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全品大講堂八年級(jí)上冊(cè)新課標(biāo)(RJ)數(shù)學(xué)第十三章軸對(duì)稱章末復(fù)習(xí)第十三章軸對(duì)稱章末復(fù)習(xí)知識(shí)框架歸納整合素養(yǎng)提升中考鏈接知識(shí)框架軸對(duì)稱等腰三角形軸對(duì)稱用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱軸對(duì)稱有關(guān)概念線段的垂直平分線軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形定義:經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等判定:與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上有關(guān)性質(zhì)對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等對(duì)稱軸垂直平分連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征:橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征:橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)不變等腰三角形等腰三角形性質(zhì)判定等邊對(duì)等角三線合一定義等角對(duì)等邊等邊三角形性質(zhì)判定含30°角的直角三角形三邊相等,三個(gè)內(nèi)角相等且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°定義三個(gè)角都相等的三角形有一個(gè)角為60°的等腰三角形在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半【要點(diǎn)指導(dǎo)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別:方法1,動(dòng)手折疊圖形,看折痕所在直線兩旁的部分能不能“完全重合”;方法2,找對(duì)應(yīng)點(diǎn),也可以從反面入手,即先找“對(duì)稱軸”,再看是不是每一個(gè)點(diǎn)都有關(guān)于這條直線對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn),如果有一個(gè)點(diǎn)沒有對(duì)應(yīng)點(diǎn),那么這個(gè)圖形就不是軸對(duì)稱圖形.歸納整合專題一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別例1[安順中考]下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是().D相關(guān)題1在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中,是軸對(duì)稱圖形的是().A【要點(diǎn)指導(dǎo)】與軸對(duì)稱有關(guān)的作圖題能有效地考查同學(xué)們的動(dòng)手操作能力和空間想象能力,一直是考試的熱點(diǎn).考查的基本題型有:(1)畫軸對(duì)稱圖形;(2)確定對(duì)應(yīng)點(diǎn);(3)確定對(duì)稱軸.作圖的關(guān)鍵是作對(duì)稱軸的垂線段,確定與原圖形上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn).專題二與軸對(duì)稱有關(guān)的作圖問題及其應(yīng)用例2如圖13-Z-3所示,已知△ABC和直線MN.求作:△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱.(不要求寫作法,只保留作圖痕跡)分析分別過點(diǎn)A,B,C作MN的垂線段并延長(zhǎng)到點(diǎn)A',B',C',使點(diǎn)A',B',C'到MN的垂線段的長(zhǎng)度分別等于點(diǎn)A,B,C到MN的垂線段的長(zhǎng)度,連接A'B',A'C',B'C',即得△A'B'C'.解如圖13-Z-3所示.相關(guān)題2[綏化中考]如圖13-Z-4,在8×8的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1.解:如圖所示.【要點(diǎn)指導(dǎo)】解決與線段垂直平分線有關(guān)的問題,關(guān)鍵是要把握它的性質(zhì)及與它有關(guān)的基本作圖的步驟、技巧.借助“線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”,實(shí)現(xiàn)相關(guān)線段的轉(zhuǎn)移.專題三線段垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用例3[遂寧中考]如圖13-Z-5,在△ABC中,AC=4cm,線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N.若△BCN的周長(zhǎng)是7cm,則BC的長(zhǎng)為().A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cmC分析因?yàn)镸N是線段AB的垂直平分線,所以AN=BN.又因?yàn)椤鰾CN的周長(zhǎng)是7cm,所以AN+NC+BC=BN+NC+BC=7cm,而AN+NC=AC,故AC+BC=7cm.因?yàn)锳C=4cm,所以BC=7-4=3(cm).相關(guān)題3[綏化中考]如圖13-Z-6,在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD.若△ADC的周長(zhǎng)為10,AB=7,則△ABC的周長(zhǎng)為().A.7 B.14C.17 D.20C解析
