《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 第六章 方差分析

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)國(guó)家“十二五”規(guī)劃教材山東省優(yōu)秀教材一等獎(jiǎng)2第六章方差分析實(shí)驗(yàn)6.1

單因素方差分析實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一、方差分析概述二、單因素方差分析4實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析方差分析(AnalysisOfVariance)是分析各類別自變量對(duì)數(shù)值因變量影響的一種統(tǒng)計(jì)方法.

方差分析是20世紀(jì)20年代由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)雪（RonaldAylmerFisher）首先提出的，最初主要應(yīng)用于生物和農(nóng)業(yè)田間試驗(yàn)，以后推廣到多個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用.

它是對(duì)多個(gè)方差相等的正態(tài)分布總體的均值是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出各個(gè)分布的均值是否有顯著性差異.這樣不但可以減少工作量，而且可以增加檢驗(yàn)的穩(wěn)定性.一、方差分析概述5實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析例1某公司采用四種方式推銷其產(chǎn)品，為檢驗(yàn)不同方式推銷產(chǎn)品的效果，隨機(jī)抽樣如下（見(jiàn)表6.1）.試分析銷售方式對(duì)銷售量是否有顯著影響(α=0.05).

序號(hào)銷售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279總均值81.56實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析1．方差分析中的常用術(shù)語(yǔ)

因素（Factor）是指影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件、原因等.在例1中銷售方式即是因素.試驗(yàn)指標(biāo)是指試驗(yàn)中所要考察的指標(biāo).在例1中產(chǎn)品的銷售量就是試驗(yàn)指標(biāo).水平（Level）指因素的具體表現(xiàn).如銷售的四種方式就是四個(gè)水平.有時(shí)水平是人為劃分的，比如質(zhì)量被評(píng)定為好、中、差.如果方差分析只針對(duì)一個(gè)因素進(jìn)行，稱為單因素方差分析.如果同時(shí)針對(duì)多個(gè)因素進(jìn)行，稱為多因素方差分析.

如果一個(gè)單因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)中任一因素各水平的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相同，則稱該試驗(yàn)是為均衡（Balance），否則，就被稱為不均衡.7實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析2．方差分析任務(wù)方差分析中的基本假定：各水平的數(shù)據(jù)來(lái)至相互獨(dú)立且方差相等的各個(gè)正態(tài)分布的簡(jiǎn)單樣本；

在實(shí)際應(yīng)用中能夠嚴(yán)格滿足這些假定條件的客觀現(xiàn)象是很少的，在社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中更是如此.但一般應(yīng)近似地符合上述要求.否則會(huì)影響到判斷結(jié)果.方差分析的任務(wù)是推斷出對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響顯著的因素.其方法是通過(guò)檢驗(yàn)因素下不同水平的均值是否相等，從而推斷出該因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著.8實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析二、單因素方差分析1．單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素A有r個(gè)水平A1，A2，…，Ar，在水平Ai下的總體在水平Ai下進(jìn)行ni次試驗(yàn)，i=1,2,…,r；假定所有試驗(yàn)都是相互獨(dú)立.水平樣本觀測(cè)值平均值9實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析1．單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型因此，要檢驗(yàn)的是

備擇假設(shè)

原假設(shè)目的：根據(jù)這組樣本觀測(cè)值來(lái)檢驗(yàn)因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著.如果因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著，則所有樣本就可以看作是來(lái)自同一個(gè)總體水平樣本觀測(cè)值平均值10實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析2．構(gòu)造檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量設(shè)第i

組樣本均值為即總的樣本均值考察全體樣本對(duì)總體樣本均值的偏差的平方和，稱為總偏差平方和記為即11實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析12實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析

它反映了在每個(gè)水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為組間(偏差)平方和，也稱為因素A的偏差平方和

它表示各水平下樣本值與該水平下的樣本均值之間的差異的總和，它是由隨機(jī)誤差引起的，稱為誤差(偏差)平方和，也稱為組內(nèi)(偏差)平方和.13實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析就各組樣本而言如果H0正確,所有樣本xij來(lái)自同一個(gè)正態(tài)分布,且相互獨(dú)立.14實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析方差來(lái)源平方和自由度

值臨界值顯著性組間誤差總計(jì)(3)當(dāng)時(shí)，我們認(rèn)為影響特別顯著，用記號(hào)“**”表示.(2)當(dāng)時(shí)，我們認(rèn)為影響顯著，用記號(hào)

“*”表示；(1)當(dāng)時(shí)，我們認(rèn)為影響不顯著；如果H0正確,所有樣本xij來(lái)自同一個(gè)正態(tài)分布,且相互獨(dú)立.15實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析例1某公司采用四種方式推銷其產(chǎn)品，為檢驗(yàn)不同方式推銷產(chǎn)品的效果，隨機(jī)抽樣如下（見(jiàn)表6.1）.試分析銷售方式對(duì)銷售量是否有顯著影響(α=0.05).

