2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（五四學(xué)制）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x+3y=?1 B.x2+5x?6=0 C.x22.拋物線y=2(x?3)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A.(?3,5) B.(3,5) C.(?3,?5) D.(3,?5)3.將拋物線y=x2向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是(

)A.y=(x?3)2+4 B.y=(x+3)2+44.紅樹(shù)林是一種寶貴的濕地資源.全國(guó)紅樹(shù)林的面積在2023年達(dá)到2.9萬(wàn)公頃，預(yù)計(jì)到2025年全國(guó)紅樹(shù)林面積將達(dá)到3.6萬(wàn)公頃，設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x，可列方程得(

)A.2.9(1+x)2=3.6 B.3.6(1+x)2=2.95.若關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x?1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是A.k>?1 B.k>?1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠06.學(xué)校要組織一場(chǎng)籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，即每?jī)申?duì)之間比賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參加比賽？設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽，下列算式正確的是(

)A.x(x+1)=15 B.x(x?1)=15 C.12x(x+1)=15 7.對(duì)于拋物線y=?13(x?5)A.開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)(5,3) B.開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)(5,3)

C.開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)(?5,3) D.開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)(?5,3)8.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和6，第三邊的邊長(zhǎng)是方程(x?3)(x?4)=0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)(

)A.13 B.11或13 C.11 D.11和129.如圖，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，若P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PBQ的最大面積是(

)A.18cm2 B.12cm2 C.10.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)(4,0)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①abc<0；②b2?4ac>0；③2a+b=0；A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。11.已知二次函數(shù)y=3x2，則其圖象的開(kāi)口向______.(填“上”或“下”)12.方程x2=x的解是______．13.若x=?1是關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m=0的一個(gè)根，則m的值為_(kāi)_____．14.直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為x+1，x+3，斜邊長(zhǎng)為2x，那么x=______．15.方程x2?2x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為

．16.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b=b2?ab，例如：3?2=則關(guān)于x的方程(k?3)?x=k?1的根的情況是______．17.如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m.若水面再上升1.5m，則水面的寬度為_(kāi)_____m.18.某廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=?x2+4x19.如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度?(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系：?=?5t2+20t，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時(shí)，飛行時(shí)間t=______s.

20.如圖，坐標(biāo)平面上，二次函數(shù)y=?x2+4x?k的圖形與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，且k>0，若△ABC與△ABD的面積比為1：4，則k三、解答題：本題共7小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。21.(本小題7分)

定義：若兩個(gè)一元二次方程有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，我們就稱(chēng)這兩個(gè)方程為“同伴方程”.例如：x2=9和(x?2)(x+3)=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根x=?3，所以這兩個(gè)方程為“同伴方程”.根據(jù)所學(xué)定義，判斷下列兩個(gè)一元二次方程是否屬于“同伴方程”.(寫(xiě)出過(guò)程)

(1)(x?1)2=16；22.(本小題7分)

如圖，一名男生推鉛球(鉛球行進(jìn)路線呈拋物線形狀)，測(cè)得鉛球出手點(diǎn)P距地面53m，鉛球行進(jìn)路線距出手點(diǎn)P水平距離4m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x??)2+k，其中x(m)是鉛球行進(jìn)路線的水平距離，y(m)是鉛球行進(jìn)路線距地面的高度．

(1)23.(本小題8分)

閱讀材料：

材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2=?ba，x1?x2=ca．

材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．

解：∵m，n是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴m+n=1，mn=?1，

則m2n+mn224.(本小題8分)

二次函數(shù)的解析式為y=?x2+(m?1)x+m．

(1)求證：無(wú)論m取何值，拋物線總與x軸有交點(diǎn)；

(2)當(dāng)m=3時(shí)，

①求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)函數(shù)值大于0時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出25.(本小題10分)

把邊長(zhǎng)為44cm的正方形硬紙板(如圖1)，在四個(gè)頂點(diǎn)處分別剪掉一個(gè)小正方形，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋盒子(如圖2)，折紙厚度忽略不計(jì)．

