2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何第四節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案理含解析

PAGE第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.能依據(jù)給定直線、圓的方程推斷直線與圓的位置關(guān)系；能依據(jù)給定兩個(gè)圓的方程推斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)潔的問(wèn)題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.推斷直線與圓的位置關(guān)系，推斷圓與圓的位置關(guān)系，求弦長(zhǎng)是2024年高考考查的熱點(diǎn)，題型以選擇題與填空題為主，可能出現(xiàn)解答題，分值為5～12分.1.數(shù)學(xué)運(yùn)算2.直觀想象‖學(xué)問(wèn)梳理‖1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δeq\x(1)<0Δeq\x(2)＝0Δeq\x(3)>0幾何觀點(diǎn)deq\x(4)>rdeq\x(5)＝rdeq\x(6)<r2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R，r(R>r)，則位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含公共點(diǎn)個(gè)數(shù)eq\x(7)0eq\x(8)1eq\x(9)2eq\x(10)1eq\x(11)0d，R，r的關(guān)系d>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－rd<R－r公切線條數(shù)eq\x(12)4eq\x(13)3eq\x(14)2eq\x(15)1eq\x(16)0?常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓系方程(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)．(2)過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．(3)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，留意檢驗(yàn)圓C2是否滿意題意，以防漏解)．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．()(2)假如兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．()(3)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(4)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、走進(jìn)教材2．(必修2P132A5改編)直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．答案：eq\r(10)3．(必修2P133A9改編)圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長(zhǎng)為________．答案：2eq\r(2)三、易錯(cuò)自糾4．(2025屆惠州調(diào)研)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離解析：選B由題意知，兩圓的圓心距離為eq\r(（－2－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(17)，兩圓的半徑之差為1，半徑之和為5，又1<eq\r(17)<5，所以兩圓相交．5．直線4x－3y＝0與圓(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦長(zhǎng)為()A．6 B．3C．6eq\r(2) D．3eq\r(2)解析：選A設(shè)直線4x－3y＝0與圓(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦為AB．∵圓的半徑r＝eq\r(10)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|4－3×3|,\r(（－3）2＋42))＝eq\f(5,\r(（－3）2＋42))＝1，∴弦長(zhǎng)|AB|＝2×eq\r(r2－d2)＝2eq\r(10－1)＝2×3＝6.故選A．6．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4，－3)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長(zhǎng)為8，則直線l的方程是________________．解析：由已知條件知圓心為(－1，－2)，半徑r＝5，弦長(zhǎng)m＝8.設(shè)弦心距是d，則由勾股定理得r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))eq\s\up12(2)，即25＝d2＋16，解得d＝3.若l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝－4，圓心到直線的距離是3，符合題意．若l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，則d＝eq\f(|－k＋2＋4k－3|,\r(k2＋1))＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－eq\f(4,3)，則直線l的方程為4x＋3y＋25＝0.所以直線l的方程是x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0.答案：x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系推斷))|題組突破|1．(2025屆西安模擬)直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定解析：選B由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))解得x＝－1，y＝－1，即直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)過(guò)定點(diǎn)(－1，－1)．又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5<0，則點(diǎn)(－1，－1)在圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0的內(nèi)部，故直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．2．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離解析：選B由題知圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，所以圓M，圓N的圓心距|MN|＝eq\r(2)，兩圓半徑之差為1，半徑之和為3，1<eq\r(2)<3，故兩圓相交．?名師點(diǎn)津1．推斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法幾何法圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可推斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點(diǎn)是計(jì)算量較小代數(shù)法將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的狀況即對(duì)應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于推斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2.圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略(1)推斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采納代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(圓的切線問(wèn)題))【例1】(2025屆廣東七校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(3，eq\r(5)＋2)，Q(4，3)，圓M：(x－1)2＋(y－2)2＝9.(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓M的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)Q的圓M的切線方程以及切線長(zhǎng)．[解]由題意知圓M的圓心為M(1，2)，半徑r＝3.(1)∵(3－1)2＋(eq\r(5)＋2－2)2＝9，∴點(diǎn)P在圓M上．又kPM＝eq\f(\r(5)＋2－2,3－1)＝eq\f(\r(5),2)，∴切線的斜率k＝－eq\f(2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5).∴過(guò)點(diǎn)P的圓M的切線方程為y－(eq\r(5)＋2)＝－eq\f(2\r(5),5)(x－3)，即2x＋eq\r(5)y－11－2eq\r(5)＝0.(2)∵(4－1)2＋(3－2)2＝9＋1＝10>9，∴點(diǎn)Q在圓M外部．①當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝4，即x－4＝0.又知點(diǎn)M(1，2)到直線x－4＝0的距離d＝4－1＝3＝r，∴直線x－4＝0符合題意．