專(zhuān)題03空間向量基本定理4種常見(jiàn)考法歸類(lèi)（原卷版）

專(zhuān)題03空間向量基本定理4種常見(jiàn)考法歸類(lèi)1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．思考：(1)零向量能不能作為一個(gè)基向量？(2)當(dāng)基底確定后，空間向量基本定理中實(shí)數(shù)組(x，y，z)是否唯一？[提示](1)不能．因?yàn)?與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面．(2)唯一確定．2．空間向量基本定理的推論設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→)).推論表明：可以根據(jù)空間向量基本定理確定空間任一點(diǎn)的位置．3．正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)正交分解把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．4．對(duì)基底和基向量的理解(1)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底．(2)基底中的三個(gè)向量a，b，c都不是0.這是因?yàn)?與任意向量共線，與任意兩個(gè)向量共面．(3)一個(gè)基底是由不共面的三個(gè)向量構(gòu)成，是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．5．基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底．6．基向量的選擇和使用方法(1)盡可能選擇具有垂直關(guān)系的，從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底．(2)用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘．7．用基底表示向量的三個(gè)步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．8．用向量法證明線線平行與垂直(1)要證兩直線垂直，由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0可知，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．(2)要證兩直線平行，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量滿足a＝λb即可．9．基向量法解決長(zhǎng)度、垂直及夾角問(wèn)題的步驟(1)設(shè)出基向量．(2)用基向量表示出直線的方向向量．(3)用|a|＝eq\r(a·a)求長(zhǎng)度，用a·b＝0?a⊥b，用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求夾角．(4)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度，兩直線垂直及夾角問(wèn)題．10．用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：(1)要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？考點(diǎn)一基底的判斷考點(diǎn)二用基底表示向量考點(diǎn)三利用空間向量基本定理求參數(shù)考點(diǎn)四空間向量基本定理的應(yīng)用（一）利用空間向量基本定理證明位置關(guān)系（二）用基底法求空間向量的數(shù)量積（三）利用空間向量基本定理求距離、夾角考點(diǎn)一基底的判斷1．【多選】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)構(gòu)成空間的一個(gè)基底，下列說(shuō)法正確的是（

）A．，，兩兩不共線，但兩兩共面B．對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使得C．，，能構(gòu)成空間另一個(gè)基底D．若，則實(shí)數(shù)，，全為零2．【多選】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（

）A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．已知，則，與任何向量都不構(gòu)成空間的一組基C．若，，不構(gòu)成空間的一組基，那么空間四點(diǎn)共面；D．設(shè)是空間的一組基，則也是空間的一組基3．【多選】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．（2023春·河南開(kāi)封·高二統(tǒng)考期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間基底的是（

）A． B． C． D．5．【多選】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）是空間的一個(gè)基底，與、構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間向量的一組基底，，一定可以與向量，構(gòu)成空間向量的另一組基底的是（）A． B． C． D．7．（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．8．（2023秋·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知平面ABC，，，，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二用基底表示向量9．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點(diǎn).設(shè)，，，則（

）

A． B．C． D．10．（2023秋·高一單元測(cè)試）在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┰谌忮FPABC中，點(diǎn)O為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，若，，，則=（

）A． B． C． D．12．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．13．（2023秋·廣西百色·高二統(tǒng)考期末）在正四面體中，，，，為中點(diǎn)，為靠近的三等分點(diǎn)，用向量，，表示（

）A． B．C． D．14．（2023春·高二單元測(cè)試）在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B． C． D．15．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）在正四面體中，為的重心，記，，．若，，則．（用，，表示）16．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在上，且，設(shè)，，．則（

）

A． B．C． D．17．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）半正多面體又稱(chēng)“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體，如圖，點(diǎn)P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點(diǎn)，若，，，則（

）

A． B．C． D．18．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，G、H分別是、的重心，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，，，試用試用基底表示向量和.

考點(diǎn)三利用空間向量基本定理求參數(shù)19．（2023春·甘肅臨夏·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐為陽(yáng)馬，平面，且，若，則（

）

A．1 B．2C． D．20．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎匦螢槠矫嫱庖稽c(diǎn)，平面，點(diǎn)滿足，．若，則（

）A． B．1 C． D．21．（2023秋·廣東陽(yáng)江·高二陽(yáng)江市陽(yáng)東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎忮F，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且（m，n∈R）則m，n的值可能為（

）A． B． C． D．22．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知正方體中，側(cè)面的中心是P，若，則，．23．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，是底面的中心，是側(cè)面對(duì)角線上的分點(diǎn)．

(1)化簡(jiǎn)，并在圖中標(biāo)出其結(jié)果．(2)設(shè)，試求，，的值．24．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知P是所在平面外一點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．25．（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知四棱錐的底面是平行四邊形，若，則．浙江省七彩陽(yáng)光聯(lián)盟20232023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在空間四邊形中，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則使、、三點(diǎn)共線的的值是．考點(diǎn)四空間向量基本定理的應(yīng)用（一）利用空間向量基本定理證明位置關(guān)系27．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．28．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考一模）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．29．【多選】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二興城市高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C． D．30．（2023·高二單元測(cè)試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點(diǎn)．(1)用，，表示向量；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說(shuō)明理由．31．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體中，，，，，．

(1)求證：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，設(shè)是和的交點(diǎn)，是空間任意一點(diǎn)，用、、、表示．32．（2023春·江西宜春·高二灰埠中學(xué)?？计谀┰谒睦庵?，，，，.

(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；(2)證明：四點(diǎn)共面；(3)判斷直線能否是平面和平面的交線，并說(shuō)明理由.（二）用基底法求空間向量的數(shù)量積、投影向量33．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，DC中點(diǎn)，求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．34．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考階段練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為．35．（2023秋·河南周口·高二校考階段練習(xí)）如圖，在正四面體中，是棱的中點(diǎn)，，分別記為．(1)用表示；(2)若，求．36．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．（三）利用空間向量基本定理求距離、夾角37．（2023·高二單元測(cè)試）如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1038．（2023春·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末）已知三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，若和相交于點(diǎn)M.則（

）A． B．2 C． D．39．（2023春·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形，的邊長(zhǎng)都是3，且二面角為，為對(duì)角線靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為對(duì)角線的中點(diǎn)，則線段.40．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練