重慶市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

重慶市育才中學(xué)校高2026屆高二（上）十月月考

數(shù)學(xué)試題

（滿(mǎn)分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，請(qǐng)考生先在答題卡上準(zhǔn)確工整地填寫(xiě)本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào)；

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5mm黑色簽字筆答題；

3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答，超出區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答

題無(wú)效；

4.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀；考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)2（2,7）,6（4,6）的直線(xiàn)的斜率為（）

1C1

A.B.—2C.—D.2

22

22

2.經(jīng)過(guò)橢圓會(huì)+a=1的右焦點(diǎn)心的直線(xiàn)/交橢圓于B兩點(diǎn),片是橢圓的左焦點(diǎn)，則△4月3的周

長(zhǎng)是（）

A.8B.9C.10D.20

3.圓G:x2+v2=4與圓&：必+/+6x+8y—24=0的位置關(guān)系為（）

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.外離

4.下列可使G,b,己構(gòu)成空間的一個(gè)基底的條件是（）

A.5=mb+ncB.a,b,己兩兩垂直

C.|5|=||=|c\=1D.a+b+c=6

5.已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為4,底面的半徑CM=2,用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐底面的半

徑=1,則截得圓臺(tái)的體積為（）

26nr-7A/314

A.------7iB.2J3乃C.-------乃D.—TT

333

6.在四棱錐尸-4SCD中，底面4BCD是正方形，側(cè)面尸DC是正三角形，且平面尸。底面

ABCD,E為線(xiàn)段PC的中點(diǎn).記異面直線(xiàn)PZ與所成角為。，則cos。的值為（）

C.逅

7.如圖，已知正方體N5CD—4與。］。的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為線(xiàn)段441、8C的中點(diǎn)，若點(diǎn)尸為正

方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足A/0，平面MDC、則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為()

A.2V2B.V5C,V2D.2

8.已知三棱錐尸―4SC中，△48C是邊長(zhǎng)為2的正三角形、PB1AB,PCVAC,若三棱錐

P-ABC的外接球體積為乂3271，則直線(xiàn)PA與平面ABC所成角的余弦值為()

3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于曲線(xiàn)E:機(jī)V+盯2=1,下列說(shuō)法正確的是()

A.若曲線(xiàn)￡表示兩條直線(xiàn)，則加=0,〃>0或〃=0,m>0

B.若曲線(xiàn)￡表示圓，則加=〃>0

C.若曲線(xiàn)￡表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則加>〃>0

D.若曲線(xiàn)￡表示橢圓，則加W”

10.已知直線(xiàn)4:y-2=加(％+1)(加eR),直線(xiàn)4：x-2y+X=0(2eR),則下列說(shuō)法正確的為

A.若k±/2,則m=—2

B.若兩條平行直線(xiàn)4與，2間的距離為2石，則2=-5

C.直線(xiàn)4過(guò)定點(diǎn)(-1,2)

D.點(diǎn)尸(2,6)到直線(xiàn)/,距離的最大值為2而

11.如圖，在直棱柱ABCD-中，底面ABCD為菱形，且45=441=2,ABAD=60°,M

為線(xiàn)段QG的中點(diǎn)，N為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿(mǎn)足8尸=48。+〃84(04/141,0<〃<1)則下列

說(shuō)法正確的是()

A.若〃=1時(shí)，三棱錐尸-Z)BC的體積為定值

B.若/=!時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得PD工PB]

21

C.若2+〃=g,則|尸N|+|PC|的最小值為3

19A/5+7V13

D.若2=0,//=-,則平面Q7W截該直棱柱所得截面周長(zhǎng)為XD川

26

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

12.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(右,追)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

13.若入b,己為空間中兩兩夾角都是60。的單位向量，貝/21+3-33卜.

14.已知ZC,5。為圓。：/+/=8的兩條相互垂直的弦，垂足為尸(2,6),圓心。到ZC,的

距離分別為4，d2,則42+42=,四邊形48CD的面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分，解

答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(—5,1),點(diǎn)8(3,7).

(1)求直線(xiàn)/的方程；

(2)若圓。經(jīng)過(guò)點(diǎn)〃(1,0),點(diǎn)N(3,2),且圓心在直線(xiàn)/上，求圓C的方程.

16.如圖，在三棱柱Z8C—44cl中，AC=6,BC=8,AB=10,AA1=8,點(diǎn)。是48的中點(diǎn),

CG，平面N8C.

(1)求證：NG〃平面CDS]；

(2)求與平面CD4所成角的正弦值.

17.如圖，在三棱錐尸—N8C中，BC=BA=PC=PA=PB=41,且NCA4=NCR4=90°.

(1)證明：平面PZC1.平面N8C；

(2)若棱PZ上存在不同于尸，2的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足病=彳刀，使二面角尸-8C-M的余弦值為

7

求4的值.

