專題02直線與平面位置關(guān)系的證明(原卷版)

專題02直線與平面位置關(guān)系的證明【必備知識點】一.平行關(guān)系的判定與性質(zhì)推論推論平行關(guān)系直線與平面平行平面與平面平行判定平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.符號語言：一條直線和一個平面平行,則過這直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.符號語言：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.符號語言：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面平行.符號語言：垂直同一條直線的兩個平面平行.符號語言：.(1)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.(2)如果兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的任意直線都平行另一個平面.(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例.(5)如果兩個平面分別平行于三個平面,那么這兩個平面相互平行.性質(zhì)判定性質(zhì)二.證明線面平行的常用方法1.利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點2.利用線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.常用構(gòu)造平行四邊形或者中位線方法找平行.（重點）3.利用面面平行的性質(zhì)：如果兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的任意直線都平行另一個平面.（重點）方法一：中位線法結(jié)合判定定理例1．長方體中，是矩形的中心，是矩形的中心．證明：平面.例2．如圖，正四棱錐，E為中點.求證：平面.例3．如圖，正四棱柱中，，為棱的中點,證明：平面.方法二：平行四邊形法結(jié)合判定定理例4．如圖，已知OA、OB、OC交于點O，，，E、F分別為BC、OC的中點．求證：平面AOC．例5．如圖所示，在正方體中，點N在BD上，點M在上，且，求證：平面．例6．如圖，四邊形為正方形，為等腰直角三角形，，是線段的中點，在直線上是否存在一點，使得平面？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.例7．如圖所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一點E，使平面？若存在，試確定點E的位置；若不存在，請說明理由．方法三：線段成比例結(jié)合判定定理例8．如圖，在五面體PABCD中，，底面ABCD是菱形，且，點M是AB的中點，點E在棱PD上，滿足．求證：平面EMC．例9．如圖，在正方體中，點是的中點，點在棱上，且，設(shè)直線、相交于點．求證：∥平面．例10．在正三棱柱中，已知，M，N分別為，的中點，P為線段上一點．平面與平面的交線為l，是否存在點P使得平面？若存在，請指出點P的位置并證明；若不存在，請說明理由方法四：利用面面平行的性質(zhì)例11．如圖所示，⊥平面，四邊形為矩形，，.求證：∥平面.例12．如圖，已知點P在平面四邊形ABCD外，且平面ABCD，E是PD的中點，，，，求證：平面．例13．已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點．求證：平面PCE.例14．平行四邊形和平行四邊形不在同一平面內(nèi)，、分別為對角線，上的點，且．求證：平面．三.證明面面平行的常用方法1.根據(jù)定義：證明兩個平面沒有公共點2.利用面面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.（重點）3.利用判定定理的推論：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面平行.（重點）4.利用面面平行的性質(zhì)：如果兩個平面分別平行于三個平面,那么這兩個平面相互平行.例15．如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱底面ABCD，E、F、G分別為VA、VB、BC的中點,求證：平面平面VCD.例16．如圖，在三棱柱中，分別為棱的中點.求證：平面平面.例17．如圖，正方體中，、、、分別是相應(yīng)棱的中點，證明：平面平面．例18．如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，分別為，的中點，．求證：（1）平面；（2）平面平面．例19．如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M?N分別是AB?PC的中點（1）求證：MN平面PAD；（2）在PB上確定一個點Q，使平面MNQ平面PAD.四．證明線線平行的常用方法1.利用平面內(nèi)線線平行的判定方法：同位角,內(nèi)錯角,同旁內(nèi)角,中位線等幾何方法.2.利用線面平行的性質(zhì)定理：一條直線和一個平面平行,則過這直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.（重點）3.利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.例20．如圖，梯形中，，E是的中點，過和點E的平面與交于點F.求證：.例21．如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形.例22．點是所在平面外一點，是中點，在上任取點，過和作平面交平面于．證明：．總結(jié)：立體幾何中的線線平行,線面平行,面面平行,這三種平行關(guān)系相互聯(lián)系,相互轉(zhuǎn)化.在高中階段,證明線線平行時,常常需要利用線面平行的性質(zhì),而在證明線面平行時,又需要線線平行,所以在解決平行關(guān)系的綜合問題時,必須要靈活運用這三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.直線與直線平行直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行判定性質(zhì)判定性質(zhì)性質(zhì)五.垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言：一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.符號語言：兩個平面相交,如果他們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面相互垂直.(1)如果一條直線垂直于一個平面,那么該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線.(2)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.(3)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(4)垂直于同一個平面的兩條直線平行.(5)垂直于同一條直線的兩個平面相互平行.(6)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面(7)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,那么它必垂直于另一個平面.如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線與平面相互垂直，記作.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.符號語言：垂直關(guān)系直線與平面垂直平面與平面垂直判定性質(zhì)判定性質(zhì)定義定義六．證明線面垂直的常用方法1.利用線面垂直的判定定理：證一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直.（重點）2.利用面面垂直的性質(zhì)定理：兩平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面.