高考真題教材高考真題審題答題三

教材高春申題答題《三L數(shù)列熱點(diǎn)問題

I三年真題考情I

核心熱點(diǎn)真題印證核心素養(yǎng)

等比（差）數(shù)列的2018?全國I,17;2017?全國I,17;2016?全國邏輯推理、

判定與證明III,17數(shù)學(xué)運(yùn)算

2018?全國H,17;2018?全國III,17;2016?全國數(shù)學(xué)運(yùn)算、

通項(xiàng)與求和

11,17;2016?全國HI,17數(shù)學(xué)建模

等差與等比數(shù)列2017?全國11,17;2018?天津，18;2018?全國I,數(shù)學(xué)運(yùn)算、

的綜合問題17;2018?浙江，20邏輯推理

I審題答題指弓II

教材鏈接高考——等比（差）數(shù)列的判定與證明

［教材探究］1.（引自人教A版必修5P50例2）根據(jù)圖2.4-2中的框圖（圖略，教材中

的圖），寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式.這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列

嗎？

2.（弓I自人教A版必修5P69B6）已知數(shù)列｛m｝中，〃i=5,672=2,且〃〃=2〃〃—I+3Q〃

2（〃》3）.對于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

［試題評析］（1）題目以算法框圖為載體給出遞推數(shù)列｛。“，其中a\=\fafl=^cin-\（n>\）.

進(jìn)而由遞推公式寫出前5項(xiàng)，并利用定義判斷數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列.

⑵題目以遞推形式給出數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列模型d=a〃+z_i（〃22）,cn=an-3an-

1（心2）,利用等比數(shù)列定義不難得到｛瓦｝，｛心｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛m｝

的通項(xiàng)公式.

兩題均從遞推關(guān)系入手，考查等比數(shù)列的判定和通項(xiàng)公式的求解，突顯數(shù)學(xué)運(yùn)算

與邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【教材拓展】（2019?鄭州模擬）已知數(shù)列｛m｝滿足0=5,以=5,如卜1=痣+6aLQ22）.

（1）求證：｛?！?1+2?！ǎ堑缺葦?shù)列；

（2）求數(shù)列｛?〃｝的通項(xiàng)公式.

(J)證明因?yàn)??！?i=?！?6?！币?/p>

所以4C十i+3。"+6々”-13(a”+2〃"-

因?yàn)?1=5,42=5,

所以42+2〃|=15,

所以4+2?！?]工0(〃22),

所以數(shù)歹iJ｛m+i+2〃“｝是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

⑵解由⑴得m+i+2m=15X3〃r=5X33

則?！?i=-2a〃+5X33

所以1—3"1=-2(?！ㄒ?").

又因?yàn)椤╙—3=2,所以々〃一3"#0,

所以｛〃〃一3〃｝是以2為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列.

所以小一3〃=2X(-2)〃一|,

故如=2X(—2)'門+3".

探究提高數(shù)列遞推式是數(shù)列命題常見類型，解題的關(guān)鍵是通過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)

化成特殊數(shù)列問題.

【鏈接高考】(2018?全國I卷)已知數(shù)列｛〃〃｝滿足0=1,+1=2(〃+1)?！?設(shè)bn

_On

n'

(1)求歷,bi,加；

(2)判斷數(shù)列｛為｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛?。耐?xiàng)公式.

解(1)由條件可得。:二

將〃=1代入得，42=4m,而ai=l,所以。2=4.

將〃=2代入得，。3=3。2,所以43=12.

從而匕i=Lbi=2,歷=4.

⑵｛瓦｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下：

由條件可得署=等，即%討=2。〃，又加=1,所以｛瓦｝是苜項(xiàng)為1,公比為2

的等比數(shù)列.

(3)由⑵可得管=2『i,所以跖=〃2「1.

教你如何審題—等差與等比數(shù)列的綜合問題

【例題】(2018?天津卷)設(shè)僅〃｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為SG6N+)；｛加｝是等比

數(shù)列，公比大于0,其前〃項(xiàng)和為￡(〃￡N+).已知和=1,歷=歷+2,加=〃3+。5,

b5=〃4+2g

⑴求，和〃；

(2)若5〃+(7［+炎+…+￡)=&+4/?〃，求正整數(shù)n的值.

［審題路線］

聯(lián)想麻，I分析突破I方程思想

項(xiàng)和公式型里嬴本屆7曳代9

-------色亞考)‘冷."|解方程，鼠］~~

［自主解答］

解(1)設(shè)等比數(shù)列｛6｝的公比為式夕＞0).

由6=1,加=歷+2,可得42一夕一2=0.

因?yàn)楹酰?,可得夕=2,故為=2〃-1.