序號(hào)銷售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279總均值81.516變差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性列間(因素)列內(nèi)(誤差)6854983167.34**總計(jì)118319實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析由于故應(yīng)拒絕原假設(shè)，不同推銷方式銷量有特別顯著差異，因此銷售方式對(duì)銷售量有特別顯著影響.17實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析3．單因素方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中單因素方差分析的命令是:anova是analysisofvariance(方差分析)的縮寫(xiě)，數(shù)字1表示單因素分析.

x是n*p數(shù)據(jù)矩陣，g是用于標(biāo)識(shí)不同水平的數(shù)據(jù)的向量,均衡試驗(yàn)可以缺省;輸出結(jié)果中，p是大于統(tǒng)計(jì)量F的觀測(cè)值的概率，當(dāng)p<α?xí)r，拒絕H0,

否則不能拒絕.[p,t,s]=anova1(x，g)t是方差分析表的文本數(shù)據(jù),s是進(jìn)行多重比較的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù).拒絕原假設(shè)后需要進(jìn)行多重比較，以判斷各水平之間差異的顯著性.c=multcompare(s)其中輸入變量s是anova1的輸出結(jié)果s;輸出結(jié)果c是兩兩顯著性差異的比較.18實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析如再解例1的程序：ｘ=[7786818883959278968971766881748084797082]'↙[p,t,s]=anova1(x);↙結(jié)果為：

由于p=0.0026<0.01，故應(yīng)拒絕原假設(shè)，推銷方式對(duì)銷售量有特別顯著影響.19實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析從箱體圖可知水平二的銷售量最大.但是它們之間的這種差異是顯著的嗎?通過(guò)多重比較才可以知道.在命令窗口接著輸入:c=multcompare(s)↙結(jié)果如下：c=1.00002.0000-17.0950-7.00003.09500.23471.00003.0000-1.09509.000019.09500.08941.00004.0000-6.09504.000014.09500.67492.00003.00005.905016.000026.09500.00172.00004.00000.905011.000021.09500.03043.00004.0000-15.0950-5.00005.09500.5073矩陣c中前兩列是對(duì)比的因素水平號(hào),第三列和第五列是差異的置信區(qū)間,第四列是區(qū)間中值.第六列是相應(yīng)的兩個(gè)水平均值檢驗(yàn)時(shí)所得p值.p<0.05時(shí)差異顯著.通過(guò)觀察p值可知銷售方式二和三,銷售方式二和四差異是顯著的.20也可以通過(guò)點(diǎn)擊交互圖，利用上面的提示來(lái)判斷結(jié)果.綜合判斷可知銷售方式二的銷售量顯著地不同于銷售方式三和四的.21實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析

例2

用四種不同的的工藝生產(chǎn)電燈泡，從各種工藝生產(chǎn)的電燈泡中分別抽取樣品，并測(cè)的樣品的使用壽命（單位：h）工藝A1A2A3A4樣本觀測(cè)值1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680平均值1708163515401585檢驗(yàn)這四種不同的工藝生產(chǎn)電燈泡的使用壽命是否有顯著的差異（顯著性水平0.05）.解其程序?yàn)閤=[1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680];g=[1111122223334444];anova1(x,g)↙22實(shí)驗(yàn)6.1單因素方差分析輸出結(jié)果為：ans=0.0331

因?yàn)?.01<p=0.0331<0.05,所以幾種工藝制成的燈泡壽命有顯著的差異.進(jìn)一步進(jìn)行多重比較可知，A1工藝生產(chǎn)的燈泡的壽命最長(zhǎng).多重比較此處省略.23最后，說(shuō)明一下關(guān)于水平數(shù)據(jù)正態(tài)性和方差相等的檢驗(yàn)方法.

正態(tài)性檢驗(yàn)方法:h=lillietest(x),當(dāng)h=1時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果為數(shù)據(jù)x不服從正態(tài)分布;h=0時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)x服從正態(tài)分布.正態(tài)分布方差相等的檢驗(yàn)方法:p=vartestn(X),當(dāng)p>0.05,說(shuō)明X各列數(shù)據(jù)的方差相等.應(yīng)用方差分析前，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)是必要的.文中為了重點(diǎn)說(shuō)明方差分析的用法，把這些假設(shè)條件的檢驗(yàn)都省略了.24第六章方差分析實(shí)驗(yàn)6.1

