微積分 第3版 課件 第七章 多元函數(shù)微分學及其應(yīng)用

第七章多元函數(shù)微分學及其應(yīng)用7.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)一元函數(shù)的定義域可用數(shù)軸上的點來表示,這里r,h是兩個獨立取值的變量,例如,圓柱體的體積7.1.1n維空間而二元函數(shù)的定義域需用平面上的點來表示.當r,h取定一對值時,就有確定的V與之對應(yīng).n元有序數(shù)組

n維空間中的每一個元素稱為n維空間中兩點間的距離定義為記作設(shè)n為正整數(shù),的全體稱為n維空間,空間中的一個點.

鄰域:設(shè)P0(x0,y0)是

xOy平面上的一個點,幾何表示：Oxy.

P0令有時簡記為稱為

將鄰域去掉中心,稱為去心鄰域.記為我們先討論平面上的點集.內(nèi)點:顯然,E的內(nèi)點屬于E.邊界點:如點P的任一鄰域內(nèi)則稱P為E的邊界點.設(shè)E為一平面點集,若存在則稱P為E的內(nèi)點.E的邊界點的全體稱為E的邊界.既有屬于E的點,也有不屬于E的點,例如,設(shè)點集則P為E的內(nèi)點;則P為E的邊界點.E的邊界為集合聚點:如果點P的任何空心鄰域都有E中的點,則稱P是E的聚點.開集:若E的任意一點都是內(nèi)點,則稱E為開集.若E由它的內(nèi)點和邊界點構(gòu)成,稱E為閉集.例如,為開集,為閉集,既不是開集也不是閉集.設(shè)D是集合,連通的開集稱區(qū)域或開區(qū)域.如果D內(nèi)任何兩點,都可用折線連且該折線上的點都屬于D,則稱D是連通的.如都是區(qū)域.結(jié)起來,開區(qū)域連同它的邊界一起,稱為閉區(qū)域.有界區(qū)域:否則,稱為無界區(qū)域.都是閉區(qū)域.如總可以被包圍在一個以原點為中心、半徑適當大的圓內(nèi)的區(qū)域,為D的直徑.有界閉區(qū)域的直徑：

設(shè)D是有界閉區(qū)域,稱稱為有界區(qū)域.有關(guān)鄰域、區(qū)域等概念可推廣到

n維空間.都有唯一確定的z與之點集D稱為該函數(shù)稱為該函數(shù)的值域.則稱z是x,y的二元函數(shù).若對于D中設(shè)D是xOy平面上的點集,任意取定一個點P(x,y),對應(yīng),記為稱x,y為自變量,的定義域,數(shù)集z為因變量,二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)定義域定義域為符合實際意義的自變量取值的全體.類似地,

可定義n元函數(shù)實際問題中的函數(shù):自變量取值的全體.純數(shù)學問題的函數(shù):定義域為使運算有意義的例1

求

的定義域．解所求定義域為二元函數(shù)的圖形這個點集稱為二元函數(shù)的圖形.當x、y取遍D上一切點時,得一個空間點集,對應(yīng)的函數(shù)值為取定的這樣,以

x為橫坐標、y為縱坐標、z為豎坐標設(shè)函數(shù)的定義域為D,對于任意在空間就確定一點二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面例如,圖形如右圖.例如,圖形是球面.單值分支:定義域先討論二元函數(shù)

怎樣描述呢?Oxy(1)

P(x,y)趨向于P0(x0,y0)的方向有任意多個,路徑又是多種多樣的.Oxy7.1.2多元函數(shù)的極限注:(2)動點P(x,y)與定點P0(x0,y0)之間的距離記為總可以用來表示極限過程:不論的過程多復(fù)雜,記作定義7.1

設(shè)二元函數(shù)在D有定義,有成立.時的極限.P0(x0,y0)是

D的聚點.A常數(shù)為,也記作如果說明:(1)二元函數(shù)的極限也稱二重極限;(2)二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似;稱為二次極限;(3)與(4)欲證明極限存在,常用定義或夾擠定理;(5)類似地,可以給出n元函數(shù)極限的定義.

