高等數(shù)學(xué)教程　上冊(cè)　第4版 習(xí)題及答案 P049 第2章 極限與連續(xù)

PAGEPAGE63第二章極限與連續(xù)習(xí)題2.1證明以下數(shù)列是無(wú)窮?。?）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。（2）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。（3）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。（4）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。（5）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。（6）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。證明以下數(shù)列極限（1）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小，所以（2）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小，所以（3）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小，所以（4）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小，所以習(xí)題2.21．證明以下函數(shù)是無(wú)窮?。?）證明：因?yàn)槎鴷r(shí)是無(wú)窮小，所以是無(wú)窮小。（2）證明：因?yàn)?，不妨設(shè)，又而時(shí)，是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有是無(wú)窮小。（3）證明：因?yàn)槎鴷r(shí)是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有是無(wú)窮小。2．證明以下函數(shù)是無(wú)窮小（1）證明：因?yàn)槎鴷r(shí)，是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有是無(wú)窮小。（2）證明：因?yàn)槎鴷r(shí)，是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有是無(wú)窮小。（3）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有是無(wú)窮小。3.證明下列極限：(1)證明：因?yàn)?4x+1)-9=而時(shí)是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小，所以(2)證明：因?yàn)槎鴷r(shí)是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小，所以，(3)證明：因?yàn)槎鴷r(shí)是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小，所以(4)證明：因?yàn)槎鴷r(shí)是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小，即4.設(shè)，證明。證明：因?yàn)樗约?.設(shè)，證明不存在。證明：因?yàn)樗约床淮嬖?．證明:（1）證明：只要證明。因?yàn)?，而，所以，，即?）證明：只要證明。由，無(wú)妨設(shè)，于是所以，，即習(xí)題2.31．指出下列運(yùn)算是否正確：（1）（2）（3）答：(1)—(3)都是錯(cuò)誤的。因?yàn)椋悍质綐O限只有當(dāng)分母極限不為零時(shí)可以應(yīng)用極限運(yùn)算法則。而該分式分母極限為零。兩個(gè)函數(shù)乘積的極限當(dāng)兩個(gè)函數(shù)極限都存在時(shí)等于它們極限的乘積。而極限不存在。有限個(gè)函數(shù)和的極限等于它們各自極限的和。2.求下列極限：(1)解：(2)解：=(3)解：因?yàn)?，，所?4)解：（型）（5）解：（型）（6）解：（型）(7)解：（型）（8）（為正整數(shù)）解：（型）（9）解：（型）（10）解：（型）（型）（11）解：（型）(12)解：3.證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無(wú)窮小.證明：當(dāng)時(shí)，和都是無(wú)窮小，且，所以，是無(wú)窮小，再由無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)，有當(dāng)時(shí)，函數(shù)也是無(wú)窮小。4.確定a,b的值,使下列極限等式成立：(1)(2)解：（1）由，（存在），且分式的分母為無(wú)窮小，所以其分子必是無(wú)窮小，即所以。（2）由且分式的分子分母都是多項(xiàng)式，分母是一次式，所以分子的二次和一次項(xiàng)系數(shù)都為零，即有，從而得5.證明不存在。證明：取，，則，但，習(xí)題2.41.求下列極限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：lim(6)(為常數(shù))解：當(dāng)時(shí)，，(7)解：(8)解：2.求下列極限：(1)解：（型）(2)解：（型）(3)解：（型）(4)解：（型）（5）解：（6）解：3.根據(jù)所給的各種變化情況,討論下列函數(shù)的極限：(1)(2)解：（1）當(dāng)，，，所以有（2）當(dāng)當(dāng)，因?yàn)?，所以不存在?.設(shè)，當(dāng)滿足什么條件時(shí)。解：當(dāng)，當(dāng)所以，當(dāng)，，即當(dāng)時(shí)，5.用夾逼定理證明下列極限(1)(2)證明：(1)因?yàn)樗杂蓨A逼定理有因?yàn)樗杂蓨A逼定理有6.利用單調(diào)有界極限存在原理證明(1)數(shù)列的極限存在,并求出極限值。證明：因?yàn)閿?shù)列單調(diào)上升，且有上界2。所以數(shù)列的極限存在，設(shè)其極限值為,因?yàn)?，所以有，得?xí)題2.51.討論下列函數(shù)的連續(xù)性,若有間斷點(diǎn)，指出間斷點(diǎn)的類型:(1)解：是間斷點(diǎn)。又因?yàn)樗允堑谝活愋烷g斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))，是第二類型間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）。(2)解：，是間斷點(diǎn)。