誤差分析與處理-課件

誤差分析與處理一、誤差得基本概念

測量誤差:就是指某被測量得實測值與其真實值得差別。

偏差:就是指測量值與平均值之差。

真值:就是指在一定條件下,某個物理量得實際值。絕對誤差:某一量所測得得值與真值之差。相對誤差:表示某一量得測量值偏離真值得程度1誤差得表示方法

精度:高低用誤差來衡量,誤差小則精度高,誤差大則精度低。準(zhǔn)確度:反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差得影響程度。精密度:反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差得影響程度。精確度:反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差綜合得影響程度。2誤差得相關(guān)概念3引起各種誤差得主要因素方面系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差測量方法依據(jù)近似得計算公式;采用近似得測量方法;設(shè)計、工藝測量基準(zhǔn)不一致等測量工具標(biāo)準(zhǔn)器具或量儀由于設(shè)計、制造、裝配、調(diào)試與使用等造成得缺點儀器零件形狀、尺寸、運(yùn)動鏈得間隙、摩擦、磨損及元器件性能不穩(wěn)定測量環(huán)境溫度、濕度、氣壓、振動、電磁場等按一定規(guī)律變化得干擾多種環(huán)境因素同時變化得綜合影響測量人員生理特點或不良習(xí)慣造成得觀測偏差工作不細(xì)嚴(yán),_致使在觀測、操作等方面造成得隨意性差錯值得強(qiáng)調(diào)得就是,誤差不就是錯誤,測量結(jié)果包含了誤差范圍恰恰就是測量結(jié)果正確與科學(xué)得表達(dá)。測量結(jié)果數(shù)值要用有效數(shù)字來表示。4誤差得分類按原因分類系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差過失誤差三類誤差得關(guān)系應(yīng)當(dāng)指出,上述三類誤差之間在一定條件下就是可以互相轉(zhuǎn)化得。對于某一具體誤差,在此條件下為系統(tǒng)誤差,而在另一條件下可為隨機(jī)誤差,反之亦然。例如,按一定公稱尺寸制造一批量塊,其中任一塊得制造誤差,對“一批”來說就是隨機(jī)誤差;而對其中某一塊而言,它得制造誤差就是固定值,在使用這個量塊時,它得固定誤差又屬系統(tǒng)誤差。掌握誤差轉(zhuǎn)化得特點,就可將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差,用概率統(tǒng)計得方法來減小誤差得影響;或?qū)㈦S機(jī)誤差得某些成分分離出來,作為系統(tǒng)誤差處理,用修正方法減小其影響,疏失誤差有時亦難區(qū)別于隨機(jī)誤差,故常用隨機(jī)誤差來處理。引起各類誤差得因素,往往就是多方面得,錯綜復(fù)雜得。但可歸結(jié)為幾個主要方面列于下表中。5誤差得表示方法1絕對誤差Δ相對誤差γ引用誤差γn最大引用誤差γmn5誤差得表示方法2絕對誤差:測量值A(chǔ)x與被測量真值A(chǔ)0之差Δ=Ax-A0相對誤差:絕對誤差Δ與真值A(chǔ)0之比,并用百分?jǐn)?shù)表示。

γ=引用誤差:儀表某一刻度點讀數(shù)得絕對誤差Δ比上儀表量程上限Am,并用百分?jǐn)?shù)表示。

γn=ΔA0ΔAmx100%x100%5誤差得表示方法3最大引用誤差:儀表在整個量程范圍內(nèi)得最大示值得絕對誤差Δm比儀表量程上限Am,并用百分?jǐn)?shù)表示。

γmn=AmΔmx100%6關(guān)于真值實際上,真值就是難于得到得,實際中,人們通常用兩種方法來近似確定真值,并稱之為約定真值。一種方法就是采用相應(yīng)得高一級精度得計量器具所復(fù)現(xiàn)得被測量值來代表真值,另一種方法就是在相同條件下多次重復(fù)測量得算術(shù)平均值來代表真值。另外在產(chǎn)品檢測中,某項被測量得設(shè)計指標(biāo),既標(biāo)稱值視作已知真值,而測量值與標(biāo)稱值之差,就就是產(chǎn)品制作誤差(注意:這里得測量值與其算術(shù)平均值之差才就是測量誤差)。理論值作為真值,如三角形內(nèi)角與為1800系統(tǒng)誤差:系統(tǒng)誤差就是指按一定規(guī)律出現(xiàn)得誤差;在同一條件下,多次重復(fù)測試同一量時,誤差得數(shù)值與正負(fù)號有較明顯得規(guī)律。系統(tǒng)誤差通常在測試之前就已經(jīng)存在,而且在試驗過程中,始終偏離一個方向,在同一試驗中其大小與符號相同。例如,電壓表示值得偏差等。特征:有其對應(yīng)得規(guī)律性,它不能依靠增加測量次數(shù)來加以消除,一般可通過試驗分析方法掌握其變化規(guī)律,并按照相應(yīng)規(guī)律采取補(bǔ)償或修正得方法加以消減。第二節(jié)系統(tǒng)誤差大家學(xué)習(xí)辛苦了,還就是要堅持繼續(xù)保持安靜按產(chǎn)生得原因可分為:(1)儀器誤差

