專題11解三角形-常規(guī)型

專題1.1解三角形常規(guī)型1．解三角形一般需要三個(gè)條件，如果條件不齊，則只能求角或者求范圍．2．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值．3．在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．4．針對(duì)查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周長(zhǎng)的最值，利用條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算解能力，屬于中檔題．1．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求；（2）若，求的面積．【試題來源】安徽省蕪湖市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末【答案】（1）；（2）14．【分析】（1）利用正弦定理及和角公式即得；（2）利用同角關(guān)系式及正弦定理可得，然后利用和角公式及三角形面積公式即求．【解析】（1）由正弦定理及，得，又，所以，代入上式得，又，故．（2）由（1）知，又，所以，由得到，所以的面積為14．2．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求角C；（2）若的外接圓半徑為2，求面積的最大值．【試題來源】安徽省亳州市普通高中20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）利用正弦定理得到，從而得到；（2）利用正弦定理得到，根據(jù)余弦定理和基本不等式求出，進(jìn)而求出面積的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)椋?，故，，因?yàn)?，所以；?）根據(jù)正弦定理得，解得，根據(jù)余弦定理得，由基本不等式得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以面積的最大值為.3．在中，已知，．（1）若，求的面積；（2）若，求的周長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：．）【試題來源】湖南省婁底市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)【答案】（1），（2）【分析】（1）首先利用正弦定理得到，再利用面積公式求解即可．（2）首先設(shè)，，利用余弦定理得到，再求周長(zhǎng)即可．【解析】（1）在中，由正弦定理得，，所以，所以三角形面積為．（2）因?yàn)椋钥稍O(shè)，，在中，由余弦定理得，，因?yàn)椋?，所以，解得，所以三角形的周長(zhǎng)為．4．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且的面積為．（1）求角A；（2）若，求的周長(zhǎng)．【試題來源】安徽省阜陽(yáng)市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)【答案】（1），（2）【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解；（2）利用正弦定理得到，結(jié)合面積公式得到，進(jìn)而求出，進(jìn)而求出的周長(zhǎng)．【解析】（1）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，又，所以．?）由及正弦定理可得，又的面積為．所以，則，解得，所以，所以的周長(zhǎng)為．5．在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四邊形ABCD的面積．【試題來源】江蘇省南通市海安市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理及二倍角公式即可求解；（2）由（1），分別運(yùn)用正弦定理和余弦定理求出相關(guān)邊長(zhǎng)，再由面積公式計(jì)算即可．【解析】（1）由題意，設(shè)，則，，在中，由正弦定理有，即，解得．所以，因?yàn)?，所以．?）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四邊形ABCD的面積．6．在△ABC中，已知．（1）求cosB的值；（2）若D在AB邊上，且滿足AD＝BC，∠BDC＝2B，求tanA的值．【試題來源】江蘇省南通市海門區(qū)20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求解即可．（2）首先根據(jù)正弦定理得到，從而得到，再結(jié)合求解即可．【解析】（1）因?yàn)?，得，即，由余弦定理．?）設(shè)，在中，，①，在△ACD中，，因?yàn)?，所以②，由①②得，，所以，因?yàn)?，所以所以．由?）知，，又，所以，所以，，則＝．7．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足A，B，C成等差數(shù)列，且．（1）求的值；（2）若，求的面積．【試題來源】江西省贛州市2022屆高三上學(xué)期期末【答案】（1）1，（2）【分析】（1）根據(jù)A，B，C成等差數(shù)列可求出，再結(jié)合余弦定理即可求出；（2）由題意結(jié)合兩角和的正弦公式可求出，再根據(jù)正弦定理以及（1）中結(jié)果可求出，然后根據(jù)即可求出的面積．【解析】（1）由A，B，C成等差數(shù)列，即，結(jié)合內(nèi)角和定理得，由余弦定理知，把代入得．（2）由，，從而，再由正弦定理：，結(jié)合，解得，故的面積為．8．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C的大小；（2）若的面積，求ab的最小值．【試題來源】海南省2022屆高三學(xué)業(yè)水平診斷（二）【答案】（1）；（2）48．【分析】（1）由正弦定理及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，即可得C的大??；（2）根據(jù)三角形面積公式、余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求ab的最小值，注意等號(hào)成立條件．【解析】（1）由已知及正弦定理得，又，所以，即且，所以．（2）由題意知，即，由余弦定理知，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以ab的最小值為48．9．若的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，且．（1）求c；（2）若，過點(diǎn)C作，垂足為H，若，求的面積S．【試題來源】安徽省示范高中20212022學(xué)年高三上學(xué)期冬季聯(lián)賽【答案】（1），（2）【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理變形可求出結(jié)果；（2）在兩個(gè)直角三角形中利用勾股定理列式求出和，再根據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果．【解析】（1）由，得，所以，因?yàn)?，所以，所以．?）如圖所示：因?yàn)?，又，故，所以，所以，所以，所以，所以的面積為，故的面積為3．10．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求A；（2）若的周長(zhǎng)為15，且，求的面積．