］—2W

所以。尸百=2〃-1.

設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為d.

由64=43+05,可得。1+3d=4.

由bs—674H-2。6,口J得3<71+13d=16?從而tzi—1?d—1,

故dn=H.

n(n+1)

所以S〃=

2

(2)由⑴,有

5+乃+???+?；=⑵+22+…+2”)一〃

2X(1—2〃)

n=2,,+'-n-2.

1-2

由S〃+(Ti+7^+~+Lt)=a〃+4b〃

可得--------+2”"-〃一2=〃+2〃I

整理得"2—3〃-4=0,解得〃=—1（舍），或〃=4.

所以n的值為4.

探究提高1.本題主要考查等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式計(jì)算，突出

方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，準(zhǔn)確計(jì)算是求解的關(guān)鍵.

2.利用等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式列方程（組）求出等差（比）數(shù)列的首

項(xiàng)和公差（比），進(jìn)而寫出所求教列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式，這是求解等差數(shù)

列或等比數(shù)列問題的常用方法.

3.對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，以

便實(shí)現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化.

【嘗試訓(xùn)練】（2017.全國II卷）已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，等比數(shù)列2〃｝

的前〃項(xiàng)和為4,41=—1,力1=1,G+歷=2.

（1）若〃3+加=5,求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若乃=21,求S3.

解設(shè)｛?。墓顬閐,｛兒｝的公比為十

則〃〃=—1+（〃—l>d,bn=cfl

由G+力2=2得d+q=3.①

⑴由03+63=5得2d+q2=6.②

d=3,J=l,

聯(lián)立①和②解得八（舍去），

⑦=。0=2.

因此｛仇｝的通項(xiàng)公式為仇=2〃1

（2）由。1=1,八=21得夕?十夕—20=0.

解得4=-5或4=4.

當(dāng)q=-5時(shí)，由①得d=8,則S3=21.

當(dāng)夕=4時(shí)，由①得1=-1,則S3=-6.

滿分答題示范——數(shù)列的通項(xiàng)與求和

【例題】（12分）（2017?全國IU卷）設(shè)數(shù)列｛成｝滿足的+3及+???+（2〃-1）&=2〃.

⑴求｛m｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹”品］的前〃項(xiàng)和?

［規(guī)范解答1

（1）因?yàn)閍1+3%+…+（2〃-1）“”=2〃，①

故”]〃二2時(shí).a1+302+…+（2〃-3）4_]=2（〃-1）,②

...................................................................1分（得分點(diǎn)1）

①一②得⑵，-1"=2.所以&=高.

......................................................................4分（得分點(diǎn)2）

又〃=1時(shí)?勺=2適合上式，............5分（得分點(diǎn)3）

從而的通項(xiàng)公式為勺=五三.……

6分（得分點(diǎn)4）

⑵記?%：］的前〃項(xiàng)和為s“?

，-一幺=_______2______=___1______1_

2〃+1（2〃-1）（2〃+1）2n—12n+1*

.........................................................8分（得分點(diǎn)5）

則>=（1!）+（<—卷）+”,+（高-露）

10分（得分點(diǎn)6）

12n

=112分（得分點(diǎn)7）

2〃+12〃+「

［高考狀元滿分心得］

?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的解題步驟,“步步為贏”，在第⑴問中，由小滿足的

關(guān)系式，通過消項(xiàng)求得外，驗(yàn)證〃=1時(shí)成立，寫出結(jié)果.在第（2）問中觀察數(shù)列的

結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行裂項(xiàng)一利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”.

?得關(guān)鍵分：（1）。〃一|滿足的關(guān)系式，（2）驗(yàn)證〃=1,（3）對通項(xiàng)裂項(xiàng)都是不可少的

過程，有則給分，無則沒分.

?得計(jì)算分：解題過程中的計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證，如（得分點(diǎn)2）,（得分

點(diǎn)5）,（得分點(diǎn)7）.

［構(gòu)建模板］

任3）……由等差（等比）數(shù)列基本知識求通項(xiàng)，或者由

I遞推公式求通項(xiàng)

（JU）……根據(jù)和的表達(dá)式或通項(xiàng)的特征?選擇裂項(xiàng)相

I消法求和

筵以）……反思解題過程?檢驗(yàn)易錯(cuò)點(diǎn)?規(guī)范解題步驟

【規(guī)范訓(xùn)練】(2019?蕪湖調(diào)研)已知數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，以=4,內(nèi)+2是歐和

出的等差中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)仇=21og2aL1,求數(shù)列｛。疝/的前n項(xiàng)和Tn.