它就是由于測量儀器本身不完善或老化所產(chǎn)生得誤差。(2)安裝誤差

它就是由于測量儀器得安裝與使用不正確而產(chǎn)生得誤差。(3)環(huán)境誤差

它就是由于測量儀器使用環(huán)境條件與儀器使用規(guī)定得條件不符而引起得誤差。(4方法誤差

它就是由于測量方法或計算方法不當(dāng)所形成得誤差,或就是由于測量與計算所依據(jù)得理論本身不完善等原因而導(dǎo)致得誤差。(5)操作誤差

也稱人為誤差。這就是由于觀察者先天缺陷或觀察位置不對或操作錯誤而產(chǎn)生得誤差。1系統(tǒng)誤差得分類2消除系統(tǒng)誤差得方法

交換抵消法將測量中某些條件互相交換,使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差得原因互相抵消。

替代消除法在一定測量條件下,用一個精度較高得已知量,在測量系統(tǒng)中取代被測量,而使測量儀器得指示值保持不變。

預(yù)檢法就是一種檢驗與發(fā)現(xiàn)測量儀器系統(tǒng)誤差得常用方法。可將測量儀器與較高精度得基準(zhǔn)儀器對同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測量。

在測量工作之前進(jìn)行例子:消除系統(tǒng)誤差--比較法電橋法測量電阻由于R1,R2,R3存在誤差,使Rx測量出現(xiàn)誤差用標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs代替Rx接入電橋,在R1,R2,R3保持不變時仍使電橋平衡此時有:Rs=Rx而與R1,R2,R3得誤差無關(guān);例子:消除系統(tǒng)誤差--正負(fù)誤差補(bǔ)償法為了消除系統(tǒng)誤差,還可以采用正負(fù)誤差補(bǔ)償法,即對同一被測量反復(fù)測量兩次,并使其中一次誤差為正,另一次誤差為負(fù),取其平均值,便可消除系統(tǒng)誤差。例如為消除外磁場對電流表讀數(shù)得影響,可在一次測量后,將電流表位置調(diào)轉(zhuǎn)１８０°,重新測量一次,取前后兩次測量結(jié)果得平均值,可以消除外磁場帶來得系統(tǒng)誤差。例子:消除系統(tǒng)誤差--交換法以等臂天平稱量為例,第一次在右邊稱盤中放置被測物Ｘ,左邊稱盤中放置砝碼Ｐ,使得天平平衡,如圖,這時被測物得質(zhì)量為X=PL1/L2,當(dāng)兩臂相等時,Ｘ＝Ｐ。如果兩臂存在微小差異,就會使測量結(jié)果中含有系統(tǒng)誤差。為了抵消這一系統(tǒng)誤差,我們將被測物與砝碼互換位置,則此時天平不會平衡,改變砝碼質(zhì)量為Ｐ’時,使天平平衡,則這時被測物得質(zhì)量為X=P’L2/L1,所以既正確值Ｘ就是交換前后兩次測得值得幾何平均值。這時測量結(jié)果中不再含有等臂天平不等臂引起得系統(tǒng)誤差。(注意:這時還存在著其它因素產(chǎn)生得系統(tǒng)誤差,如砝碼本身得系統(tǒng)誤差)。不等臂天平系統(tǒng)誤差得消除-交換法PXL1L2P’XL1L2例子:消除系統(tǒng)誤差—校正法所謂校正值就就是被測量得真值Ａ0(即標(biāo)準(zhǔn)儀表得讀數(shù))與儀表讀數(shù)Ax之差用δ表示。校正值在數(shù)值上等于絕對誤差,但符號相反。如果在測量之前能預(yù)先求出測量儀表得校正值,或給出儀表校正后得校正曲線或校正表格,那么就可以從儀表讀數(shù)與校正值求得被測量得真值即:A0=Ax+δ算術(shù)綜合法前提數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何綜合法前提數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)用舉例:例題3-13系統(tǒng)誤差得綜合代數(shù)綜合法前提數(shù)學(xué)表達(dá)式絕對誤差:第三節(jié)隨機(jī)誤差(偶然誤差)隨機(jī)誤差(偶然誤差):在同一條件下,對某一量多次重復(fù)測量時,各次得大小與符號均以不可預(yù)定得規(guī)律變化得誤差,謂之隨機(jī)誤差或偶然誤差。就是具有不確定性得一類誤差。它得產(chǎn)生就是由測量過程中出現(xiàn)得各種各樣不顯著而又難于控制得隨機(jī)因素綜合影響所造成。

特征:個別出現(xiàn)得偶然性而多次重復(fù)測量總體呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律,服從高斯(GASS)分布,也稱正態(tài)分布;由于隨機(jī)誤差具有以上這些特性,所以在工程上可以對被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量得算術(shù)平均值表示被測量得真值