9

18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)(9(0,0),2(-3,0)的距離的比為j.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)過(guò)點(diǎn)5(0,-2)且斜率為左的直線(xiàn)/與動(dòng)點(diǎn)/的軌跡交于尸，。兩點(diǎn)，若麗?麗=-3,求|尸。|的

值.

19.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，它是一種使用幾何度量空間的幾何用語(yǔ)，

定義如下：在平面直角坐標(biāo)中的任意兩點(diǎn)四(M,必)，N(X2,必)的曼哈頓距離為

d(M,N)=|xi-,|+|%-％|?已知在四邊形ZB。。中，4E=2EC=4,ZACB=90°,

AD=DC=匹,且BE平分N4BC,若將△48C沿線(xiàn)段ZC向上折疊，使二面角8—NC—。為直

二面角，如圖所示，折疊后點(diǎn)8在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為9.

(折疊前)(折疊后)

(1)計(jì)算ND8上的大??；

(2)若AZCQ所在平面為a,設(shè)尸ea,且NPB'E=NDB，E,記點(diǎn)尸的軌跡為曲線(xiàn)

(i)判斷「是什么曲線(xiàn)，并求出對(duì)應(yīng)的方程；

(ii)設(shè)/為平面a上過(guò)點(diǎn)8且與直線(xiàn)48垂直的直線(xiàn)，已知N在直線(xiàn)/上，/在「上，求d(〃,N)的最

小值.

重慶市育才中學(xué)校高2026屆高二（上）十月月考

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.

1-4：ADBB5-8：CCBD

8【解析】：如圖所示，取R4中點(diǎn)為O,由于尸PC1AC,則08=。。=。尸=CM,

故。是三棱錐的外接球的球心，易知R4=4,PB=PC=26

過(guò)點(diǎn)尸作尸〃，平面Z8C,連接/〃，易知/〃過(guò)中點(diǎn)"，連接

因?yàn)閆W=G，PM=V1T,PA=4,則直線(xiàn)尸/與平面Z8C所成角NP/W,

由余弦定理可得cosZPAM=不+（回-"）2=也，故選口.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全

部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.ABCD10.AC11.ACD

UUUIUUU

11【解析】：對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)〃=1時(shí)，BXP=ABC,故點(diǎn)尸在gG上運(yùn)動(dòng)，而51G平行于平面

DBC,

所以三棱錐P-DBC的體積為定值.故A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)4=工時(shí)，取8C中點(diǎn)記為￡連接EN,易得點(diǎn)尸在EN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸與點(diǎn)E,N,重

2

合時(shí)，由勾股定理可得戶(hù)團(tuán)2+|尸。/=口叫2,所以尸口,尸耳，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)4+〃時(shí)，取中點(diǎn)記為E,取中點(diǎn)記為少連接E尸，則點(diǎn)尸在線(xiàn)段E廠(chǎng)上運(yùn)

動(dòng),易得點(diǎn)。關(guān)于直線(xiàn)E5的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C',連接NC',此時(shí)點(diǎn)N、E、C'三點(diǎn)共線(xiàn)，故點(diǎn)尸與點(diǎn)E重

合時(shí)取得最小值為3,故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)2=0,〃時(shí)，尸為AS】的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作DM的平行線(xiàn)交48于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)加作

9M+7岳

DE的平行線(xiàn)交用。于點(diǎn)尸，即可得到截面"DEP7"易得周長(zhǎng)為故D正確.

6

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

22

12.—+^-=113.V714,7；9

106

14【解析】：易知OP是以4，4為鄰邊的矩形的對(duì)角線(xiàn)，所以42+42=。尸2=7；

2

4c=2《8-d；,BD=2《8-d；,SABCD=^ACxBD=<(8-)+(8-1/2)=9

當(dāng)且僅當(dāng)4=4時(shí)取得等號(hào).

四、解答題：本題共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字

說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(1)過(guò)點(diǎn)4(-5,1),點(diǎn)8(3,7)的直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程為：

j-1_x+5

3+5

整理得：3x—4y+19=0

直線(xiàn)/的方程為3x—4y+19=0.

(2)設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為尸,則由〃(1,0),N(3,2)有尸(2,1),

且直線(xiàn)的斜率為勺介

因此線(xiàn)段"N的垂直平分線(xiàn)/'的方程為：j-l=-(x-2),即x+y—3=0,

由垂徑定理可知，圓心。也在線(xiàn)段VN的垂直平分線(xiàn)上,

x+y-3=0x=-1

則有《.?.圓C的坐標(biāo)是(-1,4)；

3x—4y+19=0“=4

圓的半徑r=|MC|=正IT)?+(4-0)2=2V5,

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+1)2+3—4)2=20.