又因?yàn)?，所以是第一類型間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))，所以是第二類型間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）(3)解：是間斷點(diǎn)。因?yàn)樗允堑谝活愋烷g斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))。(4)解：因?yàn)楫?dāng)，當(dāng)所以是第一類型間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))。2.確定常數(shù),使下列函數(shù)為連續(xù)函數(shù):(1)解：只需考慮函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)即可。因?yàn)槿艉瘮?shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)，則有從而有，即(2)解：只需考慮函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)即可。因?yàn)槿艉瘮?shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)，則有從而有。（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)在處連續(xù)，所以即，3.求下列函數(shù)的極限(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：4.證明方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。證明:令，則在閉區(qū)間連續(xù)，又，在區(qū)間上應(yīng)用零點(diǎn)定理，有至少存在一點(diǎn)，使得，即方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。5.證明方程的有三個(gè)根，它們分別在區(qū)間內(nèi)。證明:令，則在閉區(qū)間連續(xù)，又，，，所以有，在區(qū)間，及上分別應(yīng)用零點(diǎn)定理，可得方程在區(qū)間內(nèi)各至少存在一個(gè)根。6.證明方程至少有一個(gè)根。證明:令，則在連續(xù)，又，在閉區(qū)間上應(yīng)用零點(diǎn)定理，有至少存在一點(diǎn)，使得，即方程至少有一個(gè)根。7.設(shè)都在上連續(xù)，且試證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明：令，則在連續(xù)，又，在閉區(qū)間上應(yīng)用零點(diǎn)定理，有至少存在一點(diǎn)，使得，即習(xí)題2.61．設(shè)，為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值，使（1），（2）解：（1）因?yàn)?，故則有（2）因?yàn)?，故則有2．求常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，。解：，則3．當(dāng)時(shí)，試確定下列無(wú)窮小的階數(shù)。(1)(2)(3)(4)解：(1)1階(2)1階(3)2階（4）3階4．求下列極限：（1）解：（2）解：limx→0lncos（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：5．求常數(shù)，使成立。解：，則，所以，6．求常數(shù),使下列函數(shù)在點(diǎn)連續(xù):解：，，所以，當(dāng)時(shí)該函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。習(xí)題2.71設(shè)年利率為，求在下列情況下，10000元的投資額產(chǎn)生的未來(lái)收益。（1）以半年為期進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，1年末的收益。（2）以半年為期進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，5年末的收益。（3）按月進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，1年末的收益。（4）按月進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，5年末的收益。（5）連續(xù)復(fù)利計(jì)算，1年末的收益。（6）連續(xù)復(fù)利計(jì)算，5年末的收益。解：當(dāng)本金為，年利率為，為每年的計(jì)息次數(shù)，則年后投資的總收益為本題中（1）因?yàn)橐园肽隇槠谶M(jìn)行復(fù)利計(jì)算，一年中有兩個(gè)半年期，故，則1年末（）的收益為（元）（2）以半年為期進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，5年末（）的收益為（元）（3）以按月進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，一年中有12個(gè)月，則，則1年末（）的收益為（元）（4）按月進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，5年末（）的收益為，（元）（5）連續(xù)復(fù)利即為，1年末的收益為（元）（6）連續(xù)復(fù)利計(jì)算，5年末的收益為（元）2．設(shè)年利率為，未來(lái)收益為25000元，求在下列情況下的現(xiàn)值。（1）按年進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，未來(lái)收益在1年末取得。（2）按年進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，未來(lái)收益在20年末取得。（3）按季度進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，未來(lái)收益在1年末取得。（4）按季度進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，未來(lái)收益在20年末取得。（5）連續(xù)復(fù)利計(jì)算，未來(lái)收益在1年末取得。（6）連續(xù)復(fù)利計(jì)算，未來(lái)收益在20年末取得。解：記號(hào)同上題，未來(lái)收益，，現(xiàn)值（1），（元）（2），，（元）（3）按季度進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，未來(lái)收益在1年末取得。