黃金卷03-2021高考數(shù)學全真模擬卷（新高考專用）

【贏在高考?黃金20卷】備戰(zhàn)2021高考數(shù)學全真模擬卷（新高考專用）第三模擬注意事項：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．（2020·全國高三月考（理））若，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】依題意，，則，故選：C2．（2020·昆明市官渡區(qū)第一中學高一期中）已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（）A．－3 B．1C．－1 D．3【答案】A【詳解】由題意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.故選：A.3．（2020·廣東廣州市·高三月考）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙?丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（）A．8種 B．12種 C．20種 D．24種【答案】C【詳解】當甲排在第一位時，共有種發(fā)言順序，當甲排在第二位時，共有種發(fā)言順序，所以一共有種不同的發(fā)言順序.故選：C.4．（2020·吉林市第二中學高三期中（文））已知角的終邊經(jīng)過點，則=（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】角的終邊經(jīng)過點，則所以所以故選：D5．（2020·甘肅省民樂縣第一中學高一期中）若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，且，所以即，因為，所以，解得.故選：B.6．（2020·河南鄭州·高三月考（文））已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域為，且，∴為偶函數(shù)，當時，，由和在上單調(diào)遞增．所以在上單調(diào)遞增．由可得，即，所以，解得：或又因為，解得不等式的解集為：故選：C7．（2020·浙江溫州·高二期中）在中，，，，為邊上的高，為的中點，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】∵，，，∴，∴，又是中點，∴，而，∴，∴．故選：A．8．（2020·陜西咸陽市實驗中學高二月考（文））已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前n項和為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，∵，，∴，∴，∴，則，∴數(shù)列的前項和為；故選：B.多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．（2020·河南高三月考）在長方體中，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．平面平面C．三棱錐的體積為8D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】AC【詳解】對于A，因為，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，由，則為正方形，則在正方體中,且,所以平面，又平面，則平面平面假設平面平面成立，則平面平面，與平面與平面相交矛盾，即假設不成立,所以平面平面不成立，故B不正確.對于C，三棱錐的體積即為三棱錐的體積，故正確；對于D，作，垂足為，因為平面平面，所以平面，連接，則為與平面所成的角，，，直線與平面所成角的正弦值為，故D錯誤.故選：AC.10．（2020·福建高二期中）某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對應數(shù)據(jù)如表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為，下列說法正確的是（）234561925★3844A．看不清的數(shù)據(jù)★的值為34B．回歸直線必經(jīng)過樣本點(4，★)C．回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗實際增加6.3噸D．據(jù)此模型預測產(chǎn)量為7噸時，相應的生產(chǎn)能耗為50.9噸【答案】AD【詳解】A．因為，所以，所以★，故正確；B．因為，所以必經(jīng)過，不經(jīng)過，故錯誤；C．回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯誤；D．當時，，故正確，故選：AD.11．（2020·河南高三月考）已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為2 B．當均不為1時，C． D．【答案】ABD【詳解】因為，當且僅當時，等號成立，故A正確；因為，所以，當，均不為1時，，故B正確；因為，所以，由A知，的最小值為2，所以，故C不正確；，當且僅當時等號成立，故D正確；故選：ABD12．（2020·重慶西南大學附中高二期中）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且的面積為.雙曲線和橢圓焦點相同，且雙曲線的離心率為，是橢圓與雙曲線的一個公共點，若，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】解：設雙曲線的標準方程為，半焦距為，因為橢圓的上頂點為，且的面積為。所以，解得，所以，所以，不妨設點在第一象限，設，則，所以，在中，由余弦定理可得，所以，即，兩邊同除以，得，解得，所以，，，，故選：AC填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．（2020·淮安市陽光學校高一月考）若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為________________________【答案】【詳解】全稱命題是真命題，即在R上恒成立，則判別式，解得或，故答案為：.14．（2020·浙江高一期末）已知，則的最小值是_________．【答案】【詳解】由，得，則，當且僅當時等號成立，此時或；則的最小值是.故答案為：.15．（2020·全國高三專題練習）已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為______．【答案】【詳解】由題意可得，即，解得，又因為在上單調(diào)，所以，即，因為要求的最大值，令，因為是的對稱軸，所以，又，解得，所以此時，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在不單調(diào)，同理，令，，在上單調(diào)遞減，因為，所以在單調(diào)遞減，滿足題意，所以的最大值為5.16．（2020·浙江臺州一中高三期中）有五個球編號分別為號，有五個盒子編號分別也為號，現(xiàn)將這五個球放入這五個盒子中，每個盒子放一個球，則恰有四個盒子的編號與球的編號不同的放法種數(shù)為_____（用數(shù)字作答），記為盒子與球的編號相同的個數(shù)，則隨機變量的數(shù)學期望____.