16.(1)連接8G，設(shè)5GlB?=O,連接8,由三棱柱的性質(zhì)可知,

側(cè)面8CG與為平行四邊形，.-.o為8G的中點(diǎn)，

又Q。為48中點(diǎn)，二在中，ODHAG，

又QODu平面CDS],NG仁平面CDS],

/q〃平面。郎.

(2)由題意可知C4,CB,CG兩兩垂直故以C4,CB,CQ所在直線(xiàn)為無(wú)軸、y軸、z軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系.

y

則C(0,0,0),46,0,0),4(6,0,8)，￡>(3,4,0),4(0,8,8).

UUUUUUUUI

所以441=(0,0,8),CD=(3,4,0),CBX=(0,8,8),

設(shè)平面CDS1的法向量為)=(x,y,z),

rUUU|-

CD-w=3x+4y=0

則｛uum「令x=4,得)=(4,-3,3)；

CBX-n=8v+8z=0

|3x8|3734

設(shè)AA與平面CDB]所成角為。，則sin0cosn

X8.V16+9+934

所以，4與平面CDB1所成角的正弦值為筆4.

17.(1)由BC=BA=6,ZCBA=90°,所以NC=2.

取NC的中點(diǎn)0,連接尸O,BO,

由題意，得尸。=8。=!幺。=1,再由尸8=可得尸。2+8。2=尸臺(tái)2,即尸

2

由題易知尸0LZC,又ZCIBO=O,BO,NCu面N8C,所以POL平面NBC,

又尸。＜z平面尸ZC,所以平面尸ZCL平面45c.

(2)由(1)可知尸0,08,POLOC,又OB-

故以O(shè)C,OB,所在直線(xiàn)為無(wú)軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則C(l,0,0),5(0,1,0),4(-1,0,0),尸(0,0,1).

LUIUUUUUU

所以幺尸=(1,0,1),5C=(l,-l,0),PC=(1,O,-1),

UULIULU

令2/=/UP=(%0,4),(0</<1)所以河(幾—1,0,/1).

UUU

所以MC=(2—%0,-X).

設(shè)平面MBC的法向量為』=(X],%,zJ,

「uuur

BC-m=x-y=0r(2—?

則uuir「y}令玉=1,得加=1,1,一；

AfC-ffl=(2-2)x1-2z1=0I)

設(shè)平面PBC的法向量為1=(%,%,Z2)，

「uuur

BC-n=x.-y.=0?

<uun]，令"2=1，得〃=(1/,1)；

PC-n=x2-z2=0

則Icos〈凡加〉|=

2-2

設(shè)”——,，￡(l,+s),則上式可化為5書(shū)—5=0,

2

12—J1

即(7—5)(1"+1)=0,所以f=5(/=—五舍去)，所以吃一=5,解得4=§.

18.解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)"坐標(biāo)為(x,y),由

即卜+產(chǎn)=?J(x+3)2+y2,

整理得(x_l)2+y2=4.

(2)設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=Ax—2,P,0兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(石,必)，(x2,j2)

(x—1)+J=4,整理得0+左2)——(4左+2)x+l=0(*).

聯(lián)立《

y—kx—2

4左+21

因?yàn)?*)式的兩根為占，X2,所以再+%2=T7F，/

△=(4左+2)2—4(/左2+1\)>0,即左<一§4或左>o

uuuuuu

xx

則OP0。=xxx2+必％=\2+(丘i—2)(%—2)=(1+左2)/%2—2左(X]+/)+4=—3,

4左+21

將石+%=WV2=T7P代入上式，化簡(jiǎn)解得左=2.

而k=2滿(mǎn)足A>0,故直線(xiàn)/的方程為歹=2(x—l).

因?yàn)閳A心M(1,O)在直線(xiàn)/上，所以|尸。|=4,

19.解:⑴在△￡〃￡)中，易得忸閨=4,因必=36，|Z)E|=J7,

愀小忸討一|32

由余弦定理可得cosNDQE=—,從而/。8'￡=四

2\B'E\\B'D\26

提示：可建立空間坐標(biāo)系利用向量求夾角的余弦值為從而得出ND8'￡=P.

26

(2)(i)曲線(xiàn)「是橢圓.

因?yàn)槎娼?—為直二面角，且NZC8=90°,所以B'CLa,如圖1,不妨取NC的中點(diǎn)為

0,以8為x軸，OC為歹軸，過(guò)點(diǎn)。作玄。的平行線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則點(diǎn)8(0,3,2月),￡(0,1,0),

LVU廣ULM廠(chǎng)

設(shè)尸(x),0),8'￡=(0,-2,-2月)，8'尸=(xj—3,-2月)，

兀

由(1)可知NPB'E=NDB'E=—,