專項24-圓的切線的判定與性質-重難點題型

圓的切線的判定與性質-重難點題型【知識點1切線的判定】（1）切線判定：=1\*GB3①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線=2\*GB3②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）=3\*GB3③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑．【題型1切線判定（連半徑，證垂直）】【例1】（新興縣一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點C，連接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求證：直線BD是⊙O的切線．【變式1-1】（思明區(qū)校級期末）如圖，AB是圓O的一條弦，點E是劣弧AB的中點，直線CD經(jīng)過點E且與直線AB平行，證明：直線CD是圓O的切線．【變式1-2】（福州期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為半圓O上一點，直線l經(jīng)過點C，過點A作AD⊥l于點D，連接AC，當AC平分∠DAB時，求證：直線l是⊙O的切線．【變式1-3】（蕪湖模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF．（1）求證：ED＝EC；（2）求證：AF是⊙O的切線．【題型2切線判定（作垂直，證半徑）】【例2】（原州區(qū)期末）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB．求證：直線AB是⊙O的切線．【變式2-1】（北京期末）如圖，以點O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以OA為半徑的圓 B．以OB為半徑的圓 C．以OC為半徑的圓 D．以OD為半徑的圓【變式2-2】（曲靖期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC邊于點D、F．過點D作DE⊥CF于點E．求證：DE是⊙O的切線；【變式2-3】（南平模擬）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，過A，C，D三點的圓O交AB于點E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求證：AD是圓O的直徑；（2）過點E作EF⊥BC于點F，求證：EF與圓O相切．【題型3切線判定（定義法）】【例3】（北塘區(qū)期中）給出下列說法：（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；（2）與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；（4）過圓的半徑的外端的直線是圓的切線．其中正確的說法個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】（錫山區(qū)校級月考）下列直線是圓的切線的是（）A．與圓有公共點的直線 B．到圓心的距離等于半徑的直線 C．到圓心的距離大于半徑的直線 D．到圓心的距離小于半徑的直線【變式3-2】給出下列說法：①與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；②與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；③垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；④過圓的半徑的外端的直線是圓的切線；⑤經(jīng)過圓心和切點的直線垂直于這條切線．其中正確的是．（填序號）【變式3-3】（龍川縣二模）如圖，PA和⊙O相切于A點，PB和⊙O有公共點B，且PA＝PB，求證：PB是⊙O的切線．【知識點2切線的性質】（1）切線性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑（2）切線性質的推論：=1\*GB3①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點=2\*GB3②經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心【題型4切線的性質（求長度問題）】【例4】（衢江區(qū)期末）如圖，直線AB與⊙O相切于點C，OA交⊙O于點D，連結CD．已知OD＝CD＝5，求AC的長．【變式4-1】（溫州三模）在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝2，D是AB邊上一點，以AD為直徑的⊙O恰好與BC相切于點C，則BD的長為（）A．1 B．233 C．2 【變式4-2】（湖州一模）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點D的切線DE⊥AC于點E．（1）求證：AB＝AC；（2）若AB＝10，BD＝8，求DE的長．【變式4-3】（陜西模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連接BC，F(xiàn)為BC的中點，連接FO并延長交⊙O于點D，過點D的切線與CA的延長線交于點E．（1）求證：四邊形CEDF是矩形；（2）若AC＝OA＝2，求AE的長．【題型5切線的性質（求半徑問題）】【例5】（市中區(qū)期末）如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C．（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度數(shù)；（2）若AC＝23，CE＝2，求⊙O半徑的長．【變式5-1】（沂水縣期末）如圖，已知⊙O上三點A，B，C，∠ABC＝15°，切線PA交OC延長線于點P，AP=3，則⊙OA．33 B．32 C．3【變式5-2】（河南模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，作OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）在不增加輔助線的情況下，請直接寫出圖中一對相等的角，并證明；（2）若BD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．【變式5-3】（貴池區(qū)模擬）已知：在⊙O中，AB為直徑，P為射線AB上一點，過點P作⊙O的切線，切點為點C，D為弧AC上一點，連接BD、BC、DC．