【試題來源】安徽省蕪湖市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)間的關(guān)系，可求得答案；（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理，得到邊之間的關(guān)系，解方程組得邊長(zhǎng)，求得答案．【解析】（1）因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故；?）由得，由余弦定理得，因?yàn)?，解得，所以?1．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，向量，向量，且．（1）求角的大?。唬?）若，求面積的最大值．【試題來源】甘肅省金昌市20212022學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】（1），（2）【分析】（1）由向量共線的坐標(biāo)表示得到，利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）由利用基本不等式可得的范圍，再由面積公式可得答案．【解析】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得即，由余弦定理得所以，所以．?）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以，所以面積的最大值為．12．已知a，b，c分別為銳角三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．（1）求；（2）若，求的周長(zhǎng)．【試題來源】安徽省部分學(xué)校20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化為角，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可得答案；（2）根據(jù)已知，利用余弦定理求得，即可求得答案．【解析】（1）在中，由正弦定理得，又，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故．（2）在中，由余弦定理得，又，代入上式得所以，故，又，所以的周長(zhǎng)為．13．在四邊形ABCD中，已知，，．（1）求四邊形ABCD的面積；（2）求的值．【試題來源】安徽省淮南市2022屆高三上學(xué)期一?！敬鸢浮浚?）；（2）．【分析】（1）由已知及向量數(shù)量積的定義可得，根據(jù)余弦定理求，再由勾股定理及已知條件得、，最后由面積公式求ABCD的面積即可．（2）△中應(yīng)用正余弦定理求即可．【解析】（1），，，可得，，則，，，，故，又，，故，所以四邊形ABCD的面積．（2）在△中，，，．14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求C；（2）若，，點(diǎn)D在邊AB上，且，求CD的長(zhǎng)．【試題來源】重慶市2022屆高三第一次聯(lián)合診斷【答案】（1），（2）【分析】（1）由已知借助正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，然后再使用余弦定理，即可求解出C；（2）借助第（1）問角C及已知條件，利用余弦定理先求解出b，然后通過找到與b之間的關(guān)系，即可完成求解．【解析】（1）由已知借助正弦定理可得，即，即，，故；（2）由余弦定理知，所以，由知，，即．15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為．（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積．【試題來源】江西省八一中學(xué)等名校2022屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理得，進(jìn)而得；（2）由題知，進(jìn)而結(jié)合正弦定理得，再計(jì)算面積即可得答案．【解析】（1）因?yàn)榈拿娣e為，所以，又，所以，所以，又，所以．（2）因?yàn)椋?，所以．由正弦定理，得，所以，所以的面積為．16．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，且．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．【試題來源】上虞區(qū)20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末【答案】（1）．（2）【分析】（1）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得，即可求出；（2）利用向量法求出邊長(zhǎng)，代入面積公式即可求出．【解析】（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理得．因?yàn)?，所以，所以可化為．因?yàn)?，所以，消去得．?dāng)時(shí)，不成立，所以，所以，所以．因?yàn)椋裕?）因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，所以，所以，即．因?yàn)椋?，代入得，解得（舍去）．所以的面積為．17．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求a的最小值．【試題來源】湖北省十堰市20212022學(xué)年高三上學(xué)期元月期末【答案】（1），（2）【分析】（1）化成含的一元二次方程求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求最小值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，或（舍去）．又為銳角三角形，所以．（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．故a的最小值為．18．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【試題來源】廣東省2022屆高三一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)【答案】（1），（2）30【分析】（1）由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得；（2）根據(jù)面積公式得，進(jìn)而結(jié)合已知得，，再根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而得周長(zhǎng)．【解析】（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以．?）由（1）得，，所以，所以，又，解得，，由余弦定理可得，所以，所以的周長(zhǎng)為．19．銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的取值范圍．【試題來源】安徽省江淮十校20212022學(xué)年高三上學(xué)期11月第二次聯(lián)考【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合角為銳角可求得結(jié)果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出，利用正弦定理結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，即可得解【解析】（1）由正弦定理得因角、為銳角，所以，，于是，即，又角為銳角，則．（2）由余弦定理得，于是，因，兩邊同時(shí)平方得，由正弦定理得，所以，因0<B<π2C+B>π2，解得，則，，