2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題專項匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

（2）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項匯編

一、選擇題

F+X〉0

1.[2024屆嘿龍江齊齊哈爾.一模]已知/'（x）=32為奇函數(shù)，貝普=（）

[x+ax,%<0

A.-2B.2C.lD.-1

2.[2024屆.長沙市第一中學(xué).模擬考試]若函數(shù)/（x）=4|x-a|+3在區(qū)間工+8）上不單調(diào)，則a

的取值范圍是（）

A.[l,+oo）B.（l收）C.（YO,1）D.（-oo,l]

3.[2024屆?山西長治?一模?？糫研究人員用Gompertz數(shù)學(xué)模型表示治療時長x（月）與腫瘤細胞

含量/（%）的關(guān)系，其函數(shù)解析式為/（%）=%一叱，其中左>0,b>0,a為參數(shù).經(jīng)過測算，發(fā)

現(xiàn)a=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.記x=1表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的

那么6的值為（）

e

A.V5+1B.A/5-1CA/|+1DJIZI

22

4.[2024屆.天津?qū)氎髤^(qū).模擬考試?？糫已知函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)/⑴的解

析式可能為（）

2x2

A./(%)=-B"(x)=

|x|+l

2x2|x|

c./W=-DJ(x)=—

x--l

5.[2024年新課標(biāo)II卷高考真題]設(shè)函數(shù)/(%)=〃(％+1)2-1,g(x)=cosx+2or,當(dāng)％時，

曲線y=/(x)和y=g(x)恰有一個交點.則。二()

A.-lB.-C.lD.2

2

6.[2024年新課標(biāo)II卷高考真題]設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,則1+廿的最小

值為()

A.-B.-C.-D.1

842

7.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]已知函數(shù)/(x)的定義域為R,f(x)>f(x-l)+f(x-2),且

當(dāng)x<3時，/(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

8.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]已知函數(shù)/'(xX-x-2依-。，尤<0在R上單調(diào)遞增，則。

ev+ln(x+l),x>0

的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

二、多項選擇題

9.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]設(shè)函數(shù)/(x)=(x-iy(x-4),貝U()

A.x=3是/(x)的極小值點B.當(dāng)0<%<1時，/(%)</(x2)

C.當(dāng)1<%<2時，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)一1<%<0時，f(2-x)>f{x}

10.[2024年新課標(biāo)n卷高考真題]設(shè)函數(shù)/(》)=2%3_3以2+1,貝|]()

A.當(dāng)a>l時，/(%)有三個零點

B.當(dāng)a<0時，x=0是/(x)的極大值點

C.存在a,。，使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1,/(1))為曲線y=/(x)的對稱中心

三、填空題

11.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]若曲線y=e，+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+a

的切線，則。=.

12.[2024屆.南寧三中.二模]若直線丁=依+1與曲線丁=3+111%相切，則"的取值范圍為.

四、解答題

13.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]已知函數(shù)/(x)=ln—++/?(%-1)3.

2-x

(1)若5=0,且((幻20,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

(3)若/(x)>-2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,求6的取值范圍.

14.[2024年新課標(biāo)H卷高考真題]已知函數(shù)f(x)^ex-ax-a3.

(1)當(dāng)。=1時，求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

15.[2024屆?山東臨沂?二模]已知函數(shù)〃x)=ln(G：)+(a-l)x-e*.

(1)當(dāng)a=l時，求證：/(%)存在唯一的極大值點%,且/(%)<-2；

⑵若/(%)存在兩個零點，記較小的零點為Xi"是關(guān)于x的方程ln(l+x)+3=2aq+cosx的根，

證明：ef+l>2eT|.

參考答案

1.答案：A

解析：當(dāng)X<0時，一X>0,所以/(X)=-〃一同=一[(一%)3+2(-%)2]=%3-2尤2,

通過對比系數(shù)得。=-2.

故選：A.