例2

求極限

解其中

由夾擠定理

練習

求解例3

設(shè)函數(shù)討論極限

是否存在.解取其值隨k的不同而變化,故極限不存在.定義7.2

設(shè)n元函數(shù)f(P)的定義域為點集D,如果則稱n元函數(shù)f(P)在點P0處連續(xù).則稱P0是函數(shù)

f(P)P0∈D.如果f(P)在點P0處不連續(xù),的間斷點.如果函數(shù)

f(P)在開區(qū)域(閉區(qū)域)D內(nèi)的每一一點連續(xù),則稱函數(shù)f(P)在D內(nèi)連續(xù),f(P)是

D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).7.1.3多元函數(shù)的連續(xù)性或稱函數(shù)例4

討論函數(shù)在點(0,0)處的連續(xù)性．解由例3知,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).極限

不存在,多元初等函數(shù):由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)稱為多元初等函數(shù).結(jié)論:多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.性質(zhì)1

有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是有界的；性質(zhì)2在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．性質(zhì)3有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)在上必取得其介于最大值和最小值之間的一切值.例5求解函數(shù)定義區(qū)域為故且7.2偏導數(shù)7.2.1偏導數(shù)的概念及其計算法

例如,二元函數(shù)

z=f(x,y),先讓

y固定

(即y視為常數(shù)),這時z就是

x的一元函數(shù),z對

x的導數(shù),為了一元函數(shù)的變化率,我們引入了導數(shù)的概念.對于多元函數(shù),我們先考慮它關(guān)于一個自變量的變化率.稱為二元函數(shù)

z

對

x的偏導數(shù).設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y),P0(x0,y0)為平面上一點.定義7.3如果z=f(x,y0)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義且在x0點即極限存在,則稱此極限為函數(shù)對x的偏導數(shù),記為或可導,同理,可定義函數(shù)

在點

處對y的偏導數(shù)為記為或的偏導數(shù),

如果函數(shù)

z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)任一點

(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在,那么這個偏導數(shù)就是x、y同理,可以定義函數(shù)

對自變量

y數(shù),簡稱偏導數(shù).的函數(shù),稱其為函數(shù)z=f(x,y)對自變量

x的偏導函記作或記作或求多元函數(shù)的偏導數(shù)并不需要新的方法,利用一元函數(shù)只需將y看作常量,的求導法對x求導即可.解例1求

在點

處的偏導數(shù)．證證畢．例2

設(shè)證明偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如

在

處

解利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性,有例3

求的偏導數(shù)．證例4

已知理想氣體的狀態(tài)方程(R

為常數(shù)),求證:有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：例解1.偏導數(shù)

是一個整體記號,不能拆分;2.分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求;按定義得3.偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存在

連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，在(0,0)處,例如,函數(shù)例5研究函數(shù)在(0,0)點的解因為連續(xù)性與可導性.

所以,函數(shù)在(0,0)點連續(xù).

而所以,設(shè)二元函數(shù)在點有如圖,為曲面偏導數(shù).上的一點,過點作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為由于偏導數(shù)等于一元函數(shù)的導數(shù)故由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義7.2.2偏導數(shù)的幾何意義可知:偏導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線對x軸的斜率;偏導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線對y軸的斜率.例6求曲線在點(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角.解設(shè)純偏導混合偏導定義二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).7.2.3高階偏導數(shù)函數(shù)的二階偏導數(shù)為解例7

設(shè)求一般地,多元函數(shù)的高階混合偏導數(shù)如果連續(xù)就與求導次序無關(guān).如果函數(shù)的兩個二階混合偏在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),定理7.1那么在導數(shù)該區(qū)域內(nèi)如問題:混合偏導數(shù)都相等嗎?具備怎樣的條件才相等?解利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性例8

驗證函數(shù)

滿足拉普拉斯方程由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系得7.3

全微分及其應(yīng)用二元函數(shù)對x和y的偏增量二元函數(shù)對x和y的偏微分全增量:鄰域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量的全增量.定義7.4(全微分)可表示為處可微分,則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即的全增量處的全微分.如果函數(shù)也不能保證函數(shù)在該點連續(xù).多元函數(shù)即使在某點的偏導數(shù)都存在,若函數(shù)在某區(qū)域

D內(nèi)各點處都可微分,定理

7.2

(可微的必要條件)設(shè)函數(shù)可微分,且處偏導數(shù)存在,則則稱該函數(shù)在

D內(nèi)可微分.證(1)有所以,函數(shù)在該點連續(xù).于是由函數(shù)可微分,(2)令同理可得從而一元函數(shù)在某點可導可微分．多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在可微分．？例如，但函數(shù)

f(x,y)在點(0,0)處不連續(xù),所以不可微.說明:

