遼寧省點石聯(lián)盟2024−2025學年高二上學期10月階段考試 數(shù)學試題含答案

2024?2025學年高二上學期10月階段考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．在空間中，單位向量唯一C．若兩個向量不相等，則它們的長度不相等D．若空間中的四點不共面，則是空間的一組基底2．已知直線的傾斜角為，則該直線的一個方向向量為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，在三棱錐中，為的中點，設，則（

）

A． B．C． D．4．已知兩直線，若，則與間的距離為（

）A． B． C． D．5．已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知平面的法向量，平面的法向量，若，則（

）A． B．1 C．2 D．7．如圖所示，正方體的棱長為2，點分別為的中點，則（

）

A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成的角為8．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點，H是內(nèi)的動點（含邊界），且平面，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，則（

）A．若，則直線的傾斜角為B．直線過定點C．若，則直線在軸和軸上的截距相等D．若直線不經(jīng)過第二象限，則10．如圖，四邊形為正方形，平面為的中點，則（

）A．四點共面 B．平面C．平面 D．平面平面11．正方體中，為的中點，為正方體表面上一個動點，則（

）A．當在線段上運動時，與所成角的最大值是B．若在上底面上運動，且正方體棱長為1，與所成角為，則點的軌跡長度是C．當在面上運動時，四面體的體積為定值D．當在棱上運動時，存在點使三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線過點，則當取得最小值時，直線的方程為．13．如圖，正三棱柱的各棱長均為，點為棱上的中點，點為棱上的動點，則在上的投影向量的模的取值范圍為．14．已知正方體的體積為8，且，則當取得最小值時，三棱錐的外接球體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線與直線的交點為．(1)求點關于直線的對稱點；(2)求點到經(jīng)過點的直線距離的最大值，并求距離最大時的直線的方程．16．如圖，是半圓的直徑，是的中點，，平面垂直于半圓所在的平面，．

(1)若為的中點，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．如圖①，在邊長為4的菱形中，分別是邊的中點，，如圖②，將菱形沿對角線折起．(1)證明：；(2)當點折疊到使二面角為直二面角時，求點到平面的距離．18．如圖，在平行六面體中，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．19．定義：如果在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，那么稱為兩點間的曼哈頓距離．(1)已知兩點的坐標分別為，如果它們之間的曼哈頓距離不大于2，求的取值范圍；(2)已知兩點的坐標分別為，如果它們之間的曼哈頓距離恒大于1，求的取值范圍；(3)若點在函數(shù)的圖象上且，點的坐標為，求的最小值．

參考答案1．【答案】D【詳解】對于A，零向量有方向，方向是任意的，故A錯誤；對于B，在空間中，單位向量模長為1但方向有無數(shù)種，故單位向量不唯一，故B錯誤；對于C，若兩個向量不相等，則它們的方向不同或長度不相等，故C錯誤；對于D，若空間中的四點不共面，則向量不共面，故是空間的一組基底，故D正確.故選：D.2．【答案】C【詳解】直線的傾斜角為，則斜率，所以該直線的一個方向向量為.故選：C.3．【答案】A【詳解】由圖可得.故選：A.4．【答案】D【詳解】已知兩直線，若，則，解得，則直線，則與間的距離為.故選：D.5．【答案】A【詳解】或，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6．【答案】A【詳解】若，則，所以，解得，故.故選：A.7．【答案】B【詳解】對于A，為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；如圖建立空間直角坐標系，