2.答案：B

解析：因為函數(shù)/(%)=4|%-々|+3在(-00,4)上單調(diào)遞減，在(a,+Q0)上單調(diào)遞增.

又函數(shù)在區(qū)間工+oo)上不單調(diào)，所以a>l，

故選：B.

3.答案：D

".-1

解析：依題意，")=如'，而〃2)=。⑴，則e-尸+尸」，即,_尸-1=0,

〃2)=依jee

又>>0,解得人|=^±1,所以6=2^.

22

故選：D.

4.答案：A

解析：由圖可知，函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C,

由圖可知，函數(shù)的定義城不是實數(shù)集.故排除B；

5.答案：D

解析：由題意知/(x)=g(x),則a(x+iy-l=cosx+2ax,即cosx=a(尤?+1)—1.令

必尤)=cosx—a(尤2+1)+1.易知丸(刈為偶函數(shù)，由題意知/i(x)在(—1/)上有唯一零點，所以

/?(0)=0,即cosO—a(0+l)+l=0,得a=2,故選D.

6.答案：C

解析：由/(%)20及丁=兀+。，y=ln(x+b)單調(diào)遞增，可得x+a與ln(x+Z?)同正、同負或同為

零，所以當(dāng)ln(x+Z?)=0時，x+a=0,即(，所以6=。+1,貝!J

x+a-Q

a2+b2=a+(a+l)2=++g2g，故選C.

7.答案：B

解析：因為當(dāng)x<3時，/(x)=x,所以/⑴=1,/(2)=2.對于/(x)>/(x—l)+/(x—2),令％=3,

得/(3)>/(2)+/(l)=2+l=3；令尤=4,得/(4)>/(3)+/(2)>3+2=5；依次類推，得

/(5)>/(4)+/⑶>5+3=8；/(6)>/(5)+/(4)>8+5=13；/(7)>/(6)+/(5)>13+8=21；

/(8)>/(7)+/(6)>21+13=34；/(9)>/(8)+/(7)>34+21=55；

/(10)>/(9)+)(8)>55+34=89；/(11)>/(10)+/(9)>89+55=144；

/(12)>/(11)+/(10)>144+89=233；/(13)>/(12)+/(II)>233+144=377；

/(14)>/(13)+/(12)>377+233=610；/(15)>/(14)+/(13)>610+377=987；....顯然

/(16)>1000,所以/(20)>1000,故選B.

8.答案：B

解析：因為函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)％<0時，f(x)=-x2-2ax-a,所以

f(x)=-爐一2ax一a在(_oo,0)上單調(diào)遞增,所以一aNO,MPa<0；當(dāng)xN0時,/(x)=ex+ln(x+l),

所以函數(shù)/(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增.若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，則-a</(0)=l,BP?>-1.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是［-1,0］.故選B.

9.答案：ACD

解析：因為/(x)=(x-1)2(x-4),所以f\x)=2(x-l)(x_4)+(x-1)2=3(x-l)(x-3),令廣⑺=0,

解得x=l或x=3,當(dāng)x<l或x>3時，/'(x)>0,當(dāng)l<x<3時，f'(x)<0,所以函數(shù)/(x)的

單調(diào)遞增區(qū)間為(—』)，(3,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3),故x=l是函數(shù)/(x)的極大值點，x=3

是函數(shù)/(x)的極小值點，所以A正確.

當(dāng)0<x<l時，x-x2=x(l-x)>0,即0</<X<1,又函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以

f(x2)</(x),所以B錯誤.

當(dāng)1<%<2時，l<2x—1<3,函數(shù)/(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以-4=/(3)</(2x-l)</(I)=0,

所以C正確.

當(dāng)T<x<0時，/(2-%)-/(%)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(%-4)

=(x—1)2(—x—2)—(x—l)2(x—4)=(x—1)2(—2x+2)=—2(x—Ip>0,所以/(2-x)>/(幻，所以D

正確.

