高一（上）期末測試卷（A卷基礎鞏固）-2021年秋季高一數(shù)學上學期講義（人教A版）

高一（上）期末測試卷（A卷基礎鞏固）高一數(shù)學考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共12小題，每個小題5分，共60分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2019·四川·棠湖中學高一期末）已知集合，集合，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，結(jié)合各選項知B正確．選B．2．（2021·江蘇·高一課時練習）若，且，則是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】，則的終邊在三、四象限；則的終邊在三、一象限，，，同時滿足，則的終邊在三象限．3．（2021·天津三中高一期中）下列函數(shù)中與相等的函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若兩個函數(shù)是相等函數(shù)，則兩個函數(shù)的定義域相等，對應關系相同，依次判斷選項.【詳解】的定義域為，A.的定義域為，所以不是同一函數(shù)；B.的定義域是，并且，對應關系也相同，所以是同一函數(shù)；C.的定義域為，但，對應關系不相同，所以不是同一函數(shù)；D.的定義域為，定義域不相同，所以不是同一函數(shù).故選：B4．（2021·廣東潮陽·高一期末）設，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)，結(jié)合指數(shù)，對數(shù)運算計算即可得答案.【詳解】解：由于,所以.故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)運算，指數(shù)運算，分段函數(shù)求函數(shù)值，考查運算能力，是基礎題.5．（2019·四川·棠湖中學高一期末）函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則、的值分別是（）A．4， B．2， C．4， D．2，【答案】D【分析】利用正弦函數(shù)的周期性可得，進而求得，再利用時取得最大值可求得值.【詳解】由圖觀察可知，函數(shù)的周期滿足，由此可得，解得，函數(shù)表達式為.又∵當時,取得最大值2，∴，可得，∵，∴取，得.故選：D.【點睛】本題考查由的部分圖象確定函數(shù)解析式，考查正弦函數(shù)的周期性和最值，屬于基礎題.6．（2021·黑龍江大慶·高一階段練習）已知，則A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知及誘導公式即可計算求值．【詳解】，，故選C.【點睛】本題主要考查了誘導公式在三角函數(shù)求值中的應用，屬于基礎題．7．（2020·四川·射洪中學高一期末（理））給出下列命題，其中正確的命題的個數(shù)（）①函數(shù)圖象恒在軸的下方；②將的圖像經(jīng)過先關于軸對稱，再向右平移1個單位的變化后為的圖像；③若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是；④函數(shù)的圖像關于對稱的函數(shù)解析式為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】對于①根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求得最值即可判斷;對于②根據(jù)函數(shù)圖像的翻折、平移變化即可判斷;對于③根據(jù)對數(shù)函數(shù)值域為R時,判別式滿足的條件,即可求得的取值范圍;對于④根據(jù)關于對稱的函數(shù)互為反函數(shù),求得反函數(shù)即可判斷.【詳解】對于①函數(shù),由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法可知,函數(shù)在時單調(diào)遞增,在時單調(diào)遞減.即在處取得最大值.所以,所以函數(shù)圖像恒在軸的下方,所以①正確;對于②的圖像經(jīng)過先關于軸對稱,可得;再向右平移1個單位可得,所以②正確;對于③函數(shù)的值域為,則滿足能取到所有的正數(shù).即滿足,解不等式可得或,所以③錯誤.對于④函數(shù)的圖像關于對稱的函數(shù)為的反函數(shù),根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)可知,其反函數(shù)為,所以④正確.綜上可知,正確的有①②④故選:C【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)圖像的平移變換和反函數(shù)的概念,綜合性強,屬于中檔題.8．（2020·四川·射洪中學高一期末（文））冪函數(shù)y＝xa，當a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設點A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（）A．0 B．1 C． D．2【答案】A【分析】由題意得，代入函數(shù)解析式，進而利用指對互化即可得解.【詳解】BM＝MN＝NA，點A(1，0)，B(0，1)，所以，將兩點坐標分別代入y＝xa，y＝xb，得所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的圖像及對數(shù)的運算，涉及換底公式，屬于基礎題.9．（2021·四川郫都·高一期末）將函數(shù)，的圖象向左平移個單位后所得圖象關于軸對稱，則函數(shù)的一個對稱中心為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【詳解】將函數(shù)，的圖象，向左平移個單位后，得到的圖象，所得圖象關于軸對稱，，，，函數(shù)．令，，求得，則函數(shù)的對稱中心為，，只有B符合.故選：B．10．（2021·四川郫都·高一期末）已知奇函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和對稱性可得是周期為4的周期函數(shù)，則有，結(jié)合函數(shù)的解析式計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，奇函數(shù)的圖象關于直線對稱，即，即，則，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，，當時，，則，則，故選：．11．（2021·四川郫都·高一期末）若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可判斷，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的單調(diào)性和最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】解：由于，，可得，，當時，則，在不恒成立；故，由在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可得在單調(diào)遞增，則的最大值為，由題意可得，即有，解得，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)恒成立問題解法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想和運算能力、推理能力．12．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若關于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，然后利用換元法將關于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的實數(shù)根，且，，或，，，然后再利用二次方程根的分布列出不等式組，求解即可得到答案．【詳解】解：因為函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖所示，因為關于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，所以令，根據(jù)圖象可得，有兩個不同的實數(shù)根，且，，，或，，當，時，即，所以，所以，解得或，不符題意；當，時，則，解得，則，解得或，符合題意；當，時，記，則有，解得，綜上實數(shù)的取值范圍為．