(1)要使折成的盒子的底面積為576cm2，剪掉的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)是多少厘米？

(2)折成的長(zhǎng)方體盒子側(cè)面積(四個(gè)側(cè)面的面積之和)有沒(méi)有最大值？如果沒(méi)有，說(shuō)明理由：如果有，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)剪掉的正方形邊長(zhǎng)．

26.(本小題10分)

如圖，拋物線y=?14x2+4與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PB′⊥x軸交射線BC于點(diǎn)B′，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△BPB′與△ABC重疊部分的面積為S．

(1)判斷△ABC的形狀，并證明；

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x27.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(?1,0)、B(4,0)、C三點(diǎn)，且OB=OC，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)P在直線BC下方，P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形PBOC面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形PBOC的最大面積；

(3)直線BC上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、P、Q組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.D

7.A

8.A

9.C

10.C

11.上

12.x1=0，13.?3

14.5

15.1

16.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

17.2

18.4

19.2

20.4521.解：(1)(x?1)2=16，

x?1=±4，

x1=5，x2=?3；

(2)(x?5)(x+1)=0，

x1=5，x222.解：(1)由題意，P(0,53)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)，代入y=a(x??)2+k，

∴?=4，k=3，16a+3=53．

∴a=?112．

∴拋物線的表達(dá)式為y=?112(x?4)2+3．

(2)23.?32

24.(1)證明：令y=0，得到?x2+(m?1)x+m=0，

∵a=?1，b=m?1，c=m，

∴b2?4ac=(m?1)2+4m=(m+1)2，

又(m+1)2≥0，即b2?4ac≥0，

∴方程y=?x2+(m?1)x+m有實(shí)數(shù)根，

x?2?101234y?503430?5描點(diǎn)；

畫(huà)圖如下：

．

由函數(shù)圖象知，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為：(?1,0)，(3,0)；

②由圖象可得：當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍為?1<x<3．

25.解：(1)設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為x?cm．

則(44?2x)2=576，

即22?x=±12，

解得x1=34(不合題意，舍去)，x2=10，

∴剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為10cm；

(2)側(cè)面積有最大值．

設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為a?cm，盒子的側(cè)面積為ycm2，

則y與a的函數(shù)關(guān)系為：y=4(44?2a)a，

即y=?8a2+176a，

即y=?8(a?11)26.解：(1)△ABC為等腰直角三角形；

理由如下：

當(dāng)y=0時(shí)，?14x2+4=0，解得x1=?4，x2=4，

∴A(?4,0)，B(4,0)，

當(dāng)x=0時(shí)，y=?14x2+4=4，則C(0,4)，

∴OA=OB=OC，

∴△AOC和△BOC都為等腰直角三角形，

∴∠CAO=∠CBO=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形；

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把C(0,4)，B(4,0)分別代入得b=44k+b=0，

解得k=?1b=4，

∴直線BC的解析式為y=?x+4，

同理可得AC的解析式為y=x+4，

設(shè)P(x,0)，

當(dāng)0≤x≤4時(shí)，如圖1，

OP=x，PB=4?x，

∵PB′⊥x軸，

∴△PBB′為等腰直角三角形，

S=S△BPB′=12?27.解：(1)∵B(4,0)，且OB=OC，

∴C(0,?4)，

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，把A(?1,0)、B(4,0)、C(0,?4)代入得：

a?b+c=016a+4b+c=0c=?4，

解得a=1b=?3c=?4，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2?3x?4；

(2)∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴可設(shè)P(t,t2?3t?4)，

過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖：

∵B(4,0)，C(0,?4)，

∴直線BC解析式為y=x?4，S△BOC=12OB?OC=12×4×4=8，

∴F(t,t?4)，當(dāng)S△PBC最大時(shí)，四邊形PBOC的面積最大，

∴PF=(t?4)?(t2?3t?4)=?t2+4t，

∴S△PBC=S△PFC+S