綜上，選ACD.

10.答案：AD

解析：由題可知，f'(x)^6x(x-a).

對于A,當(dāng)a>l時，由尸(x)<0得0<x<a,由尸(x)>0得x<0或x〉。，貝|在(―oo,0)上

單調(diào)遞增，在(0,。)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，且當(dāng)xf-%時，/(%)--8,/(0)=1,

/(a)=-a3+1<0,當(dāng)xf-Ko時，/(x)f+8,故/(x)有三個零點，A正確；對于B,當(dāng)a<0

時，由/'(x)<0得a(尤<0,由/'(x)>0得x>0或x<a,則/(x)在(—8,a)上單調(diào)遞增，在(a,0)

上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增，故％=0是/(x)的極小值點，B錯誤；

對于C,當(dāng)xf”時，f(x)+00,當(dāng)Xf—00時，f(x)-00,故曲線y=/(x)必不存在對

稱軸，C錯誤；

對于D,解法一：/(x)=2x3—3加+1=2(x—--1a2+?令/'=x—會則/(x)可

轉(zhuǎn)化為g⑺=2/一|。2/+1—［，由y=2/—|//為奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于原點對稱，可知g⑺

/3\(3、

的圖象關(guān)于點0,1-—對稱，則/(X)的圖象關(guān)于點-,1--對稱，故存在a=2,使得點

、2J122)

(1,7(1))為曲線y=/(%)的對稱中心，D正確.故選AD.

解法二:任意三次函數(shù)/(乃=以3+法2+5+</(。/0)的圖象均關(guān)于點一~—成中心對

、3a13a),

稱，D正確.故選AD.

11.答案：In2

解析：由題，令/(x)=e'+x,則八x)=e'+l,所以八0)=2,所以曲線y=e，+x在點(0,1)處

的切線方程為y=2x+l.令g(x)=ln(x+l)+a,則g'(x)=」一，設(shè)直線y=2x+l與曲線y=g(x)

x+1

相切于點(九0,%),則一-—=2,得/=-工,則%=2/+1=0,所以0=ln[—g+l]+a,所以

XQ+12

〃=ln2.

12.答案：-+oo^

解析：函數(shù)y=b+ln尤的導(dǎo)數(shù)為了=!，

X

設(shè)切點為(%0,冰o+l),所以，=Q,則依0=1,即工=%,

又因為(%0，質(zhì)+1)在丁=/?+111%上，所以+l=Z?+ln%o,

所以b+ln%o=2,即Z?-ln1=2,所以Z?=2+lna,

所以QZ?=Q(2+lnQ)=2Q+alna(〃>0),

令g(a)=2a+alnQ,g<a)=2+lna+a—=lna+3,

令g'(〃)>。，可得令/(〃)<。，可得

ee

所以g上單調(diào)遞增,

1

當(dāng)a趨近正無窮時，g(a)趨近正無窮.

所以質(zhì)的取值范圍為：1-3,+8、故答案為：［-二,+00

Le3)Le3

13.答案：(1)-2

(2)證明見解析

(3)-1''+00)

解析：(1)/(%)的定義域為(0,2),

若〃=0,貝>J/(x)=ln=^-+奴，f\x)=—~工)：^+a=——-----\-a,

2-xx(2-x)2x(2—x)

當(dāng)xe(0,2)時，x(2-x)e(0,l],=2+a>0,則a?—2,

故a的最小值為-2.

2-r

(2)/(2-x)=ln--+a(2-x)+Z?(l-x)3

X

Xa

——In--------ux—Z?(x—1)+2a——f(x)+2〃,

2-x

故曲線y=/(x)關(guān)于點(1,a)中心對稱.