（1）如圖1，求證：∠D＝∠PCB；（2）如圖2，若四邊形CDBP為平行四邊形，BC＝5，求⊙O的半徑．【題型6切線的性質（求角度問題）】【例6】（紅橋區(qū)三模）在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與邊AC，BC交于點D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如圖①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如圖②，過點E作⊙O的切線，交AB的延長線于點F，交AC于點G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大?。咀兪?-1】（三明模擬）從⊙O外一點A作⊙O的切線AB，AC，切點分別為B，C，D是⊙O上不同于B，C的點，∠BAC＝60°，∠BDC的度數(shù)是（）A．120° B．60° C．90°或120° D．60°或120°【變式6-2】（北辰區(qū)二模）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如圖①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大?。唬á颍┤鐖D②，若CD⊥AB，過點D作⊙O的切線DF，與AB的延長線相交于點F，求∠F的大?。咀兪?-3】（天津）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，點D是⊙O上一點．（Ⅰ）如圖①，若BD為⊙O的直徑，連接CD，求∠DBC和∠ACD的大??；（Ⅱ）如圖②，若CD∥BA，連接AD，過點D作⊙O的切線，與OC的延長線交于點E，求∠E的大?。?/p>

圓的切線的判定與性質-重難點題型（解析版）【知識點1切線的判定】（1）切線判定：=1\*GB3①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線=2\*GB3②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）=3\*GB3③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑．【題型1切線判定（連半徑，證垂直）】【例1】（新興縣一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點C，連接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求證：直線BD是⊙O的切線．【分析】連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，再利用三角形的外角性質求出∠BOD的度數(shù)，在△BOD中，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDO為直角，即可推出BD與圓O相切．【解答】證明：連接OD，∵OA＝OD，∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，又∠BOD為△AOD的外角，∴∠BOD＝∠DAB+∠ODA＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠BOD﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∵OD是⊙O的半徑．∴直線BD是⊙O的切線．【變式1-1】（思明區(qū)校級期末）如圖，AB是圓O的一條弦，點E是劣弧AB的中點，直線CD經(jīng)過點E且與直線AB平行，證明：直線CD是圓O的切線．【分析】連接OE交AB于點F,由垂徑定理得出OE⊥AB,由平行線的性質得出CD⊥OE,則可得出結論．【解答】證明:連接OE交AB于點F,∵點E是劣弧AB的中點,∴OE⊥AB,∵AB∥CD,∴CD⊥OE,∵OE是圓的半徑,∴直線CD是圓O的切線．【變式1-2】（福州期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為半圓O上一點，直線l經(jīng)過點C，過點A作AD⊥l于點D，連接AC，當AC平分∠DAB時，求證：直線l是⊙O的切線．【分析】由AC為角平分線得到一對角相等，再由半徑OA＝OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠DAC＝∠OCA，由l垂直于AD，得到∠ADC為直角，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到一對角互余，等量代換可得出∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD為直角，可得出OC與l垂直，則l為圓O的切線．【解答】證明：連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，又∵l⊥AD，即∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥l，∴l(xiāng)是圓O的切線．【變式1-3】（蕪湖模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF．（1）求證：ED＝EC；（2）求證：AF是⊙O的切線．【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，結合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，從而得證；（2）連接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，結合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，據(jù)此可知AF∥BC，從而得OA⊥AF，從而得證．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如圖，連接OA，∵AB＝AC，∴AB=∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF為⊙O的切線．【題型2切線判定（作垂直，證半徑）】【例2】（原州區(qū)期末）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB．求證：直線AB是⊙O的切線．【分析】連接OC，如圖，由于OA＝OB，CA＝CB，根據(jù)等腰三角形的性質得到OC⊥AB，然后根據(jù)切線的判定定理得到結論．