專題27函數(shù)與方程2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考浙江）（練）

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新高考·浙江）第二章函數(shù)專題2.7函數(shù)與方程（練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.（2020·海豐縣彭湃中學(xué)高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞減,,,所以零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為故選:D2．（2021·河南高一期中（文））函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像可得它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是與的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中作圖，如下，它們共有5個(gè)不同的交點(diǎn)，故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，故選：C.3.（2021·陜西西安市·西安中學(xué)高三其他模擬（文））函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用函數(shù)和的圖象，觀察交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍，然后利用零點(diǎn)存在定理判斷．【詳解】解：函數(shù)，畫出與的圖象，如下圖：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是．故選：D．4．（2021·湖南高三三模）已知，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】分別作出的圖象，結(jié)合選項(xiàng)逐一分析，可得答案．【詳解】分別作出的圖象，選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，交點(diǎn)為，此時(shí)在上方，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，交點(diǎn)為，此時(shí)在上方，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，交點(diǎn)為，此時(shí)在下方，，正確；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，為點(diǎn)，此時(shí)在上方，錯(cuò)誤；故選：C5．（2021·北京高三二模）“是”“函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)為1，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，即或，當(dāng)時(shí)，，或，是函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，故選：A.6．（湖北高考真題）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為_____________.【答案】2【解析】因?yàn)?作出函數(shù)的圖像，從圖像可以觀察到兩函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.7．（湖南高考真題（文））若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出和的圖象，如圖，要有兩個(gè)交點(diǎn)，那么8.（安徽高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為.【答案】【解析】時(shí)取得最小值．即函數(shù)的圖像的最低點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，由數(shù)形結(jié)合可知此時(shí)直線與的圖像必有兩個(gè)交點(diǎn)，故舍；當(dāng)時(shí)，要使直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則有直線必過點(diǎn)，即，解得．綜上可得．9．（2021·全國(guó)高三其他模擬（文））方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為___________.【答案】【解析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)與的大致圖象可得答案.【詳解】顯然不是方程的實(shí)數(shù)根，所以方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)等于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)與的大致圖象，如下圖所示，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為，故答案為：.10．（2021·四川達(dá)州市·高三二模（文））已知函數(shù)，若僅有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】畫出分段函數(shù)的圖象，利用函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷a的范圍即可.【詳解】函數(shù)的圖象如下：函數(shù)僅有兩個(gè)不同零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，由圖可知.故答案為：.【提升能力】1．（天津高考真題）已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】當(dāng)x<0時(shí)2-x>2,所以f(x)=2-|x|=2+x,f(2-x)=x2,此時(shí)函數(shù)f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-3=x2+x-1的小于零的零點(diǎn)為x=-1+52;當(dāng)0≤x≤2時(shí)f(x)=2-|x|=2-x,f(2-x)=2-|2-x|=x,函數(shù)f(x)-g(x)=2-x+x-3=-1無零點(diǎn);當(dāng)x>2時(shí),f(x)=(x-2)2.（2018·全國(guó)高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=ex，x≤0，lnx，x>0A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】畫出函數(shù)f(x)的圖像，y=e再畫出直線y=-x，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)=-x-a有兩個(gè)解，也就是函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足-a≤1，即a≥-1，故選C.3.（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三三模（文））已知函數(shù).若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先討論，在時(shí)，利用分離參數(shù)的思想，畫出的圖像，利用數(shù)形結(jié)合判斷出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不是方程的根，當(dāng)時(shí)，由得，，方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于直線y=a與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的大致圖像如圖所示，由圖可知，或.故選：C.4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（文））已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，求出的取值范圍，由此可得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

設(shè)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由，解得，因?yàn)?，因此?故選：B.5.（2021·全國(guó)高三其他模擬）若函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分段函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，且有一個(gè)零點(diǎn)，在(∞，1]上用數(shù)形結(jié)合法探討有一個(gè)零點(diǎn)即可得解.【詳解】因函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在(∞，1]有一個(gè)零點(diǎn)，x≤1時(shí)，，即函數(shù)在(∞，1]上的圖象與直線y=m有一個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=m和函數(shù)的圖象，如圖：而在(∞，1]上單調(diào)遞減，且有，則直線y=m和函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，.故選：A6．（2021·浙江紹興市·高三二模）已知，，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有在區(qū)間上至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【解析】首先分別求出每一段的零點(diǎn)，再對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)已知建立不等式組，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，若，則或，若，則；①當(dāng)時(shí)，與一定是函數(shù)的零點(diǎn)，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，可能的零點(diǎn)是與，因?yàn)橹辽俅嬖趦蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，而，所以.故選：B.7．（2021·新疆布爾津縣高級(jí)中學(xué)高三三模（文））已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】由題設(shè)知的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問題，而且周期為2，關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)；且關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)有，畫出的草圖即可確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用對(duì)稱性確定總交點(diǎn)數(shù).【詳解】由題意知：關(guān)于對(duì)稱，而的零點(diǎn)即為的根，又∵在上的偶函數(shù)，知：且周期為2，關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)，而時(shí)且關(guān)于y軸對(duì)稱∴與在的圖象如下，

