622向量的減法運(yùn)算（教學(xué)設(shè)計(jì)）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)(人教A版2019)

《向量的減法運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第二節(jié)《平面向量的運(yùn)算》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：第二節(jié)平面向量的運(yùn)算課時(shí)內(nèi)容向量的加法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)量積所在位置教材第7頁(yè)教材第11頁(yè)教材第13頁(yè)教材第17頁(yè)新教材內(nèi)容分析向量的加法是向量的第一運(yùn)算，是向量其他運(yùn)算的基礎(chǔ)。通過(guò)本節(jié)課讓學(xué)生知道向量也是一種量，同其他量一樣也有自己的運(yùn)算，學(xué)好本節(jié)課為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運(yùn)算解決“形”的問(wèn)題提供工具和方法。本節(jié)課先引出相反向量，再類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算，通過(guò)相反向量將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，體現(xiàn)了減法運(yùn)算和加法運(yùn)算之間的內(nèi)部聯(lián)系。實(shí)數(shù)與向量的乘積仍然是一個(gè)向量，即有大小又有方向，特別是與已知向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理。教材以物理中力作功為背景引入向量的數(shù)量積，與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣有明顯的幾何意義，用途廣泛，但與向量的線性運(yùn)算不同的是，數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量而不是向量。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過(guò)理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義，掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會(huì)用它們解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。借助相反向量理解向量減法運(yùn)算的幾何意義，掌握平面向量減法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)。理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。會(huì)計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).通過(guò)探究投影向量的表達(dá)式，進(jìn)而得到數(shù)量積的幾何意義，提升直觀想象，邏輯推理的核心素養(yǎng).教學(xué)主線平面向量的運(yùn)算本節(jié)課的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的基本概念，相等向量、共線向量的特點(diǎn)，及其向量加法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)向量減法運(yùn)算及其幾何意義進(jìn)行研究。1.理解相反向量的含義，借助相反向量理解向量減法運(yùn)算的幾何意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；2.掌握平面向量減法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；3.能運(yùn)用向量的加法和減法運(yùn)算解決相關(guān)問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；重點(diǎn)：理解并掌握向量減法的三角形法則難點(diǎn)：向量減法的幾何意義及運(yùn)算律（一）新知導(dǎo)入1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題我們知道，數(shù)的運(yùn)算中，減法是加法的逆運(yùn)算，其運(yùn)算法則是“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”．我們能否類似地定義向量的減法呢？【想一想】1、類比實(shí)數(shù)X的相反數(shù)X，對(duì)于向量a，你能定義“相反向量”a嗎？它有哪些性質(zhì)？你認(rèn)為向量的減法該怎樣定義？[提示]向量的減法也有類似法則,定義ab=a+(b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.2.探索交流，解決問(wèn)題【思考1】方向相同或相反的兩個(gè)向量稱為什么向量?方向相同,模相等的兩個(gè)向量稱為什么向量?【提示】方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做共線向量,方向相同,模相等的兩個(gè)向量稱為相等向量.【設(shè)計(jì)意圖】從具體實(shí)例出發(fā)結(jié)合圖形思考問(wèn)題，從中發(fā)現(xiàn)向量減法的運(yùn)算法則。（二）向量的減法運(yùn)算1.相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.性質(zhì)：①a和－a互為相反向量，-－a②零向量的相反向量仍是零向量。③由兩個(gè)向量的和的定義可知：a＋(－a)＝(－a)+a=0，即任意向量與其相反向量的和是零向量。④若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0。2.向量的減法(1)定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行：減去一個(gè)向量就等于加上這個(gè)向量的相反向量.【探究】利用平行四邊形法則求a＋b，那么你能結(jié)合相反向量的概念，求作出a＋(－b)嗎？【提示】過(guò)點(diǎn)C作eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，以CD，CA為鄰邊作?CAED，由于eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＝－b，于是eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋(－b).又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，所以四邊形ABCE為平行四邊形，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝a＋(－b).(2)幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→)).如圖所示a－b表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.記憶口訣：作平移，共起點(diǎn)，兩尾連，指被減。【思考1】若a，b是不共線的向量，則|a＋b|與|a－b|的幾何意義是什么？提示如圖所示，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.因?yàn)樗倪呅蜲ACB是平行四邊形，所以|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，分別是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng).【思考2】||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等號(hào)何時(shí)成立？提示(1)當(dāng)向量a，b不共線時(shí)，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)當(dāng)向量a，b共線且同向時(shí)，前一個(gè)等號(hào)成立；當(dāng)向量a，b共線且反向時(shí)，后一個(gè)等號(hào)成立.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究讓學(xué)生理解向量的減法法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。（三）典型例題1.向量減法法則的應(yīng)用例1.(1)在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋bB．－a＋(－b)C．a(chǎn)－b D．b－a(2)如圖所示，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求作向量b＋c－a.解析：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b＝－a＋(－b)．(2)以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))為鄰邊作?OBDC，連接OD，AD，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a.答案：(1)B【類題通法】求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)用向量減法的三角形法則作兩向量的差的步驟此步驟可以簡(jiǎn)記為“作平移，共起點(diǎn)，兩尾連，指被減”．(2)利用相反向量作兩向量差的方法作向量a－b時(shí)，先作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，再作eq\o(AB,\s\up6(→))＝－b，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.【鞏固練習(xí)1】如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.解析：法一：如圖①，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c.法二：如圖②，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up6(→))＝c，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c.2.向量的加減法運(yùn)算例2.(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))可以寫成：①eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))；②eq\o(MO,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))；③eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))；④eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).其中正確的是________(填序號(hào)).解析①eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；②eq\o(MO,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝－(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))≠eq\o(MN,\s\up6(→))；③eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))；④eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，故填①④.答案①④(2)化簡(jiǎn)：①eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；②(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))).解①eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).②(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.【類題通法】1.向量減法運(yùn)算的常用方法2.向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式(1)首尾相連且為和；(2)起點(diǎn)相同且為差.解題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)注意逆向應(yīng)用.【鞏固練習(xí)2】化簡(jiǎn)下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))).解(1)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NP,\s\up6(→))＝0.(2)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.3.向量加減法的應(yīng)用例3.如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→)).解因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.【變式探究1】本例條件不變，試用向量a，b，c表示eq\o(BE,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→)).解eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－b.【變式探究2】本例中的條件“點(diǎn)B是平行四邊形ACDE外一點(diǎn)”若換為“點(diǎn)B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點(diǎn)”，其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？解因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.【類題通法】用向量表示其他向量的方法(1)解決此類問(wèn)題要充分利用平面幾何知識(shí)，靈活運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則.(2)表示向量時(shí)要考慮以下問(wèn)題：它是某個(gè)平行四邊形的對(duì)角線嗎？是否可以找到由起點(diǎn)到終點(diǎn)的恰當(dāng)途徑？它的起點(diǎn)和終點(diǎn)是否是兩個(gè)有共同起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)？(3)必要時(shí)可以直接用向量求和的多邊形法則.【鞏固練習(xí)3】如圖所示，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用c，d表示eq\o(EC,\s\up6(→)).解(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.（四）操作演練素養(yǎng)提升1.化簡(jiǎn)eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的結(jié)果是()A.eq\o(MP,\s\up6(→)) B.eq\o(NP,\s\up6(→)) C.0 D.eq\o(MN,\s\up6(→))2.在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，若|eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形 D．不確定3.eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))＝________.4.若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.答案：1.C2.B3.eq\o(AB,\s\up6(→))4.2【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。（五）課堂小結(jié)，反思感悟1.知識(shí)總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？