專題03三角函數(shù)真題專項訓練（全國競賽強基計劃專用）

【高中數(shù)學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題03三角函數(shù)真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2021·北京·高三強基計劃）已知O為的外心，與的外接圓分別交于點D，E．若，則（

）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】B【分析】利用圓周角和圓心角的關(guān)系可求的大小.【詳解】如圖，連結(jié)．由于，于是弧分別與弧、弧相等，進而可得弧與弧相等、弧與弧相等，進而，從而，因此是外接圓的直徑，進而．2．（2020·北京·高三強基計劃）設(shè)等邊的邊長為1，過點C作以為直徑的圓的切線交的延長線于點D，，則的面積為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】C【分析】利用射影定理可求，故可求的面積.【詳解】如圖，設(shè)題中圓的圓心為O，與圓O切于點T，連結(jié)，則，于是，從而．故選：C.3．（2020·北京·高三強基計劃）函數(shù)的最大值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】D【分析】利用基本不等式可求代數(shù)式的最大值.【詳解】題中代數(shù)式為，等號當時可以取得，因此所求最大值為．故選：D.4．（2020·北京·高三校考強基計劃）使得成立的最小正整數(shù)n的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先證明成立，再結(jié)合的單調(diào)性可估算的取值范圍，從而可得最小正整數(shù)n的值.【詳解】根據(jù)題意，有，記，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)．設(shè)，則：，當時，有，故，故為上的增函數(shù)，故.接下來利用當時，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性估計．，有，因此使得不等式成立的最小正整數(shù)n的值為5．故選：C.5．（2020·北京·高三校考強基計劃）在中，．點P滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得P為的費馬點，如圖，以為邊作等邊三角形，可證，故可判斷各項的正誤.【詳解】根據(jù)題意，方向上的單位向量之和為零向量，因此，進而P為的費馬點．如圖，以為邊作等邊三角形，則，故四點共圓，故，故，故，同理，，因此所有選項均正確．故選：ABCD.6．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┰O(shè)為銳角，且，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值.【詳解】解法一：由得，所以．因為均為銳角，所以，當且僅當時取等號，所以的最大值是．解法二:

由得:，于是，等號當時取得，因此的最大值為．7．（2020·北京·高三校考強基計劃）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用裂項相消法可求數(shù)列的和，再根據(jù)基本極限可求題設(shè)中數(shù)列的極限.【詳解】根據(jù)題意，有，于是．故選：A.8．（2020·北京·高三校考強基計劃）（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)的乘法可求3個角的和的正弦值.【詳解】分別是復數(shù)的輻角，于是題中代數(shù)式為復數(shù)的輻角的正弦值，為1．故選：A.二、多選題9．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┰O(shè)的三邊長a，b，c都是整數(shù)，面積是有理數(shù)，則a的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【分析】由特例可得a的值可以取3，4，再利用整數(shù)的性質(zhì)可判斷a的值不可能為1，2，故可得正確的選項.【詳解】取三邊為3，4，5的三角形，其面積為6，此時a的值可以取3，4．當時，有，此時的面積為，注意到，不為完全平方數(shù)，因此的面積不可能是有理數(shù)．當時，不妨設(shè)，有或．情形一

若，則的面積為．若，其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，則，于是為完全平方數(shù)，而正整數(shù)的完全平方數(shù)的最小間隔為，因此該情形不成立．情形二

若，則，于是面積為有理數(shù)，等價于為有理數(shù)，即為完全平方數(shù)，注意到，因此的面積不可能是有理數(shù)．綜上所述，a的值不可能為1，2，可能為3，4．故選：CD.10．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競賽）如圖，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復上述操作（其中），得到四個小正方形，記它們的面積分別為，則以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【詳解】設(shè)，最大正方形的邊長為1，小正方形的邊長分別為．∵，，，，，所以C正確；，所以，所以B正確，故選：BC.11．（2020·湖北武漢·高三統(tǒng)考強基計劃）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為.若，則（