【解答】證明：連接OC，如圖，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴直線AB是⊙O的切線．【變式2-1】（北京期末）如圖，以點O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以OA為半徑的圓 B．以OB為半徑的圓 C．以OC為半徑的圓 D．以OD為半徑的圓【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系的判定方法進行判斷．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以點O為圓心，OD為半徑的圓與直線a相切．故選：D．【變式2-2】（曲靖期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC邊于點D、F．過點D作DE⊥CF于點E．求證：DE是⊙O的切線；【分析】連接OD，由等腰三角形的性質證得∠C＝∠ODB．得出OD∥AC，由平行線的性質得出OD⊥DE，則可得出答案；【解答】證明：連接OD，∵DE⊥CF，∴∠DEC＝∠DEF＝90°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠ODB．∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，又OD為⊙O的半徑．∴DE是⊙O的切線．【變式2-3】（南平模擬）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，過A，C，D三點的圓O交AB于點E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求證：AD是圓O的直徑；（2）過點E作EF⊥BC于點F，求證：EF與圓O相切．【分析】（1）由等腰三角形的性質證得∠B＝∠BAD＝36°，再由三角形外角的性質得到∠ADC＝72°，由已知可得∠DAC＝18°，進而得到∠C＝90°，根據(jù)圓周角定理即可得到結論；（2）連接OE，由等腰三角形的性質得到∠OEA＝∠BAD＝∠B，由平行線的判定推出OE∥BC，由平行線的性質推出∠OEF＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可證得結論．【解答】證明（1）∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠ADC＝72°，∵∠DAC=12∠∴∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠C＝90°，∴AD是圓O的直徑；（2）連接OE，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAD＝36°，∴∠OEA＝∠B，∴OE∥BC，∴∠OEF+∠EFC＝180°，∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF，∵OE為圓O的半徑，∴EF與圓O相切．【題型3切線判定（定義法）】【例3】（北塘區(qū)期中）給出下列說法：（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；（2）與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；（4）過圓的半徑的外端的直線是圓的切線．其中正確的說法個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用切線的性質進行判斷后即可得到答案．【解答】解：（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線，故（1）正確；（2）與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線，故（2）正確；（3）垂直于圓的半徑的直線不一定是圓的切線，圓直徑也是可以的，故（3）錯誤；（4）過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，故（4）錯誤；綜上所述，正確的說法有2個．故選：B．【變式3-1】（錫山區(qū)校級月考）下列直線是圓的切線的是（）A．與圓有公共點的直線 B．到圓心的距離等于半徑的直線 C．到圓心的距離大于半徑的直線 D．到圓心的距離小于半徑的直線【分析】根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，可判定C、D錯誤；由切線的定義：到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，可判定A錯誤，B正確．注意排除法在解選擇題中的應用．【解答】解：A、與圓只有一個交點的直線是圓的切線，故本選項錯誤；B、到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，故本選項正確；C、經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項錯誤；D、經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項錯誤．故選：B．【變式3-2】給出下列說法：①與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；②與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；③垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；④過圓的半徑的外端的直線是圓的切線；⑤經(jīng)過圓心和切點的直線垂直于這條切線．其中正確的是①②⑤．（填序號）【分析】根據(jù)圓的切線的判定方法容易得出①②正確，③④不正確；由切線的性質得出⑤正確；即可得出結果．【解答】解：∵與圓只有一個公共點的直線是圓的切線，∴①正確；∵與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線，∴②正確；∵經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，∴③④不正確；∵經(jīng)過圓心和切點的直線垂直于這條切線，∴⑤正確；正確的是①②⑤，故答案為：①②⑤．【變式3-3】（龍川縣二模）如圖，PA和⊙O相切于A點，PB和⊙O有公共點B，且PA＝PB，求證：PB是⊙O的切線．【分析】連接OA、OB、OP構建全等三角形△OAP≌△OBP，然后根據(jù)全等三角形的對應角相等即可證得∠OBP＝∠OAP＝90°，即PB是⊙O的切線．