則,0,，,2,，,2,，,2,，,0,，對于B，設平面的法向量為，則，取，因為，所以，所以，因為在平面外，所以直線與平面平行，所以B正確；對于C，因為，所以三棱錐的體積為，所以C錯誤；對于D，因為，設直線與平面所成的角為，則，所以D錯誤．故選：B．8．【答案】B【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算即可求解.【詳解】設F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG，如圖，易得，，，因為平面，平面，所以平面，同理平面，又因為平面，，所以平面平面.因為平面，所以H為線段FG上的點.由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因為，所以平面，，.因為，所以，，.所以，因為，所以.故選B.【思路導引】本題解決的關鍵是推得H為線段FG上的點，從而利用空間向量數(shù)量積的定義得到，從而得解.9．【答案】ABC【詳解】對于A，若，則直線，所以直線的傾斜角為，故A正確；對于B，，所以，則直線過定點，故B正確；對于C，若，則直線，令得，令得，所以則直線在軸和軸上的截距相等均為，故C正確；對于D，若，則直線，此時直線不過第二象限，又直線過定點，要使得直線不過第二象限，則，解得，所以若直線不經(jīng)過第二象限，則，故D錯誤.故選：ABC.10．【答案】BCD【詳解】對于A，取中點，連接，由題意，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為四邊形是正方形，所以，所以，所以四點共面，所以四點不共面，故A錯誤；對于B，取中點N，連接，在中，M、N分別為的中點，，且，，，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，且平面，平面，故B正確；對于C，在正方形中，，平面平面，且平面平面，平面，，在直角梯形中，，，可得，，平面，平面，故C正確；對于D，因為平面，平面，所以平面平面，故D正確.故選：BCD.11．【答案】CD【詳解】

對于A，如圖一，在正方體中，易知，所以與所成角等價于與所成的角，當為中點時，，此時所成角最大，為，故A錯誤.對于B，如圖二，因為棱垂直于上底面，且與所成角為，所以在中，，由圓錐的構(gòu)成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長度是，故B錯誤.對于C，如圖三，因為在面內(nèi)，面到平面的距離等于，而面積不變，故體積為定值，故C正確.對于D，如圖四，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，，因為，由，所以，故D正確.故選：CD.12．【答案】【詳解】因為直線過點，所以，則，當且僅當，即時，取到最小值，故此時直線的方程為，即.故答案為：.13．【答案】【詳解】連接，則，又三棱柱為正三棱柱，則平面，平面，所以，又，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，因為點為棱上的動點，設，，則，所以，則在上的投影向量的模為，因為，所以，即在上的投影向量的模的取值范圍為.14．【答案】/【詳解】由題意得，，將平面展成與平面同一平面，當點共線時，此時最小，在展開圖中作，垂足為N，因為為等腰直角三角形，所以，，由得，，解得，在正方體，過點作，垂足為，則，如圖，以D為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，則，因為，所以，又因為平面，且，所以平面，因為，所以三棱錐外接球的球心在上，設球心為，設，則，因為，所以，解得，即，所以外接球，所以三棱錐外接球的體積，故答案為：.15．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）當，時，有，.所以兩直線的交點為.由于關于直線對稱，故直線和直線垂直.而直線即的斜率為，從而直線的斜率為.再由知直線的方程為，即.將與聯(lián)立，得，.從而直線和直線的交點為，由于關于直線對稱，故是的中點.最后由，即知.（2）若是一條經(jīng)過的直線，則由于，知到的距離不超過.若有一條經(jīng)過的直線，滿足到的距離為，則由，知和垂直.而直線的斜率，故的斜率為.再由經(jīng)過，即知的方程為，即.綜上，點到經(jīng)過點的直線距離的最大值為，當距離最大時，直線的方程為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為是半圓的直徑，所以為中點，因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面（2）因為平面垂直于半圓所在的平面，交線為，因為，為中點，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，因為是半圓的直徑，是的中點，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

則，所以，設平面的法向量為，又，則，令，則，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取的中點，連接.結(jié)合折疊后線段長度不變得到，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又分別是的中點，所以，所以.（2）因為點折疊到使二面角為直二面角，所以平面平面，又因為平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，結(jié)合（1）知兩兩垂直，故以為坐標原點所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，，所以，又，所以點到平面的距離為.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為．設，則，所以，又，所以，故，因為四棱柱，且，所以四邊形為菱形，則，又平面，所以平面；（2）過點，作，連接，設，因為平面，平面，所以，又因為，且，故底面，又因為，所以平面平面，所以，在中，，在中，，在中，，以過點且與平行的直線為軸，所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，平面的法向量為，所以，設平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.1