專題03數(shù)列（分層訓練）-2021年暑期高二升高三數(shù)學輔導講義（人教A版2019）

專題03數(shù)列A組基礎鞏固1．（多選題）（2021·遼寧高二期末）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載有“耗子穿墻”問題：今有垣厚五尺兩鼠對穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列說法中正確的有（）A．大鼠與小鼠在第三天相逢 B．大鼠與小鼠在第四天相逢C．大鼠一共穿墻尺 D．大鼠和小鼠穿墻的長度比為【答案】ACD【分析】設需要天時間才能打穿，根據(jù)大鼠日穿墻尺數(shù)構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，小鼠日穿墻尺數(shù)構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式列出不等式求出，即可判斷A、B的正誤；根據(jù)題意可知，第一天大鼠打了1尺，小鼠也打了1尺，第二天，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，設第三天大鼠打了尺，則小鼠打了尺，根據(jù)時間相等列出方程，即求出，然后分別求出大鼠、小鼠穿墻的的尺數(shù)，即可判斷C、D的正誤.【詳解】設需要天時間才能打穿，根據(jù)題意可知，大鼠日穿墻尺數(shù)構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，小鼠日穿墻尺數(shù)構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，則有，即，令，因為是單調(diào)增函數(shù)，且，，所以需要天時間才能打穿，故A正確；根據(jù)題意可知第一天大鼠打了1尺，小鼠也打了1尺，第二天大鼠打了2尺，小鼠打了尺，設第三天大鼠打了尺，則小鼠打了尺，則有，解得，所以三天總的來說，大鼠打了(尺)；小鼠打了(尺)，故大鼠和小鼠穿墻的長度比為，故C、D正確.故選：ACD2．（2021·河南高二期末（文））已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，且，，成等差數(shù)列，則的前4項和（）A．4 B．40 C．4或40 D．15【答案】B【分析】設的公比為，由等差數(shù)列性質(zhì)列方程解得，再由等比數(shù)列前項和公式計算．【詳解】解：設的公比為，由于，，成等差數(shù)列，所以．因為，所以，即解得（舍去），或，所以．故選：B．3．（多選題）（2021·全國高三其他模擬）等差數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A．B．的前項和中最小C．的最小值為49D．的最大值為0【答案】BC【分析】由已知條件先計算出和，然后計算的值對A進行判斷；求出的表達式，計算出最小值即可對B進行判斷；求出的表達式，運用導數(shù)求出最小值判斷C選項；求出的表達式對D進行判斷.【詳解】設數(shù)列的公差為d，則

解得，，A錯誤；

，當n=5時取得最小值，故B正確；

，設函數(shù)，

則，當時，，

當時，，

所以，，且，，

所以最小值為49，C正確；，沒有最大值，D錯誤．故選：BC4．（2020·海倫市第一中學高三月考）已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由已知，所以，因為數(shù)列的各項均為正，所以，．故選C．考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)．5．（2019·全國高三專題練習）已知等差數(shù)列前項和為，若，，則（）A．110 B．150 C．210 D．280【答案】D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，，也成等差數(shù)列，由此求得的值.【詳解】解：等差數(shù)列前項和為，，，也成等差數(shù)列故，又故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列前n項和公式的應用.6．（2021·四川遂寧市·射洪中學高一月考）已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用累加法求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和.【詳解】由題知，數(shù)列滿足，（），所以，，…，，上述式子相加得，，解得又符合上式，所以，.所以，，所以.故選：D.7．（理科數(shù)學2021年高三1月大聯(lián)考（新課標Ⅲ卷））已知數(shù)列的通項公式為，，為其前項和，則當時，正整數(shù)的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由求出，并分別分析及的正負，進行判斷即可.【詳解】因為數(shù)列的通項公式為，，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以．當時，，當時，．當時，，當時，．所以時，．故選：C．8．（2021·四川高三二模（文））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知遞推關系構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷其為等比數(shù)列，進而求得、，即可求.【詳解】∵，∴，而當時，，即，則，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，即有，而，∴，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：通過的遞推關系構(gòu)造數(shù)列，并確定其為等比數(shù)列，進而求、.9．（2021·貴州貴陽一中高三月考（理））記，分別為等差數(shù)列，的前項和，若，則__________.【答案】【分析】，分別為等差數(shù)列，的前項和，，不妨設，，可得時，；，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，分別為等差數(shù)列，的前項和，，不妨設，，時，；，則．故答案為：．10．（專題03判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列20202021學年高二數(shù)學數(shù)列專題復習課（人教A版2019選擇性必修第二冊））已知等比數(shù)列的前項和，其中是常數(shù)，則__________.【答案】【分析】由公式得,,進而根據(jù)題意得,解方程即可得答案.【詳解】由于等比數(shù)列的前項和.當時，；當時，.由題意可知，滿足，即，解得.故答案為：11．（2021·江蘇高三期末）朱載堉（15361611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設第三個音的頻率為，第七個音的頻率為，則______．【答案】【分析】將每個音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列知識可求得結(jié)果.【詳解】由題知：一個八度13個音，且相鄰兩個音之間的頻率之比相等，可以將每個音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項，且，最后一個音是最初那個音的頻率的2倍，，，，．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列求解是解題關鍵.12．（2020·榆林市第一中學高二月考）設等比數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】【分析】由題意公比不為1，利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】，否則.∴，∴.∴.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式，考查了計算能力，屬于中檔題.

B組能力提升13．（2021·福建高二期中）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家，其著作《詳解九章算術(shù)》中畫了一張表示二項式展開式后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣(如圖)，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)簡稱為“楊輝三角”，比西方的"帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形數(shù)陣中的第行第個數(shù)，則按照自上而下，從左到右順次逐個將楊輝三角中二項式系數(shù)相加，加到這個數(shù)所得結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用表示第行中所有數(shù)字的和，由圖可得，要求前所的數(shù)的和，先求出前99行的所有數(shù)的和，再由楊輝三角發(fā)現(xiàn)，，從而可得，從而可得，觀察每行的第3個數(shù)發(fā)現(xiàn)當時，，從而可求出，進而可求得結(jié)果【詳解】解：由楊輝三角可知，第行中有個數(shù)，用表示第行中所有數(shù)字的和，因為時，，當時，，當時，，……所以由此可知，所以，由圖可知，，所以,因為，所以，再觀察每行的第3個數(shù)，,……，所以當時，，所以，所以所求的總和為故選：B14．（2021·河南洛陽市·高二期末（理））已知數(shù)列滿足，為其前項和，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知等式中用替換得，兩式相減得數(shù)列的遞推關系，用分類討論思想求得數(shù)列通項公式，然后分組求和．【詳解】因為①，所以②由②－①得：，所以數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項均成公差為的等差數(shù)列當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，又因為，所以，得，所以，所以．故選：C．15．（理科數(shù)學押第6題線性規(guī)劃備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學（理）臨考題號押題（新課標Ⅲ卷））設數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，，，則的最大值為（）.A．B．C．D．【答案】D【分析】由題結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式可得，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合可求出.【詳解】可將此題看成關于和的線性規(guī)劃問題，根據(jù)題意可知化簡為，求的最大值，將其轉(zhuǎn)化為求的最大值問題，作圖，由，得，平移直線，由圖可知，當直線過點時，有最大值，∴，即的最大值為.故選：D.【點睛】方法點睛：線性規(guī)劃常見類型，（1）可看作是可行域內(nèi)的點到點的斜率；（2），可看作直線的截距問題；（3）可看作可行域內(nèi)的點到點的距離的平方.16．（2020·重慶高一期末）已知實數(shù)，，是與的等比中項，則的最小值是______.【