由作圖可知MN是線段AB的垂直平分線,得AD=BD,所以△ABC的周長(zhǎng)為AC+BC+AB=AC+CD+AD+AB=10+7=17.故選C.專題四等邊三角形與全等三角形的綜合應(yīng)用【要點(diǎn)指導(dǎo)】等邊三角形的性質(zhì)與判定和全等三角形等知識(shí)綜合,為證明線段相等、角相等、線段的倍分問題提供了很好的思路和理論依據(jù),此類題難度不大,但是步驟煩瑣,屬于中檔題.例4如圖13-Z-7,△DAC,△EBC均是等邊三角形,點(diǎn)A,C,B在同一條直線上,且AE,BD分別與DC,EC交于點(diǎn)M,N,連接MN.求證:(1)AE=DB;(2)△CMN為等邊三角形.證明(1)∵△DAC,△EBC均是等邊三角形,∴AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中,AC=DC∠ACE=∠DCBEC=BC∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=DB.(2)由(1)可知△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB,即∠CAM=∠CDN.∵△DAC,△EBC均是等邊三角形,∴AC=DC,∠ACM=∠BCE=60°.又∵點(diǎn)A,C,B在同一條直線上,∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°,即∠DCN=60°,∴∠ACM=∠DCN.在△ACM和△DCN中,∠CAM=∠CDNAC=DC∠ACM=∠DCN∴△ACM≌△DCN(ASA),∴CM=CN.又∵∠DCN=60°,∴△CMN為等邊三角形.相關(guān)題4-1如圖13-Z-8,已知△ABC為等邊三角形,D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),CE平分∠ACD,CE=BD,求證:△ADE為等邊三角形.相關(guān)題4-2如圖13-Z-9,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足為G,且AD=AB.∠EDF=60°,其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F.(1)求證:以A,B,D為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形;(2)求證:BE=AF.專題五構(gòu)造全等三角形或等腰三角形解決問題【要點(diǎn)指導(dǎo)】如果條件和結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯,不可能直接求證,那么可根據(jù)題目的特點(diǎn),添加輔助線構(gòu)造等腰三角形或全等三角形,利用等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊、全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解決.正確作出輔助線是解決此類問題的關(guān)鍵.例5如圖13-Z-10所示,已知△ABC,AB=AC,D是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),∠ADB=60°,E是AD上的一點(diǎn),且有DE=DB.求證:AE=BE+BC.分析本題是要證明一條線段等于兩條線段的和,其基本方法是“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”,解題的關(guān)鍵是弄清如何結(jié)合已知條件具體地“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”.證明(證法一)如圖13-Z-10所示,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)F,使CF=BD,連接AF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ABC+∠ABD=180°,∠ACB+∠ACF=180°,∴∠ABD=∠ACF.在△ABD和△ACF中,AB=AC∠ABD=∠ACFBD=CF∴△ABD≌△ACF(SAS),∴AD=AF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).∵∠ADB=60°,∴△ADF是等邊三角形(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形),同理△BDE也是等邊三角形.∴AD=DF,BD=BE,∴AD-DE=DF-BD,即AE=BF=BC+CF.又∵CF=BD=BE,∴AE=BE+BC.(證法二)如圖13-Z-11所示,過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F.∵AB=AC,∴BF=FC=BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線重合).∵∠ADB=60°,∴∠DAF=30°,∴DF=AD(直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△BDE是等邊三角形(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形),∴DE=BE=DB.∵DB+BF=AD,即BE+BC=DE+AE,∴AE=BE+BC,即AE=BE+BC.相關(guān)題5-1如圖13-Z-12,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一點(diǎn),F是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連接DF交BC于點(diǎn)E,若DB=CF,求證:DE=EF.證明:證法一:如圖,過點(diǎn)D作AF的平行線交BC于點(diǎn)G,∴∠ECF=∠DGE,∠DGB=∠ACB.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴DG=DB.∵DB=CF,∴DG=CF.在△DGE和△FCE中,∴△DGE≌△FCE(AAS),∴DE=EF.證明:如圖,作FH∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵FH∥AB,∴∠FHC=∠B.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.又∵∠ACB=∠FCH,∴∠FHC=∠FCH,∴CF=FH.又∵DB=CF,∴FH=DB.∵FH∥AB,∴∠BDE=∠HFE,∠B=∠FHE,∴△DBE≌△FHE(ASA),∴DE=EF.相關(guān)題5-2[十堰中考]如圖13-Z-13,點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上,AB=AC,BD=CE.求證:AD=AE.證明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE.相關(guān)題5-3如圖13-Z-14,已知:△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,CE⊥BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:BD=2CE.