【答案】1【詳解】恰有四個盒子的編號與球的編號不同，就是恰由1個編號相同，先選出1個小球，放到對應序號的盒子里，有種情況，不妨設5號球放在5號盒子里，其余四個球的放法為，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9種，故恰好有一個球的編號與盒子的編號相同的投放方法總數(shù)為種；若恰由2個編號相同，先在五個球中任選兩個球投放到與球編號相同的盒子內(nèi)有種，剩下的三個球，不妨設編號為3，4，5，投放3號球的方法數(shù)為，則投放4，5號球的方法只有一種，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種；若恰由3個編號相同，先在五個盒子中確定3個，使其編號與球的編號相同，有種情況，剩下有2個盒子放2個球；其編號與球的編號不同，只有1種情況；由分步計數(shù)原理可知共有種，若恰由5個編號相同（不可能恰有4個相同），有1種方法；因為這五個球放入這五個盒子中，每個盒子放一個球共有種方法，所以0個編號相同的方法為種，綜上，可取的值為0,1,2,3,5，，，，故答案為：45,1.四、解答題(本大題共6小題，共70分)17．（2020·全國高三月考）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并進行求解.問題：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，點，是邊上的兩個三等分點，，______；（1）求的長.（2）求外接圓半徑.【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】（1）解：若選擇條件①因為，所以，設，所以；又，，所以在中，，即，即：，所以或4（舍去）.在中，，所以，若選擇條件②因為點，是邊上的三等分點，且，所以，因為，所以，所以，所以.在中，，所以，若選擇條件③設，則，在中，，同樣在中，，因為，所以，所以，在中，，所以，（2），所以，由正弦定理可得：，所以外接圓半徑為.18．（2020·安徽省潛山第二中學高一期中）現(xiàn)某廠商抓住商機在去年用450萬元購進一批VR設備，經(jīng)調(diào)試后今年投入使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用22萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該設備使用后，每年的總收入為180萬元，設使用年后設備的盈利額為萬元.（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）使用若干年后，當年平均盈利額達到最大值時，求該廠商的盈利額.【答案】（1）；（2）1500萬元.【詳解】（1）依題可得即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，.（2）由（1）知，當年的平均盈利額為：，當且僅當時，即時等號成立.所以使用15年后平均盈利額達到最大值，該廠商盈利額為1500萬元.19．（2020·全國高二單元測試）某中學的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應關(guān)系，如下表(假設該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300)：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量等級1級優(yōu)2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴重污染該社團將該校區(qū)在2019年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，把該直方圖所得頻率估計為概率.（1）請估算2019年(以365天計算)全年空氣質(zhì)量優(yōu)?良的天數(shù)(未滿一天按一天計算)；（2）該校2019年某三天舉行了一場運動會，若這三天中某天出現(xiàn)5級重度污染，需要凈化空氣費用10000元，出現(xiàn)6級嚴重污染，需要凈化空氣費用20000元，記這三天凈化空氣總費用為元，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可估算2019年(以365天計算)全年空氣質(zhì)量優(yōu)?良的天數(shù)為.（2）由題意知，的所有可能取值為0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，由頻率分布直方圖知空氣質(zhì)量指數(shù)為的概率為，空氣質(zhì)量指數(shù)為的概率為，空氣質(zhì)量指數(shù)為的概率為，則，，，，，，.所以的分布列為010000200003000040000500006000020．（2020·重慶市楊家坪中學高二期中）如圖，平面，，點M為BQ的中點.（1）求二面角的正弦值；（2）若為線段上的點，且直線與平面所成的角為，求線段的長.【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）平面，，以為坐標原點，，，的方向為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得：，，，，，，，設平面和平面的法向量分別為，，則，即，令，即，，即，令，即，，，二面角的正弦值為；（2）設，，即，則，，由（1）知：平面的法向量為，由題意知：，即，整理得：，解得：，或，又，，，，即線段的長為.21．（2020·河南鄭州·高三其他模擬（理））已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）由函數(shù)的定義域是，則．當時，，此時在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．當且時，即時，對任意恒成立，即對任意恒成立，且不恒為0．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當且時，即時，方程的兩根依次為，，此時在區(qū)間，上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，方程的兩根依次為，，此時在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：當時，，則．當時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增．因為，，所以存在使得，即，即．故當時，，此時；當時，，此時．即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，，所以．故．22．（2020·邵東市第一中學高三月考）在直角坐標系中，橢圓:的離心率為，左、右焦點分別是，，為橢圓上任意一點，的最小值為8.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓:，為橢圓上一點，過點的直線交橢圓于，兩點，且為線段的中點，過，兩點的直線交橢圓于，兩點.當在橢圓上移動時，四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，定值為4.【詳解】（1），.是橢圓任意一點，∴，當時取等號，的最小值為，，，橢圓的方程為.（2）∵為橢圓上一點，橢圓的方程為，當，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設，E,F為橢圓的短軸的端點,直線AB的方程為,與橢圓的方