多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證可微.在點(0,0)處有

證所以,在該點的某一鄰域內(nèi)偏導數(shù)必存在.定理7.3

(微分充分條件)用拉氏定理因偏導數(shù)在點P(x,y)連續(xù),連續(xù),可微分.如果函數(shù)的偏導數(shù)同理故函數(shù)處可微分.通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.習慣上,全微分記為稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．如三元函數(shù)有分之和,解所以例1計算函數(shù)在點(1,2)的全微分.解所求全微分例2

計算函數(shù)

的全微分.解例3計算的近似值.所以令則因且取多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微的關(guān)系

函數(shù)可微

函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)存在對應(yīng)的增量,增量時;就是切線縱坐標2.3.2微分的幾何意義當是曲線的縱坐標在點M的附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.定理7.4設(shè)函數(shù)且其導數(shù)為具有連續(xù)偏導數(shù),此時,

稱為全導數(shù).7.4多元復(fù)合函數(shù)的求導法則7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導法則例1

設(shè)

求這是冪指函數(shù)的導數(shù),但用全導數(shù)公式較簡便.yuvx解可用對數(shù)求導法計算.上述定理可推廣到中間變量多于兩個的情況.如則解例2

設(shè)

而求全導數(shù)則復(fù)合函數(shù)偏導數(shù)存在,且有下列求導公式具有連續(xù)偏導數(shù),的情形：定理可推廣到

函數(shù)復(fù)合圖uv解例3

設(shè)

而求

類似地再推廣,中間變量多于兩個的情形復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點的兩個偏導數(shù)存在,且可用下列公式計算:即兩者的區(qū)別區(qū)別類似把復(fù)合函數(shù)中的y看作不變而對x的偏導數(shù)把中的u及y看作不變而對x的偏導數(shù)解

zuxyxy函數(shù)復(fù)合圖求

例4

設(shè)

而解令記同理有例5設(shè)其中f

具有二階連續(xù)偏導數(shù),求于是例6設(shè)

其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù),解求即于是當、時,有設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù),則全微分

稱為一階全微分的形式不變性

無論z是自變量u,v的函數(shù)或中間變量u,v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.

通過全微分求所有一階偏導數(shù),比鏈導法則求偏導數(shù)有時會顯得靈活方便.一階全微分形式不變性的實質(zhì)：于是,得所以存在的一個鄰域,在這個鄰域內(nèi)得恒等式兩邊關(guān)于x求導,由全導數(shù)公式,得將方程所確定的函數(shù)代入其中,7.4.2

多元隱函數(shù)的求導法則解則于是令例7

設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求

定理7.5(隱函數(shù)存在定理)設(shè)函數(shù)F(x,y,

z)滿足(1)F(x,y,z)在某鄰域內(nèi)可偏導，且連續(xù)，則(1)存在

的某個鄰域,在此鄰域內(nèi)存在唯一且.確定的二元函數(shù)z=f(x,y)滿足F(x,y,f(x,y))=0,(2)z=f(x,y)具有連續(xù)偏導數(shù)，且解故先求例8設(shè)z=f(x,y)由方程求確定令則再求兩邊分別對y求偏導,得對代入得將則偏導數(shù)，

求例9設(shè)有隱函數(shù)，其中F具有連續(xù)的解令，解方程兩端對x求偏導數(shù),得整理得方程兩端對y求偏導數(shù),得練習設(shè)求7.5.1無條件極值7.5多元函數(shù)的極值則稱點P0為函數(shù)的極大值點(或極小值點),稱為函數(shù)的極大值(或極小值).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點,如果對于該鄰域內(nèi)異于P0的任意一點P,都有設(shè)多元函數(shù)在點P0的某鄰域內(nèi)有定義,