【解答】證明：如圖，連接OA、OB、OP．∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°；在△OAP和△OBP中，PA=PBOA=OB∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，即OB⊥PB，又PB和⊙O有公共點B，即點B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線．【知識點2切線的性質】（1）切線性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑（2）切線性質的推論：=1\*GB3①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點=2\*GB3②經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心【題型4切線的性質（求長度問題）】【例4】（衢江區(qū)期末）如圖，直線AB與⊙O相切于點C，OA交⊙O于點D，連結CD．已知OD＝CD＝5，求AC的長．【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質得到∠ACO＝90°，根據(jù)等邊三角形的性質得到OC＝5，∠AOC＝60°，由直角三角形的性質即可得到答案．【解答】解：連接OC，∵直線AB與⊙O相切于點C，∴∠ACO＝90°，∵OD＝OC，OD＝CD＝5，∴△ODC是等邊三角形，∴OC＝5，∠AOC＝60°，∴AC=3OC＝53【變式4-1】（溫州三模）在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝2，D是AB邊上一點，以AD為直徑的⊙O恰好與BC相切于點C，則BD的長為（）A．1 B．233 C．2 【分析】連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠A＝∠B，∠A＝∠ACO，推出∠COB＝2∠B，根據(jù)切線的性質得到∠OCB＝90°，求得∠B＝30°，根據(jù)直角三角形的性質得到結論．【解答】解：連接OC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，∴∠COB＝2∠B，∵⊙O與BC相切于點C，∴∠OCB＝90°，∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴OC=33BC∴OB＝2OC=4∴BD＝OB﹣OD=2故選：B．【變式4-2】（湖州一模）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點D的切線DE⊥AC于點E．（1）求證：AB＝AC；（2）若AB＝10，BD＝8，求DE的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質得到OD⊥DE，進而得出OD∥AC，得到∠ODB＝∠C，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ODB＝∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明即可；（2）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE為⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）解：連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD=A∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD＝8，∵S△ADC=12×AD?DC=1∴12×6?8=1解得：DE＝4.8．【變式4-3】（陜西模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連接BC，F(xiàn)為BC的中點，連接FO并延長交⊙O于點D，過點D的切線與CA的延長線交于點E．（1）求證：四邊形CEDF是矩形；（2）若AC＝OA＝2，求AE的長．【分析】（1）根據(jù)直角所對的圓周角是直角得出∠ACB＝90°，根據(jù)三角形中位線的性質進而推出∠CFD＝90°，根據(jù)切線的性質得到∠EDF＝90°，即可判定四邊形CEDF是矩形；（2）連接AD，根據(jù)含30°的直角三角形性質的逆定理得出∠ABC＝30°，則∠FOB＝60°，進而推出△AOD是等邊三角形，再根據(jù)含30°的直角三角形性質即可得解．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵O為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，∴OF∥AC，∴OF⊥BC，∴∠CFD＝90°，∵DE是⊙O的切線，∴∠EDF＝90°，∴四邊形CEDF是矩形；（2）連接AD，∵AC＝OA＝2，∴AB＝2OA＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，∴∠ABC＝30°，∴∠FOB＝60°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ODA＝60°，AD＝OA＝2，∵∠ODE＝90°，∴∠EDA＝90°﹣60°＝30°，∵四邊形CEDF是矩形，∴∠E＝90°，∴AE=12【題型5切線的性質（求半徑問題）】【例5】（市中區(qū)期末）如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C．（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度數(shù)；（2）若AC＝23，CE＝2，求⊙O半徑的長．【分析】（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，根據(jù)切線的性質求出∠OAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）設OA＝OE＝r，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）連接OA，∵∠ADE＝28°，∴由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；（2）設OA＝OE＝r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，即r2+（23）2＝（r+2）2，解得：r＝2，答：⊙O半徑的長是2．