∴共有4個(gè)交點(diǎn)，由偶函數(shù)的對(duì)稱性知：在上也有4個(gè)交點(diǎn)，所以共8個(gè)交點(diǎn).故選：C.8．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高二期中（理））已知函數(shù)，若方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】方程左邊先進(jìn)行因式分解得，作出函數(shù)的圖象如圖所示，可得，解不等式即可得到答案；【詳解】,或，作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)，，，解得：，故選：A.9．（2021·北京高三二模）已知函數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)，關(guān)于的方程都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．無數(shù)【答案】B【解析】分、、三種情況討論，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由題意可得，解得；若，則，如下圖所示：函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得，此時(shí)無解.綜上所述，.故選：B.10．（山東高考真題（理））已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則【答案】【解析】說明函數(shù)是周期為8的函數(shù)，求出其對(duì)稱軸，畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像判斷即可.【詳解】解：定義在R上的奇函數(shù)，所以，，又，所以，8是函數(shù)的一個(gè)周期，所以，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，函數(shù)的對(duì)稱軸是，根據(jù)以上性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖像:有圖像知，，所以，故答案為：【拓展思維】1．（2020·全國(guó)高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗?，所以，所?，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2021·浙江湖州市·高三二模）“關(guān)于的方程有解”的一個(gè)必要不充分條件是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)形結(jié)合，探討出“關(guān)于的方程有解”的充要條件，再由必要不充分條件的意義即可得解.【詳解】關(guān)于的方程有解，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)，函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的上半圓，y=|xm|的圖象是以點(diǎn)(m，0)為端點(diǎn)，斜率為且在x軸上方的兩條射線，如圖：y=xm與半圓相切時(shí)，點(diǎn)(m，0)在B處，，y=x+m與半圓相切時(shí)，點(diǎn)(m，0)在A處，，當(dāng)y=|xm|的圖象的頂點(diǎn)(m，0)在線段AB上移動(dòng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象均有公共點(diǎn)，所以“關(guān)于的方程有解”的充要條件是，B不正確；因，，即是的必要不充分條件，A正確；，，即是的充分不必要條件，C不正確；，，即是的不充分不必要條件，C不正確.故選：A.3．（2021·山東濟(jì)寧市·高三二模）已知函數(shù)，若，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先由得到，把轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值.【詳解】函數(shù)的圖像如圖所示，作出交兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為a、b，不妨設(shè).由可得：，解得：，所以記，任取，則。因?yàn)椋?，所以，所以則在上單調(diào)遞減，所以故選：C4．（2021·浙江高二期末）已知，函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)最多有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【解析】以的特殊情形為突破口，解出或或；或，將看作整體，利用換元的思想進(jìn)一步討論即可.【詳解】由基本不等式可得或，作出函數(shù)，的圖像，如下：且，①當(dāng)時(shí)，，故方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為2；②當(dāng)時(shí)，或，故方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為；③當(dāng)時(shí)，或或，故方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為6；④當(dāng)時(shí)，或或，故方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為5；⑤當(dāng)時(shí)，或，故方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為；⑥當(dāng)時(shí)，或，故方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為；⑦當(dāng)時(shí)，或，故方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為4；綜上可知，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)最多有6個(gè)，故選：A5．（2020·天津高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程恰有3個(gè)實(shí)根即可，令，即與的圖象有個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)椋?dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，與有個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)與恒有個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.6.（2021·黑龍江大慶市·鐵人中學(xué)高三其他模擬（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出下列命題：①當(dāng)時(shí)，；②函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；③的解集為；④，，都有.其中正確的命題是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【解析】對(duì)于①，利用奇偶性求時(shí)的解析式即可判斷；對(duì)于②，直接求出零點(diǎn)即可判斷；對(duì)于③，直接解不等式，得到解集即可判斷；對(duì)于④，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合圖象求出的值域即可判斷.【詳解】解：函數(shù)定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，下面逐一判斷：對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，則，所以，整理得，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，由可得，即，故，又函數(shù)在處有定義，故，故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，則的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，成立.故的解集為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，有，時(shí)，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最小值，且時(shí)，，時(shí)，所以，即，可作大致圖象如下，再根據(jù)對(duì)稱性作時(shí)的大致圖象，綜上時(shí)，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，值域?yàn)?，而所以的值域?yàn)?故，，都有，即，故，即④正確.故選：A.7.（2021·奉新縣第一中學(xué)高三三模（文））已知函數(shù)若方程的實(shí)根之和為6，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出圖象，求方程的實(shí)根之和為6，即求與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6，分別討論a=1、、a=2、、和a=4時(shí)圖象與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】作出圖象，如圖所示求方程的實(shí)根之和為6，即求與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6，當(dāng)a=1時(shí)，圖象與圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（3,1），不滿足題意；當(dāng)時(shí)，圖象與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，且從左至右設(shè)為，由圖象可得關(guān)于x=3對(duì)稱，所以，即，滿足題意；當(dāng)a=2時(shí)，圖象與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，且（0,2）為最左側(cè)交點(diǎn)，設(shè)與圖象另外兩個(gè)交點(diǎn)為，由圖象可得關(guān)于x=3對(duì)稱，所以，即，滿足題意；當(dāng)時(shí)，圖象與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，從左至右設(shè)為，，由圖象可得關(guān)于x=0對(duì)稱，所以，關(guān)于x=3對(duì)稱，所以，即，滿足題意；當(dāng)時(shí)，圖象與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿足題意；當(dāng)a=4時(shí)，圖象與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿足題意；綜上：的取值范圍為.故選：A8．（2021·安徽合肥市·高三三模（文））若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】題意等價(jià)于函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)判斷兩函數(shù)的單調(diào)性從而確定其在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再判斷時(shí)兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用排除法確定正確答案.【詳解】法一：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程只有一個(gè)解，令，根據(jù)題意函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，排除C、D選項(xiàng)；令，函數(shù)，作出圖像如圖所示：

根據(jù)圖像可知函數(shù)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即不合題意，而，故排除A選B.法二：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程即方程只有一個(gè)解，令，，根據(jù)題意兩函數(shù)在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，作出圖像如圖所示：若要函數(shù)在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則需或，，，.故選：B9．（2021·云南紅河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知函