解(1)設(shè)數(shù)列｛m｝的公比為切

因?yàn)?2=4,所以°3=4g,Q4=4g2.

因?yàn)?3+2是42和44的等差中項(xiàng)，

所以2(〃3+2)=42+。4.

即2(4夕+2)=4+4/，化簡得夕2—2?=0.

因?yàn)楣?7=0,所以q=2.

所以a〃=a2/—2=4X2"-2=2〃m￡N+).

(2)因?yàn)椤！?2",所以d=21og2〃〃一1—In—1,

所以anbn=(2〃-1)2〃,

則7；=lX2+3X22+5X23+???+(2〃-3)2〃r+(2〃-1)23①

2Tn=1X22+3X23+5X24H------F(2?-3)2,,+(2H-1)2W+,.(2)

由①一②得，

-7；,=24-2X22+2X23+―+2X2/,-(2/?-l)2,,+l

4(1—2"一|)

=2+2X------------一(2〃-1)2〃+1=—6—(2〃-3)2"+i,

所以〃=6+(2〃-3)2"".

I熱點(diǎn)跟蹤訓(xùn)期高效訓(xùn)練，提升能力

1.(2016?全國I卷)已知｛m｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛d｝滿足歷=1,岳=/

Clnbn+1+bn+1=flbn.

(1)求｛?。耐?xiàng)公式；

(2)求｛瓦｝的前〃項(xiàng)和.

解(1)由已知，6nb2+歷=加，Z?i=l,Z?2=|,得ai=2.

所以數(shù)列｛?〃｝是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為“〃=3〃-1.

(2)由⑴和anbn+1+bn+1=nbn得仇+1=冬

因此｛兒｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.

記｛兒｝的前〃項(xiàng)和為S”，貝I

2.已知數(shù)列｛m｝滿足山=多且小+尸送上.

⑴求證：數(shù)列尚是等差數(shù)列：

⑵若bn=anan+if求數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和Sn.

(1)證明易知a〃W0,,

Z十Un

-1_2+丁.J］=\

?！?12ancin+12

又??.；=2,

2a\

???數(shù)列［J］是以2為首項(xiàng)，J為公差的等差數(shù)列.

(2)解由(1)知，7=2+/(〃-1)=-2—，即+3，

(九+3)(〃+4)TQ+3〃+4,

=41廠干尸彳.

3.(2019?長郡中學(xué)聯(lián)考)已知｛a，｝是等差數(shù)列，｛瓦｝是等比數(shù)列，6ii=l,bi=2,bi

=2G,63=2^3+2.

⑴求｛如｝，｛/M的通項(xiàng)公式；

(2)右了的前n項(xiàng)和為S”,求證：Sn<2.

bn

(1)解設(shè)｛m｝的公差為d,｛瓦｝的公比為4,

2g=2(1+d),

由題意得

2a2=2(l+2d)+2,

解得]d=l,或k\d=-\,

4=2

?**(ln=n,bn=2".

(2)證明由⑴知源=養(yǎng)

?Si_2'22'23***e'x?十2"'

兩式相減得/產(chǎn)g+分+m+^+…

%.*.Sn<2.

4.(2019?廣州一模)已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S”，數(shù)列|呼｝是首項(xiàng)為1,公差為2

的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足性+管+…+件=5—(4〃+5)待，求數(shù)列｛岳｝的前〃項(xiàng)和

uI。2On\4/

解(1)由題意可得：押=1+2(〃-1),可得：S“=2〃2—

2

當(dāng)時(shí)，an=Sn—Sn-1—liv—n—[2(〃-I)—(〃-1)]=4〃-3.

當(dāng)〃=1時(shí)，的=1對上式也成立.

?！?4/1—3(〃￡N+).

?02?,Cln_..

Q)-瓦+豆+…+而=5—(z4"+5)你

，心2時(shí),券+曹+???+公=5-(而+1)

相減可得：~(4n—3)X(])(〃22),

又發(fā)=3滿足上式，

?啜=(4〃_3)X(0(〃￡N+).

2(2M—1)

???瓦=2。???數(shù)歹ij｛瓦｝的前n項(xiàng)和Tn=—瞑Tj—=2"+|—2.

5.(2019宜春調(diào)研)已知公差不為。的等差數(shù)列■〃｝的首項(xiàng)m=2,且m+1,為+1,

出+1成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

13

(2)設(shè)d=-------,〃WN+,Sn是數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和，求使成立的最大的正

ClnCln-v\1V

整數(shù)比

解(1)設(shè)｛如｝的公差為4.

由ai+1,s+l,44+1成等比數(shù)列，

可得3+l)2=(ai+1)3+1)，又。1=2,

???(3+J)2=3(3+3J),解得d=3