(重點)例24．如圖所示，在四面體ABCD中，棱，其余各棱長都為1，E為CD的中點，求證：(1)平面ABE；(2)平面BCD．例25．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，求證：平面EAB．例26．如圖，正方體，求證：平面．例27．如圖，在三棱錐中，分別為的中點，，且，．求證：平面．例28．如圖，已知四棱柱中，各棱長都為，底面是正方形，頂點在平面上的射影是正方形的中心，求證：平面．例28．如圖，已知垂直于圓O所在的平面，是圓O的直徑，C是圓O上異于A，B的任意一點，過點A作，垂足為E．(1)求證：平面；(2)求證：平面．例29．如圖所示，三棱錐中，平面ABC，若O，Q分別是和的垂心，求證：平面PBC．例30．如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，平面，.證明：平面.七．證明線線垂直的常用方法1.利用定義:兩直線成直角時,兩直線垂直；勾股定理等.2.利用平行轉(zhuǎn)化:即.3.利用線面垂直的性質(zhì):如果一條直線垂直于一個平面,那么該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線.（重點）例31．如圖，已知平面PBC，，M是BC的中點，求證：．例32．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．證明：D1E⊥A1D.例33．如圖，在正方體中，求證：，．例34．如圖，已知三棱錐中，，側(cè)棱底面，點在棱和上的射影分別是點、，求證：．例35．在正三棱柱中，如圖所示，，G，E，F(xiàn)分別是，AB，BC的中點，求證：直線直線GB．例36．已知圓柱的軸截面是正方形，點在底面圓周上，，是垂足，求證：.八．證明面面垂直的常用方法1.利用面面垂直的定義:兩個平面相交,如果他們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面相互垂直.2.若一個平面與另一個平面的垂面平行,則這兩個平面相互垂直.3.利用面面垂直的判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.（重點）例37．如圖,在四棱錐中,底面,是直角梯形,,,,是的中點．求證:平面平面例38．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PDB．例39．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥.證明：平面平面.例40．如圖，在四棱錐A－BCDE中，已知底面BCDE為直角梯形，CB∥DE，CB⊥CD，又棱AB⊥AC，側(cè)面ABC⊥底面BCDE．求證：平面ACD⊥平面ABE.例41．如圖，直三棱柱中，，為上的中點.證明：平面平面.例42．如圖，四邊形是邊長為2的菱形，且平面，．證明：平面平面．例43．多面體ABCDEF如圖所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．求證：平面平面DEF.總結(jié):立體幾何中的線線垂直,線面垂直,面面垂直,這三種平行關(guān)系相互聯(lián)系,相互轉(zhuǎn)化.在證明線線垂直過程中,常常需要利用線面垂直的性質(zhì),在證明線面垂直過程中,又往往需要線線垂直或者面面垂直作為前提條件.在解決垂直關(guān)系的綜合問題時,必須要靈活運用這三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.直線與直線垂直直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直判定性質(zhì)判定性質(zhì)九．利用空間向量證明平行關(guān)系1.利用向量法證明線面平行的三個方法(1)設(shè)直線的方向向量是,平面的法向量是,則要證明,只需證明,即證.（重點）(2)根據(jù)線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行,要證明一條直線與一個平面平行,在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.(3)根據(jù)共面向量定理可知,要證明一條直線和一個平面平行,只需證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.例44．在如圖所示的多面體中，平面平面，，M，N分別是的中點．求證：平面.例45．如圖，已知邊長為4的正三角形ABC，E、F分別為BC和AC的中點，，且平面ABC，設(shè)Q是CE的中點．求證：平面PFQ.例46．如圖，正方體的棱長為4，點M為棱的中點，P，Q分別為棱，上的點，且，PQ交于點N．求證：平面ABCD.例47．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，點M為棱PB的中點．求證：.例48．如圖，且，，且，且，平面，，為的中點，為的中點.求證：平面.例49．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別是的中點，平面，且.證明：平面.例50．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，求證：PA//平面EDB.十．利用空間向量證明垂直關(guān)系1.利用空間向量證明直線與平面垂直的兩個方法(1)證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直①用基底法或坐標法表示三條直線的方向向量②分別計算直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量的數(shù)量積,得到數(shù)量積為0;③利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量平行①建立空間直角坐標系,求出直線的方向向量的坐標與平面的法向量的坐標.②判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.③判定直線與平面垂直.例51．如圖，四棱錐中，底面，底面為矩形，，，M，N分別為PB，CD的中點．求證：面.例52．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點，且．求證：平面PAC．例53．如圖，在平行六面體中，，，求證：直線平面．例54．如圖，在長方體中，棱長，，點E是平面上的動點，點F是CD的中點．試確定點E的位置，使平面．例55．如圖，在多面體中，已知，，，，為等邊三角形.求證：.【過關(guān)檢測】1．四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：平面.2．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，試判斷點M在何位置.3．如圖，在正方體中，與交于點，求證：(1)直線平面；(2)直線平面．4．正方體中，、分別為、的中點，、分別是、的中點．(1)求證：E、F、B、D共面；(2)求證：平面平面．5．如圖，在棱長為a的正方體中，(1)求證：；(2)求證：平面．6．如圖，在矩形中，，將矩形沿對角線把折起，使A移到處，且點在平面上的射影O恰好在上．(1)求證：；(2)求證：平面平面．7．如圖，在正方體中，是正方體的體對角線.(1)求證：平面平面；(2)求證：平面.8．如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點．(1)求證：平面平面；(2)若平面，求證：為的中點．9．如圖，在邊長是2的正方體中，E、F分別為AB、的中點．求證：(1)平面；(2)平面．10．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC=l.求證:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．11．如圖，在四棱錐中，面，在四邊形中，，點在上，.求證：(1)CM面；(2)面面.12．如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F．(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于點G，求證：AG⊥PD．13．如圖，在四棱錐中，底面A