(3)由題知f(l)=a=—2,

止匕時/(x)=ln----2%+儀%—1)3,

2-x

/'(X)==?-2+3b(x-1)2

x(2-x)

2「2

=------------2+3b(x—1)2=(%—1)2----------+3/?.

x(2—%)\_x(2-x)

2

記g(x)=—；——+3。，xe(0,2),易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增,

x(2-x)

g⑴=2+3小

7

當(dāng)62-§時，g(x)>0,f(x)>Q,/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

又/⑴=-2,故符合題意.

%八2./、2-3bx"+6bx+2

當(dāng)/?<——時fH，g(l)<0,g(x)=---------+3Z?=-------------------,

3x(2—x)x(2-x)

令g(x)=。,得X=1±J1+三'

7

因為"一院所以

所以當(dāng)xel」+Jl+￡,寸，g(x)＜。，/'(x)＜。，/(x)在(1,1+上單調(diào)遞減，故

/

中+產(chǎn)5/(I)=-2,不符合題意.

2

綜上，6的取值范圍為—,+oo

3

14.答案：(1)(e-l)x-y-l=0

(2)(1收)

解析：(1)當(dāng)a=l時，/(x)=e-x—1,則((x)=e=1,

則(⑴=e—1.

/⑴=e-2,所以切點坐標(biāo)為(l,e-2),

所以切線方程為y—(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

(2)易知函數(shù)/(x)的定義域為R,r(x)=e-a.

當(dāng)aWO時，f'(x)＞0,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，無極值;

當(dāng)a>0時，由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得％<Ina,

所以函數(shù)在區(qū)間(-8,Ina)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(lna,+s)上單調(diào)遞增,

所以/(x)的極小值為f()na)^a-aina-a3.

由題意知a-alna-/<0(。>0),等價于l-lna-a?<0(?>0).

解法一：令g(a)=1-1114一儲(?！祇),

畫119~2a2+a-l2^-4^+8

貝IJg(a)=1----2a=----------=——-----------<0,

aaa

所以函數(shù)g(a)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

又g(l)=0,故當(dāng)0<QVl時，g(Q)>0；當(dāng)時，g(Q)vO.

故實數(shù)a的取值范圍為(1,位).

解法—.：由1—Ina—/<0(a>0),得Ina〉—ct~+l(a>0).

如圖為函數(shù)y=lna與y=-/+i在區(qū)間(o,+oo)上的大致圖象,

由圖易知當(dāng)a>l時，InaA-M+i,gp1-In?-<0.

所以實數(shù)a的取值范圍為

15.答案：（1）證明見解析

⑵證明見解析

解析：（1）當(dāng)a=l時，/（%）=lnx-ex,xe（0,-H?）,

所以/（力=工_仁

X

所以r（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減，且/[￡|=2-1〉0,/⑴=1—e<0,

則現(xiàn)使得當(dāng)XG（O,%O）時，

當(dāng)％e（%o，+co）時，（無）<0,且/''（/）=0,即工=e~,

玉）

所以“力在（O,x0）上單調(diào)遞增，在Go，”）上單調(diào)遞減，

所以“可存在唯一的極大值點%,

M/（x0）+2=Inx0-+2=-x0--+2=-—~~—<0,

所以v-2.

(2)令ln(詞+(a-l)x-e*=0,得In(何+ox=x+e*,

設(shè)g(x)=x+e，，顯然g(x)在定義域上單調(diào)遞增，

而砒+ln(ox)=e"⑻+ln(ot),則有g(shù)ln(ov)=g(x),

所以x=ln(ov).

依題意，方程x=ln(ox)有兩個不等的實根，

即函數(shù)網(wǎng)力=x-In(雙)在定義域上有兩個零點，

顯然a/0,當(dāng)a<0時,網(wǎng)司的定義域為(-8,0),

在(YO,0)上單調(diào)遞增，網(wǎng)對最多一個零點，不合題意,

所以a>0,可尤)的定義域為(0,+oo),

所以求導(dǎo)，得"(x)=l-工，

X

當(dāng)0<xvl時，li(%)<0,當(dāng)％>1時，,(x