單因素方差分析實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)25實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一、無(wú)交互作用的雙因素方差分析二、有交互作用的雙因素方差分析26實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析一、無(wú)交互作用的雙因素方差分析

在現(xiàn)實(shí)中，常常會(huì)遇到兩個(gè)因素同時(shí)影響結(jié)果的情況.這就需要檢驗(yàn)究竟一個(gè)因素起作用，還是兩個(gè)因素都起作用，或者兩個(gè)因素的影響都不顯著.雙因素方差分析有兩種類型：

一種是無(wú)交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的效應(yīng)之間是相互獨(dú)立的，不存在相互關(guān)系；

另一種是有交互作用的方差分析，它假定A、B兩個(gè)因素不是獨(dú)立的，而是相互起作用的，兩個(gè)因素同時(shí)起作用的結(jié)果不是兩個(gè)因素分別作用的簡(jiǎn)單相加，兩者的結(jié)合會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的效應(yīng).27實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析設(shè)因素取個(gè)水平，因素取個(gè)水平在水平組合下的總體若每一因素組合僅做一次試驗(yàn)，則稱雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)，記組合下的樣本觀測(cè)值為，結(jié)果如下：

因素因素

試驗(yàn)的任務(wù)就是要根據(jù)這些樣本觀測(cè)值來(lái)檢驗(yàn)因素A或B對(duì)結(jié)果的影響是否顯著.

28實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析原假設(shè)是：因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著影響；關(guān)于因素A的檢驗(yàn)：備選假設(shè)是：因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；關(guān)于因素B的檢驗(yàn)：原假設(shè)是：因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著影響；備選假設(shè)是：因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；29實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析設(shè)第i行樣本均值為設(shè)第j列樣本均值為總的樣本均值考察全體樣本對(duì)總體樣本均值的偏差的平方和，總偏差平方和方差分析30實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析因素A的偏差平方和因素B的偏差平方和誤差平方和31實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析如果原假設(shè)成立，則所有個(gè)樣本可以看作是來(lái)自同一總體進(jìn)一步可知：32實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析方差來(lái)源平方和自由度

值臨界值顯著性因素A因素B誤差總計(jì)方差分析表33則拒絕原假原假設(shè)，反之,則說(shuō)明因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著影響；

即因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；則拒絕原假原假設(shè)，反之,則說(shuō)明因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著影響；

即因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；34實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析在MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中雙因素方差分析的命令是：p=anova2

例3

某公司想知道產(chǎn)品銷售量與銷售方式及銷售地點(diǎn)是否有關(guān)，隨機(jī)抽樣得如表6.10所示資料，以0.05的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn).地點(diǎn)一地點(diǎn)二地點(diǎn)三地點(diǎn)四地點(diǎn)五方式一7786818883方式二9592789689方式三7176688174方式四8084797082解x=[7786818883959278968971766881748084797082];p=anova2(x)↙注：這里省略了適用條件的檢驗(yàn).35實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析結(jié)果為p=0.28810.0032結(jié)論：∵銷售地點(diǎn)對(duì)銷售量的影響不顯著.銷售方式對(duì)銷售量有顯著影響.36實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析二、有交互作用的雙因素方差分析設(shè)因素有個(gè)水平，因素有個(gè)水平，共有個(gè)組合處理，每一處理組合

(;)有個(gè)觀測(cè)值(有重復(fù)觀測(cè))，則全部試驗(yàn)共有個(gè)觀測(cè)值.因?yàn)樗较碌臉颖九c總體服從同一分布，所以

試驗(yàn)的任務(wù)就是要根據(jù)這些樣本觀測(cè)值來(lái)檢驗(yàn)因素A、B及其交互作用對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果的影響是否顯著.

37實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析

因素B因素A數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)38實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析原假設(shè)是：因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著影響；關(guān)于因素A的檢驗(yàn)：備選假設(shè)是：因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；關(guān)于因素B的檢驗(yàn)：原假設(shè)是：因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著影響；備選假設(shè)是：因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；關(guān)于因素AB交互作用的檢驗(yàn)：原假設(shè)是：因素AB交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著影響；備選假設(shè)是：因素AB交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；39實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析第行第列的個(gè)樣本的均值

第行的所有個(gè)的均值為第列的所有個(gè)的均值為總的樣本均值考察全體樣本對(duì)總的樣本均值的偏差平方和(稱為總偏差平方和)方差分析40實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析因素A的偏差平方和因素B的偏差平方和因素A與B的偏差平方和誤差平方和41實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析可以證明42實(shí)驗(yàn)6.2雙因素方差分析方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性因素A因素B交互作用A×B誤差總計(jì)雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析表43則拒絕原假原假設(shè)，反之,則說(shuō)明因素A對(duì)試驗(yàn)指