【要點(diǎn)指導(dǎo)】等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形,它的邊、角的特殊性在處理許多幾何問題時(shí)起著很重要的作用.求解與等腰三角形的邊、角有關(guān)的計(jì)算問題時(shí),在條件不明確的情況下,應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)分類討論.素養(yǎng)提升專題一分類討論思想的應(yīng)用例1等腰三角形一腰的中線把它的周長(zhǎng)分成12cm和9cm兩部分,求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng).分析等腰三角形的中線BD把△ABC分成AB+AD和BC+CD兩部分AB+AD=12cm,BC+CD=9cmAB+AD=9cm,BC+CD=12cm構(gòu)造方程(或方程組)求解解如圖13-Z-15,設(shè)腰長(zhǎng)為xcm.(1)若AB+AD=12cm,有x+=12,則x=8,所以AB=8cm,BC=5cm.(2)若AB+AD=9cm,有x+=9,則x=6,所以AB=6cm,BC=9cm.所以這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng)分別為8cm,5cm或6cm,9cm.相關(guān)題1-1若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的補(bǔ)角是130°,則底角的度數(shù)為().A.80° B.50°C.50°或65° D.50°或70°C解析
若130°角為頂角的補(bǔ)角,則頂角為50°,所以底角為(180°-50°)÷2=65°;若130°角為底角的補(bǔ)角,則底角為50°.所以等腰三角形的底角的度數(shù)為50°或65°.故選C.相關(guān)題1-2一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5cm,周長(zhǎng)是20cm,求其他兩邊的長(zhǎng).【要點(diǎn)指導(dǎo)】轉(zhuǎn)化思想貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)整個(gè)過程中,解題時(shí)要將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題.本章進(jìn)行轉(zhuǎn)化的依據(jù)主要是邊與角的轉(zhuǎn)化,如等邊對(duì)等角,等角對(duì)等邊,直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等.專題二轉(zhuǎn)化思想例2如圖13-Z-16,在△ABC中,AD平分∠BAC,過點(diǎn)C作AD的垂線,垂足為D,DE∥AB交AC于點(diǎn)E.求證:AE=CE.證明如圖13-Z-16,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵DE∥AB,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AE=DE.又∵CD⊥AD,∴∠ADC=90°,∴∠3+∠4=90°,∠2+∠ACD=90°.又∵∠2=∠3,∴∠4=∠ACD,∴DE=CE,∴AE=CE.相關(guān)題2如圖13-Z-17,四邊形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的長(zhǎng).解:如圖,延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)E.∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠E=60°.∵∠ADC=120°,∴∠EDC=60°,∴△EDC是等邊三角形.設(shè)CD=CE=DE=x.∵AD=4,BC=1,∠A=30°,∴2(1+x)=x+4,解得x=2.故CD=2.中考鏈接母題1(教材P64習(xí)題13.1第2題)
下列各圖形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,畫出它們的一條對(duì)稱軸.考點(diǎn):軸對(duì)稱圖形的概念.考情:識(shí)別軸對(duì)稱圖形,常常與中心對(duì)稱圖形一起考查,多以選擇題的形式出現(xiàn).策略:根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷.鏈接1
[永州中考]譽(yù)為全國(guó)第三大露天碑林的“浯溪碑林”,摩崖上銘刻著500多方古今名家碑文,其中懸針篆文具有較高的歷史意義和研究?jī)r(jià)值,下面四個(gè)懸針篆文文字明顯不是軸對(duì)稱圖形的是().CC鏈接2[河北中考]圖13-Z-20是由“○”和“□”組成的軸對(duì)稱圖形,該圖形的對(duì)稱軸是直線(
).A.l1
B.l2
C.l3
D.l4母題2(教材P65習(xí)題13.1第4題)
如圖13-Z-21,△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱,∠B=90°,A′B′=6cm.求∠A′B′C′的度數(shù)和AB的長(zhǎng).考點(diǎn):軸對(duì)稱的性質(zhì).考情:考查軸對(duì)稱的性質(zhì),常以對(duì)折、剪紙、線段的垂直平分線等形式出現(xiàn).策略:關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.鏈接3[南充中考]如圖13-Z-22,直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸,P是直線MN上的一點(diǎn),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是().A.AM=BMB.AP=BNC.∠MAP=∠MBPD.∠ANM=∠BNMB分析直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸AM=BM,AN=BN,∠ANM=∠BNM軸對(duì)稱的性質(zhì)P是直線MN上的一點(diǎn)∠MAP=∠MBPA,C,D正確,B錯(cuò)誤母題3(教材P71習(xí)題13.2第2題)