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關系，涉及了函數(shù)圖象的作法、二次方程根的分布、方程的根與函數(shù)圖象之間關系的應用，解題的關鍵是利用換元法將原方程進行轉(zhuǎn)化，解決方程根的個數(shù)問題或是函數(shù)零點個數(shù)問題一般會選用數(shù)形結(jié)合的方法．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．（2021·廣東·深圳技術大學附屬中學高一期中）冪函數(shù)的圖象過點，則___________.【答案】9【分析】根據(jù)冪函數(shù)的一般解析式，因為其過點，求出冪函數(shù)的解析式，從而求出.【詳解】冪函數(shù)的圖象過點，，解得，，.故答案為：914．（2021·黑龍江·哈師大附中高一期中）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是______小時.【答案】24【詳解】由題意得：，所以時，.考點：函數(shù)及其應用.15．（2021·全國·高一專題練習）燕子每年秋天都要從北方到南方過冬，鳥類科學家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度與耗氧量之間滿足函數(shù)關系.若兩歲燕子耗氧量達倒個單位時，其飛行速度為，則兩歲燕子飛行速度為時，耗氧量達到__________單位．【答案】320【詳解】因為，因此16．（2019·四川·棠湖中學高一期末）關于函數(shù)有以下四個命題：①對于任意的，都有；②函數(shù)是偶函數(shù)；③若為一個非零有理數(shù)，則對任意恒成立；④在圖象上存在三個點，，，使得為等邊三角形．其中正確命題的序號是__________．【答案】①②③④【分析】①根據(jù)函數(shù)的對應法則，可得不論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））＝1；②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)可判斷；④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三點恰好構(gòu)成等邊三角形，即可判斷．【詳解】①∵當x為有理數(shù)時，f（x）＝1；當x為無理數(shù)時，f（x）＝0，∴當x為有理數(shù)時，f（f（x））＝f（1）＝1；當x為無理數(shù)時，f（f（x））＝f（0）＝1，即不論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））＝1，故①正確；②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，∴對任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，故②正確；③由于非零有理數(shù)T，若x是有理數(shù)，則x+T是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x+T是無理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）＝f（x）對x∈R恒成立，故③正確；④取x1，x2＝0，x3，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．故答案為①②③④．【點睛】本題給出特殊函數(shù)表達式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2019·四川·棠湖中學高一期末）（1）計算（2）已知，求的值．【答案】（1）4；(2)1.【分析】（1）利用指數(shù)和對數(shù)運算公式，可求得值為.（2）已知條件可化為，要求解的式子上下同時除以，可轉(zhuǎn)化為只有的式子，由此求得值為.【詳解】（1）原式；（2）解法一：，，=；解法二：，=.18．（2019·四川·棠湖中學高一期末）已知函數(shù)，對于任意的，都有,當時，，且.(I)求的值；(II)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；(III)設函數(shù)，判斷函數(shù)g(x)最多有幾個零點，并求出此時實數(shù)m的取值范圍.【答案】（I）；（II）；（III）當時，函數(shù)最多有個零點.【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件，取特殊值求解；（Ⅱ）根據(jù)定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最值；（Ⅲ）根據(jù)定義，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根據(jù)單調(diào)性可得x2﹣2|x|﹣m＝0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知最多有4個零點，且m∈（﹣1，0）．【詳解】（I）令得，得.令得，令得(II)任取且，則，因為，即，令則.由已知時，且，則，所以，，所以函數(shù)在R上是減函數(shù)，故在單調(diào)遞減.所以，又，由，得，，故.(III)令代入，得，所以，故為奇函數(shù).∴==，令,即，因為函數(shù)在R上是減函數(shù)，所以，即，所以當時，函數(shù)最多有4個零點.【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，關鍵是利用函數(shù)的性質(zhì)及賦值法解決問題，屬于難題．19．（2020·四川·射洪中學高一期末（理））已知函數(shù)．（1）求的最大值及取得最大值時的值；（2）若方程在(0，π)上的解為，，求的值．【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1；（2）cos(x1－x2)＝．【分析】（1）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得．（2）求出函數(shù)圖象的對稱軸，利用方程在上的解，與對稱軸的關系，即可得出．【詳解】解：（1）．當，即時，函數(shù)取最大值，且最大值為1．（2）因為，令，解得即函數(shù)圖象的對稱軸為，當時，對稱軸為．又方程在上的解為，．，則，，又，故．20．（2021·四川郫都·高一期末）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；（2）求不等式的解集.【答案】（1）為偶函數(shù)，證明見解析；（2）【分析】（1）先判斷為偶函數(shù)，用定義法證明；（2）把不等式轉(zhuǎn)化為或，直接求出解集.【詳解】（1）為偶函數(shù)，下面進行證明：對于函數(shù)，當時，，此時，∴成立；當時，，此時，∴成立；當，，滿足綜上：對任意x，都有，故為偶函數(shù).（2）不等式可化為或，解得：或，即，∴原不等式的解集為.【點睛】對函數(shù)奇偶性的判斷可以用定義法、圖像法、四則運算法等，而奇偶性的證明只能用定義：或.21．（2021·四川郫都·高一期末）已知某工廠生產(chǎn)機器設備的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)1臺還需另投入20萬元.設該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該機器設備臺并全部銷售完，每臺機器設備銷售的收入為萬元，且.（1）求年利潤(萬元)關于年產(chǎn)量(臺)的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少臺時，該工廠生產(chǎn)所獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.【答案】（1）；（2）當年產(chǎn)量為49臺時，獲得的年利潤最大，最大為1780萬元．【分析】（1）由分段寫出函數(shù)解析式；（2）分類利用函數(shù)的單調(diào)性及換元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得結(jié)論．【詳解】解：（1）當時，；當時，．