，，（元）（4），（元）（5）連續(xù)復(fù)利公式，計(jì)算現(xiàn)值的公告為，未來(lái)收益在一年末取得，（元）（6）（元）3．政府支出200億元，經(jīng)濟(jì)個(gè)體將增加收入的70%用于購(gòu)買國(guó)內(nèi)產(chǎn)品，根據(jù)凱恩斯倍數(shù)效應(yīng)模型求政府支出增加的總效應(yīng)。解：，政府支出增加的總效應(yīng)億元。4假設(shè)每年支付相等的10000元，終身支付，年利率為6%，按年計(jì)算復(fù)利，求（1）全部收益的現(xiàn)值。(2)在第50年之后收取款項(xiàng)的現(xiàn)值。(3)前50年收取款項(xiàng)的現(xiàn)值。解：設(shè)年利率為，按年計(jì)算復(fù)利，則第年支付的10000元的現(xiàn)值為，本題（1）令，則（2）在第50年之后收取款項(xiàng)的現(xiàn)值為（3）5.假設(shè)政府對(duì)年收入的稅收政策如下：（1）25000元及以下免稅。（2）超過(guò)25000部分征收40%。（3）對(duì)達(dá)到或超過(guò)100000征收一次性附加稅2000元。把稅后收入寫成稅前收入的函數(shù)，畫出函數(shù)圖形，討論函數(shù)的連續(xù)性，并討論該稅收政策對(duì)工作的影響。解：設(shè)為稅前收入，則稅后收入的函數(shù)為函數(shù)在時(shí)，圖形為斜率為1的直線，在時(shí)，仍是直線，但斜率為0.6，這意味著稅后收入增加的速度放緩，在處函數(shù)產(chǎn)生間斷，出現(xiàn)一個(gè)向下的跳躍，由70000到68000，這意味著如果你想獲得更多的稅后收入，且稅前收入在100000元和103333元之間，你應(yīng)該主動(dòng)捐獻(xiàn)一部分，使得稅前剩余不足100000元.6.假設(shè)某產(chǎn)品的銷售員的月工資構(gòu)成為：（1）基本工資500元，（2）當(dāng)月銷售額不超過(guò)20000時(shí)提成，（3）當(dāng)月銷售額超過(guò)20000時(shí)提成。試畫出月工資與銷售業(yè)績(jī)的函數(shù)圖形并簡(jiǎn)單分析。解：設(shè)為月工資，為月銷售額（單位元），則函數(shù)在點(diǎn)的左、右極限分別為2500和4500，圖形有幅度2000的向上跳躍。這意味著如果某人的銷售額接近但未達(dá)到元，他將更努力地工作以期獲得額外的獎(jiǎng)金。如果銷售額遠(yuǎn)遠(yuǎn)未達(dá)到元或者已經(jīng)超過(guò)了元，這種額外的刺激就不復(fù)存在了。綜合習(xí)題2選擇或填空題：1.設(shè)數(shù)列滿足，，且極限與均存在,則（D）。必收斂必單調(diào)必有界以上結(jié)論都不對(duì)2.函數(shù)在處有定義是當(dāng)時(shí)函數(shù)有極限的（D）。必要條件充分條件充分必要條件無(wú)關(guān)的條件3.函數(shù)在處有定義是函數(shù)在處連續(xù)的（A）。必要條件充分條件充分必要條件無(wú)關(guān)的條件4.若，，則必有（D）。，（為非零常數(shù)）5.若，，（為有限值），則下列哪個(gè)關(guān)系式非恒成立（D）。6.函數(shù)在時(shí),若(D)不是無(wú)窮大,則必為有界極限不存在,則必為無(wú)界是無(wú)界的,則必為無(wú)窮大存在極限，則必有界7.下列極限存在的有（A）8.當(dāng)，無(wú)窮小量是的(C)無(wú)窮小.高階B低階同階但非等價(jià)等價(jià)9.設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，則等于（2）。10.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則等于（1）。11.若，則等于（-2）。12.（2）。13.若，則等于（-3）。14.若，則等于（-1）。15.（）。16.（2）。二．計(jì)算或證明題：1.證明以下數(shù)列是無(wú)窮?。?）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。（2）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。2.證明以下數(shù)列極限（1），是常數(shù)。證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小，所以（2）證明：因?yàn)槎菬o(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小，所以3．證明以下函數(shù)是無(wú)窮小（1）證明：因?yàn)槎?dāng)是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。（2）證明：因?yàn)椋环猎O(shè)，又而時(shí)是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得是無(wú)窮小。4.設(shè)，證明當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是。證明：因?yàn)?，又?dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是所以，即。5.設(shè)，證明時(shí)是無(wú)窮小。證明：因?yàn)?，，所以，，?．求下列極限：(1)解：(2)解：(3)解：因?yàn)?，所?4)解：（型）(5)解：（型）（6）解：（型）（7）解：（型）（8）解：（型）(9)解：（型）（10）解：（型）(11)解：時(shí)，。令，（型）(12)解：令，（型）（型）(13)(m,n為正整數(shù))解：（型）(14)解：（型）（15）解：（型）（16）解：（型）7．推斷下列極限值：(1)若求。(2)若求。（3）若求。解：（1）（2）（3）8．設(shè)，證明。證明：因?yàn)?，所以，函?shù)在點(diǎn)處即右連續(xù)又左連續(xù)，故連續(xù)，且。9．證明當(dāng)時(shí)，與是同階的無(wú)窮小。證明：因?yàn)樗?當(dāng)時(shí)，與是同階的無(wú)窮小。10.討論下列函數(shù)的連續(xù)性,若有間斷點(diǎn)，指出間斷點(diǎn)的類型:(1)解：因?yàn)樗裕堑谝活愋烷g斷點(diǎn)(可去)。(2)解：是間斷點(diǎn)。因?yàn)楫?dāng)，當(dāng)，所以，是第二類型間斷點(diǎn)（無(wú)窮）。11.確定常數(shù),使下列函數(shù)為連續(xù)函數(shù):(1)