分別寫出下列各點(diǎn)關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo): (3,6),(-7,9),(6,-1),(-3,-5),(0,10).考點(diǎn):關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征.考情:求已知點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是中考高頻考題.策略:關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.鏈接4[武漢中考]點(diǎn)A(2,-5)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是().A.(2,5) B.(-2,5)C.(-2,-5) D.(-5,2)A分析點(diǎn)A(2,-5)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,5).故選A.分析∵點(diǎn)A(1+m,1-n)與點(diǎn)B(-3,2)關(guān)于y軸對(duì)稱,∴1+m=3,1-n=2,解得m=2,n=-1,∴m+n=2-1=1.故選D.鏈接5[貴港中考]若點(diǎn)A(1+m,1-n)與點(diǎn)B(-3,2)關(guān)于y軸對(duì)稱,則m+n的值是().A.-5
B.-3
C.3
D.1D母題4(教材P65習(xí)題13.1第6題)
如圖13-Z-23,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=3cm,△ABD的周長(zhǎng)為13cm,求△ABC的周長(zhǎng).考點(diǎn):線段的垂直平分線的性質(zhì).考情:由線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度或求三角形的周長(zhǎng)或證明有關(guān)結(jié)論是熱點(diǎn)考題.策略:利用線段的垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)換和角度轉(zhuǎn)換.鏈接6[黃岡中考]如圖13-Z-24,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,∠B=60°,∠C=25°,則∠BAD的度數(shù)為().A.50°
B.70°
C.75°
D.80°B分析∵DE是AC的垂直平分線,∴DA=DC,∴∠DAC=∠C=25°.∵∠B=60°,∠C=25°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°.故選B.鏈接7[仙桃中考]如圖13-Z-25,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)F,則MN的長(zhǎng)為().A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cmC分析連接AM,AN.AB=AC,∠BAC=120°∠B=∠C=30°等腰三角形的性質(zhì)EM是AB的垂直平分線MB=MA∠NMA=60°△MAN是等邊三角形BM=MN=NC=BC=2cm母題5(教材P66習(xí)題13.1第12題)
如圖13-Z-26所示,電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B的距離必須相等,到兩條高速公路m和n的距離也必須相等.發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置?在圖上標(biāo)出它的位置.考點(diǎn):角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì).考情:角平分線與線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用是中考的高頻考題.策略:到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上;與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.鏈接8[綦江中考]為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革,準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)療點(diǎn)P,使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會(huì)所在地的距離都相等(A,B,C不在同一直線上,地理位置如圖13-Z-27),請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位置.要求:寫出已知、求作;不寫作法,保留作圖痕跡.解:已知:A,B,C三點(diǎn)不在同一直線上.求作:一點(diǎn)P,使PA=PB=PC.如圖13-Z-28,正確作出連接任意兩點(diǎn)的兩條線段的垂直平分線,并標(biāo)出交點(diǎn)P.母題6(教材P82習(xí)題13.3第6題)
如圖13-Z-29,點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE.求證:BD=CE.考點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì)與判定.考情:考查等腰三角形的性質(zhì)與判定,是中考的熱點(diǎn)考題.策略:等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊與全等三角形結(jié)合運(yùn)用.鏈接9[綏化中考]已知等腰三角形的一個(gè)外角為130°,則它的頂角的度數(shù)為__________.50°或80°分析與130°的外角相鄰的內(nèi)角為50°.當(dāng)50°角為頂角時(shí),其他兩角為65°,65°;當(dāng)50°角為底角時(shí),其他兩角為50°,80°.所以等腰三角形的頂角為50°或80°.故答案為50°或80°.證明如圖13-Z-30,連接AD.∵AB=AC,D是BC邊的中點(diǎn),∴AD平分∠BAC(“三線合一”性質(zhì)).∵DE,DF分別垂直AB,AC于點(diǎn)E,F.∴DE=DF(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等).鏈接10[歷下中考]如圖13-Z-30,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊的中點(diǎn),DE,DF分別垂直AB,AC于點(diǎn)E,F.求證:DE=DF.母題7(教材P83習(xí)題13.3第12題)
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