②當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y－3＝k(x－4)，即kx－y－4k＋3＝0，則圓心M到直線的距離d＝eq\f(|k－2－4k＋3|,\r(k2＋1))＝3，即|1－3k|＝3eq\r(k2＋1)，解得k＝－eq\f(4,3)，∴切線方程為－eq\f(4,3)x－y－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＋3＝0，即4x＋3y－25＝0.綜上可知，過(guò)點(diǎn)Q的圓M的切線方程為x＝4或4x＋3y－25＝0.∵|QM|＝eq\r(（4－1）2＋（3－2）2)＝eq\r(10)，∴過(guò)點(diǎn)Q的圓M的切線長(zhǎng)為eq\r(|QM|2－r2)＝eq\r(10－9)＝1.?名師點(diǎn)津1．求過(guò)圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可干脆寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可干脆寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程．2．求過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的2種方法幾何法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程代數(shù)法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出[提示]當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在圓外時(shí)，肯定要留意斜率不存在的狀況．|跟蹤訓(xùn)練|1．已知圓C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：(1)將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋(y－2)2＝2，即C(1，2)，半徑為eq\r(2).當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx(k≠0)，由直線與圓相切得eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝－2±eq\r(6)，所以切線方程為y＝(－2＋eq\r(6))x或y＝(－2－eq\r(6))x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為x＋y－a＝0，由直線與圓相切得eq\f(|1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝1或a＝5，所以切線方程為x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.綜上，所求的切線方程為y＝(－2＋eq\r(6))x或y＝(－2－eq\r(6))x或x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.(2)由|PM|＝|PO|得(x1－1)2＋(y1－2)2－2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)，即2x1＋4y1－3＝0，即點(diǎn)P在直線l：2x＋4y－3＝0上，所以|PM|min＝|PO|min＝eq\f(|－3|,\r(22＋42))＝eq\f(3\r(5),10).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(弦長(zhǎng)問(wèn)題))【例2】已知⊙H被直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面積相等的四部分，且截x軸所得線段的長(zhǎng)為2.(1)求⊙H的方程；(2)若存在過(guò)點(diǎn)P(a，0)的直線與⊙H相交于M，N兩點(diǎn)，且|PM|＝|MN|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)設(shè)⊙H的方程為(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，因?yàn)椤袶被直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面積相等的四部分，所以圓心H(m，n)肯定是兩直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交點(diǎn)，易得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，所以m＝2，n＝1.又⊙H截x軸所得線段的長(zhǎng)為2，所以r2＝1＋n2＝2，所以⊙H的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2.(2)設(shè)N(x0，y0)，由題意易知點(diǎn)M是PN的中點(diǎn)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋a,2)，\f(y0,2))).因?yàn)镸，N兩點(diǎn)均在⊙H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2， ①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋a,2)－2))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,2)－1))eq\s\up12(2)＝2，即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8. ②若記⊙I為(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，由①②知⊙H與⊙I有公共點(diǎn)，從而2eq\r(2)－eq\r(2)≤|HI|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，即eq\r(2)≤eq\r(（a－2）2＋（1－2）2)≤3eq\r(2)，整理可得2≤a2－4a＋5≤18，解得2－eq\r(17)≤a≤1或3≤a≤2＋eq\r(17)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2－eq\r(17)，1]∪[3，2＋eq\r(17)]．?名師點(diǎn)津有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的2種求法幾何法直線被圓截得的半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋d2代數(shù)法聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長(zhǎng)|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)|跟蹤訓(xùn)練|2．(2025屆河北石家莊質(zhì)檢)已知a∈R且為常數(shù)，圓C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)(1，2)的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程為2x－y＝0，則a的值為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選B將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圓心為C(－1，a)，當(dāng)弦AB最短時(shí)，∠ACB最小，此時(shí)圓心C與定點(diǎn)(1，2)的連線和直線2x－y＝0垂直，所以eq\f(a－2,－1－1)×2＝－1，解得a＝3.3．(2025屆安徽合肥調(diào)研)已知直線l：x＋y－5＝0與圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則圓C的半徑r＝()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：選B解法一：由題意知圓C的圓心為(2，1)，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2＋1－5|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，又弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，所以2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2)，所以r＝2，故選B．解法二：聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,（x－2）2＋（y－1）2＝r2，))整理得2x2－12x＋20－r2＝0，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝eq\f(20－r2,2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(36－2（20－r2）)＝2eq\r(2)，解得r＝2.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(直線與圓位置關(guān)系的交匯應(yīng)用問(wèn)題))【例】(2025屆河南信陽(yáng)二模)若直線y＝kx＋1(k≠0)與圓x2＋(y－1)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，若點(diǎn)M(a，b)滿意eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，則a＋b等于()A．1 B．eq\f(5,2