）A．B．C．的面積最大值為D．的周長最大值為【答案】AC【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式以及基本不等式化簡即可。【詳解】由化簡得：因為所以故A正確又由當且僅當時取等號三角形的周長由余弦定理得因為（當且僅當時取等號）所以，，排除D故選:AC三、填空題12．（2021·北京·高三強基計劃）在銳角中，的最小值是_________．【答案】【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【詳解】記題中代數(shù)式為M，我們熟知三角形中的三角恒等式：，于是，等號當時取得，因此所求最小值為故答案為：13．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）設(shè)，則函數(shù)的最大值為___________.【答案】【詳解】，令，所以，，則時，；時，，所以在上增，上減，，故答案為：.14．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）在中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知，則的值為___________.【答案】1【詳解】由正弦定理邊化角：，，，得，由，得，故答案為：1.15．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）函數(shù)的值域為___________.【答案】【詳解】令，由得，則，，所以.故答案為：.16．（2021·全國·高三競賽）設(shè)，且，則實數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解析：.令，則，且，于是，顯然m是上的減函數(shù)，所以，即.故答案為：.17．（2020·浙江·高三競賽）已知，則的最大值為___________.【答案】.【詳解】，同理，故，而，因為，故.當且僅當時，各等號成立，故答案為：.18．（2021·全國·高三競賽）函數(shù)的最小正周期為____________．【答案】【詳解】解析：當時，，當時，，其中且，畫出圖象可得函數(shù)周期為．故答案為：.19．（2021·全國·高三競賽）已知滿足，則的最小值是_______．【答案】16【詳解】解析：．令，則．當時，，所以，故．故答案為：1620．（2021·全國·高三競賽）在中，，則的值為__________．【答案】7【詳解】解析：記中A、B、C所對的邊分別是a、b、c，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，，，故，故，即，故答案為：721．（2021·浙江·高三競賽）若，則函數(shù)的最小值為______.【答案】【詳解】令，,當且僅當即時取等號.故答案為：.22．（2022·福建·高二統(tǒng)考競賽）已知，，，且，則的最大值為___________.【答案】【詳解】由，，，知，，又，，，所以，，所以，當且僅當時等號成立，設(shè)，則，因此，；時，，所以在上遞增，在上遞減，所以時，取最大值，因此，當，時等號成立，所以的最大值為，故答案為：.23．（2022·浙江·高二競賽）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則角A的取值范圍是______.【答案】【詳解】由余弦定理可得，，且，，，設(shè)，則，，，則，，，.24．（2022·北京·高三?？紡娀媱潱┰谥校?，其外接圓半徑，且，則___________.【答案】1【分析】利用正弦定理的邊角互化結(jié)合三角恒等變換即可求解【詳解】因為，所以因為，所以,進而有，于是因為，所以.故答案為：125．（2022·北京·高三?？紡娀媱潱┰谔菪沃校谶吷?，有，則取值范圍為___________.【答案】【分析】由，可得四點共圓，于是得，即可得答案.【詳解】解：如圖所示：，所以四點共圓，因為是所對的圓周角，所以，于是，又因為,所以,在中，,即,所以,即有,所以.故答案為：.26．（2022·北京·高三校考強基計劃）若三邊長為等差數(shù)列，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】通過余弦定理以及等差數(shù)列的性質(zhì)，將目標式轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的關(guān)系是，通過公差的范圍得出結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)三邊長為，其中.此時：故答案為：.27．（2021·全國·高三競賽）在中，，則的最大值為_______________．【答案】【詳解】令，則，即．因為，所以，整理得，，化簡得，于是，得，所以的最大值為．故答案為：.四、解答題28．（2021·全國·高三競賽）求證：對任意的，都有．【答案】證明見解析.【詳解】由于，只需證：．設(shè)，注意到：，即，又由于、、均大于0，則，從而．所以，所以對