簡單函數(shù)的極值是容易判斷的.在(0,0)點取極小值

(也是最小值).在(0,0)點取極大值

(也是最大值).在(0,0)點無極值.旋轉(zhuǎn)拋物面下半錐面馬鞍面例函數(shù)例函數(shù)例函數(shù)證定理7.6(極值存在的必要條件)則它在該點的偏導數(shù)必然為零:都有必有類似地可證不妨設(shè)處有極大值,有說明一元函數(shù)處有極大值,設(shè)函數(shù)具有偏導數(shù),且在點處有極值,推廣如果三元函數(shù)具有偏導數(shù),則它在有極值的必要條件為點,均稱為函數(shù)的駐點.極值點仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導數(shù)同時為零的如何判定一個駐點是否為極值點?如,點的駐點,但不是極值點.注:駐點定理7.7(極值存在的充分條件)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,時,有極大值,時,有極小值;(2)無極值;(3)可能有極值,也可能無極值.設(shè)函數(shù)的某鄰域內(nèi)連續(xù),又令說明：但z(0,0)=0為極小值,在(0,0)點處均有對于函數(shù)與而u(0,0)=0不是極值.求函數(shù)極值的一般步驟:第一步:解方程組求出實數(shù)解,得駐點.第二步:對于每一個駐點求出二階偏導數(shù)的值A(chǔ)、B、C.再判定是否是極值.第三步:定出的符號,例1求函數(shù)的極值.解令又在(0,0)處,

在(1,1)處,

故故在(0,0)無極值;在

(1,1)有極小值,得駐點解方程兩邊分別對x,y求偏導數(shù),得得駐點方程組兩邊再分別對x,y求偏導數(shù),練習求由方程令確定的函數(shù)的極值.故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.所以,所以,取得.然而,如函數(shù)在個別點處的偏導數(shù)不存在,這些點當然不是駐點,但也可能是極值點.如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(0,0)處都具有極大值.在研究函數(shù)的極值時,除研究函數(shù)的駐點外,由極值的必要條件知,極值只可能在駐點處在點(0,0)處的偏導數(shù)注:還應(yīng)研究偏導數(shù)不存在的點.并無其他條件.無條件極值:對自變量除了限制在定義域內(nèi)外,條件極值:對自變量有附加條件的極值.7.5.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法解例2某廠要用鐵皮制成容積一定的無蓋的長方體盒子，問怎樣設(shè)計尺寸才能使用料最??？設(shè)盒子底邊長、寬、高分別為此盒子所用材料面積為則容積為得駐點由條件解出代入上式化為函數(shù)令故當盒子長、寬、高都為

時用料最省.上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受的限制,這便是一個條件極值問題.目標函數(shù)約束條件目標函數(shù)中化為無條件極值.

有時條件極值可通過將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介紹解決條件極值問題的一般下,這樣做是有困難的,方法——拉格朗日乘數(shù)法到條件拉格朗日乘數(shù)法:在條件要求函數(shù)下的可能極值點,先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中(x,y)就是可能的極值點的坐標.其中

均為常數(shù),可由偏導數(shù)為零及條件解出即得極值點的坐標.下的極值.例如,求函數(shù)在條件先構(gòu)造函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法可推廣:或約束條件多于兩個的情況.自變量多于兩個解由題意，目標函數(shù)為作拉格朗日函數(shù)約束條件為.解得令例3求直線上最靠近坐標原點的點.直線上的點距原點最近.7.7二重積分7.7.1二重積分的概念柱體體積

=底面積×高

平頂柱體引例求曲頂柱體的體積曲頂柱體體積=?D曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割區(qū)域

D,化整為零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.積零為整2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取極限

i2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零V=3.積零為整x0z

yS:z=f(x,y)4.取極限V2.以平代曲V=1.任意分割區(qū)域

D,化整為零3.積零為整也表示它的面積,定義7.5(1)將閉區(qū)域

D任意分成n個小閉區(qū)域

(2)作乘積

(3)并作和D設(shè)是有界閉區(qū)域

D的有界函數(shù),積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素這和式則稱此零時,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

趨近于的極限存在,記為即(4)極限為函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分,曲頂柱體體積曲頂

即在底D上的二重積分,二重積分的幾何意義

當被積函數(shù)小于零時,二重積分是柱體的體積的負值．2.在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負.則面積元素為D7.7.2直角坐標系下二重積分的計算

二重積分的計算方法是:將二重積分化為二次1.矩形區(qū)域上的二重積分積分區(qū)域D為矩形在D上連續(xù).設(shè)積分(累次積分)來計算.

的值等于以區(qū)域D為底,曲面z=f(x,y)把柱體切割成平行于xOz平面的薄片,對應(yīng)薄片又有于是

為頂?shù)那斨w的體積,現(xiàn)用定積分計算這個體積.2.橫向區(qū)域:這樣的區(qū)域上通?？梢韵葘積分,再對y積分

則例2計算其中D是由直線

先對x積分

所圍平面閉區(qū)域.解3.縱向區(qū)域這樣的區(qū)域上通?？梢韵葘積分,再對x積分

則例3計算其中D如圖所示.

解先對y積分