤1時，如圖1，設(shè)平移后的正方形交直線a于點G、H，則EC＝x，△GHC為等腰直角三角形，故GH＝2x，則y＝S△HGC=12×EC?GH=12?x?2②當(dāng)1＜x≤2時，如圖2，設(shè)平移后的正方形交b于點M、N交a于點GH，則△A′GH、△MNC′均為等腰直角三角形，則y＝S正方形ABCD﹣（S△A′GH+S△MNC′）＝（2）2?12[（2﹣x）（2﹣x）×2﹣2×（x﹣1）（x﹣1）]＝﹣2x2+6該函數(shù)為開口向下的拋物線；③當(dāng)2＜x≤3時，同理可得：y＝（3﹣x）×2（3﹣x）×12=x2該函數(shù)為開口向上的拋物線；故選：B．【題型8由動點問題的函數(shù)圖象獲取信息】【例8】（西城區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD，動點P從點A出發(fā)沿折線AB→BD→DA勻速運動，回到點A后停止．設(shè)點P運動的路程為x，線段AP的長為y，圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則?ABCD的面積為（）A．245 B．165 C．125 D．36【解題思