【變式5-1】（沂水縣期末）如圖，已知⊙O上三點A，B，C，∠ABC＝15°，切線PA交OC延長線于點P，AP=3，則⊙OA．33 B．32 C．3【分析】連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOP，根據(jù)切線的性質求出∠OAP＝90°，由直角三角形中30°角的性質可得答案．【解答】解：連接OA，如圖：∵∠ABC＝15°，∴∠AOC＝2∠ABC＝30°，∵過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點P，∴∠OAP＝90°，∵OA=3AP=故選：D．【變式5-2】（河南模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，作OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）在不增加輔助線的情況下，請直接寫出圖中一對相等的角，并證明；（2）若BD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OD，由切線的性質得到∠ADC+∠ADO＝90°，由等腰三角形的性質得到∠DAO＝∠ADO，根據(jù)∠AOF+∠DAO＝90°，由等量代換即可得到∠ADC＝∠AOF；（2）根據(jù)三角形中位線定理得到OE=12BD＝4，設OD＝r，根據(jù)勾股定理得出DE2＝OD2﹣OE2＝r2﹣16，DF2＝OF2﹣OD2＝36﹣r2，在Rt△DEF中，利用勾股定理得出關于【解答】解：（1）∠ADC＝∠AOF，證明：連接OD，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO＝90°，∵CD是⊙O的切線，D為切點，∴∠CDO＝90°，∴∠ADC+∠ADO＝90°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠AOF＝∠ADC；（2）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∵AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE=12BD＝4，OF＝OE+∴設OD＝r，∴AB＝2r，在Rt△ODE中，DE2＝OD2﹣OE2＝r2﹣16，在Rt△ODF中，DF2＝OF2﹣OD2＝36﹣r2，在Rt△DEF中，DE2＝DF2﹣EF2＝36﹣r2﹣4，即r2﹣16＝36﹣r2﹣4，解得：r＝26，∴⊙O的半徑為26．【變式5-3】（貴池區(qū)模擬）已知：在⊙O中，AB為直徑，P為射線AB上一點，過點P作⊙O的切線，切點為點C，D為弧AC上一點，連接BD、BC、DC．（1）如圖1，求證：∠D＝∠PCB；（2）如圖2，若四邊形CDBP為平行四邊形，BC＝5，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用切線的性質和圓周角定理即可證明；（2）利用平行四邊形的性質，三角形內(nèi)角和定理，結合（1）的結論，證明△OBC是等邊三角形，即可求出⊙O的半徑．【解答】（1）證明：如圖1，連接AC，OC，∵AB為直徑，PC為⊙O的切線，∴∠ACB＝∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠PCB；（2）解：如圖2，連接AC，OC，∵四邊形CDBP為平行四邊形，∴∠D＝∠CPB，由（1）得，∠ACB＝∠OCP＝90°，∠D＝∠A＝∠CPB，∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，∴∠OBC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝BC＝5，故⊙O的半徑為5．【題型6切線的性質（求角度問題）】【例6】（紅橋區(qū)三模）在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與邊AC，BC交于點D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如圖①，若∠CAB＝38°，求∠C的大??；（Ⅱ）如圖②，過點E作⊙O的切線，交AB的延長線于點F，交AC于點G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大?。痉治觥浚á瘢┯蓤A周角定理得出∠EAC＝∠EAB=12∠CAB，∠AEC＝∠（Ⅱ）連接AE，OE，由切線的性質得出∠OEF＝90°，由等腰三角形的性質求出∠OEB＝∠EBA＝64°，則可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）連接AE，∵DE＝BE，∴DE=∴∠EAC＝∠EAB=12∠∵∠CAB＝38°，∴∠EAC＝19°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴∠C＝90°﹣∠EAC＝71°；（Ⅱ）連接AE，OE，∵GF為⊙O的切線，∴∠OEF＝90°，∵∠CAB＝52°，∴∠EAB=12∠∴∠EBA＝90°﹣∠EAB＝64°，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠EBA＝64°，∴∠BEF＝∠OEF﹣∠OEB＝90°﹣64°＝26°．【變式6-1】（三明模擬）從⊙O外一點A作⊙O的切線AB，AC，切點分別為B，C，D是⊙O上不同于B，C的點，∠BAC＝60°，∠BDC的度數(shù)是（）A．120° B．60° C．90°或120° D．60°或120°【分析】連接OB，OC，根據(jù)切線的性質得到∠ABO＝∠ACO＝90°，進而求出∠BOC，分點D在優(yōu)弧BC上、點D′在劣弧BC上兩種情況，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：連接OB，OC，如圖所示，∵AB，AC分別為⊙O的切線，∴AB⊥OB，AC⊥OC，∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝360°﹣（∠ABO﹣∠ACO﹣∠BAC）＝120°，當點D在優(yōu)弧BC上時，由圓周角定理得∠BDC=12∠當點D′在劣弧BC上時，∠BD′C180°＝60°＝120°，綜上所述，∠BDC的度數(shù)是60°或120°，故選：D．【變式6-2】（北辰區(qū)二模）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如圖①，若∠AEC＝85°，