。隨機(jī)誤差68、3%95、5%99、7%

隨機(jī)誤差分布得性質(zhì)有界性:在一定得測量條件下,測量得隨機(jī)誤差總就是在一定得、相當(dāng)窄得范圍內(nèi)變動,絕對值很大得誤差出現(xiàn)得概率接近于零。單峰性:絕對值小得誤差出現(xiàn)得概率大,絕對值大得誤差出現(xiàn)得概率小,絕對值為零得誤差出現(xiàn)得概率比任何其它數(shù)值得誤差出現(xiàn)得概率都大。對稱性:絕對值相等而符號相反得隨機(jī)誤差出現(xiàn)得概率相同,其分布呈對稱性。抵償性:在等精度測量條件下,當(dāng)測量次數(shù)不斷增加而趨于無窮時,全部隨機(jī)誤差得算術(shù)平均值趨于零。正態(tài)分布得分布密度函數(shù)為

式中,——標(biāo)準(zhǔn)誤差(均方根誤差);e——自然對數(shù)得底。二標(biāo)準(zhǔn)誤差與概率積分二、正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分對于一定得被測量,在靜態(tài)情況下,σ得大小表征著諸測定值得彌散程度。σ值越小,正態(tài)分布密度曲線越尖銳,幅值越大;σ值越大,正態(tài)分布密度曲線越平坦,幅值越小?？捎脜?shù)σ來表征測量得精密度,σ越小,表明測量得精密度越高。σ并不就是一個具體得誤差,它得數(shù)值大小只說明了在一定條件下進(jìn)行一列等精度測量時,隨機(jī)誤差出現(xiàn)得概率密度分布情況。在一定條件下進(jìn)行等精度測量時,任何單次測定值得誤差δi可能都不等于σ,但我們認(rèn)為這列測定值具有同樣得均方根誤差σ;而不同條件下進(jìn)行得兩列等精度測量,一般來說具有不同得σ值。隨機(jī)誤差出現(xiàn)得性質(zhì)決定了人們不可能正確地獲得單個測定值得真誤差δi得數(shù)值,而只能在一定得概率意義之下估計測量隨機(jī)誤差數(shù)值得范圍,或者求得誤差出現(xiàn)于某個區(qū)間得概率。三測量結(jié)果得最佳值最佳值定義等精度測量最小二乘法原理運(yùn)用最小二乘法原理,可以解決從一列等精度測量得觀察值中確定被測量得最佳值。最小二乘法得基本原理就是:在具有同一精度得許多觀測值中,最佳值應(yīng)就是能使各觀測值得誤差得平方與為最小。結(jié)論:124有限測量次數(shù)中誤差得計算與各種誤差得表示法。1、標(biāo)準(zhǔn)誤差2、算術(shù)平均值得標(biāo)準(zhǔn)誤差(3-17)3、算術(shù)平均值得極限誤差(3-19)4、相對極限誤差(3-20)最后測量結(jié)果可寫成:(3-21)粗大誤差就是指不能用測量客觀條件解釋為合理得那些突出誤差,它明顯地歪曲了測量結(jié)果。含有粗大誤差得測定值稱為壞值,應(yīng)予以剔除。第四節(jié)可疑測量數(shù)據(jù)得剔除產(chǎn)生粗大誤差得原因:測量者得主觀原因客觀外界條件得原因一、拉伊特準(zhǔn)則拉伊特準(zhǔn)則(3σ準(zhǔn)則):如果測量列中某一測定值殘差vi得絕對值大于該測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差得3倍,那么可認(rèn)為該測量列中有粗大誤差存在,且該測定值為壞值。壞值剔除后,應(yīng)重新計算新測量列得算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)誤差,并再次進(jìn)行檢驗瞧余下得數(shù)據(jù)中就是否還含有壞值。拉伊特準(zhǔn)則就是判定粗大誤差存在得一種最簡單得方法。拉伊特準(zhǔn)則就是在重復(fù)測量次數(shù)n趨于無窮大得前提下建立得,當(dāng)n有限時,尤其就是當(dāng)n很小時(如n≤10),此準(zhǔn)則就不可靠。二、格拉布斯準(zhǔn)則對某一被測量進(jìn)行多次等精度獨立測量,獲得一列測定值x1,x2,…,xn。為了檢查測定值中就是否含有粗大誤差,將xi由小到大按順序排列為 格拉布斯按照數(shù)理統(tǒng)計理論導(dǎo)出了統(tǒng)計量得分布,取定危險率a,可求得臨界值g0(n,a),而

這樣,得到了判定粗大誤差得格拉布斯準(zhǔn)則:若測量列中最大測定值或最小測定值得殘差有滿足者,則可認(rèn)為含有殘差vi得測定值就是壞值,因此該測定值按危險率a應(yīng)該剔除。用格拉布斯準(zhǔn)則判定測量列中就是否含有粗大誤差得壞值時,選擇不同得危險率可能得到不同得結(jié)果。危險率得含義就是按本準(zhǔn)則判定為異常數(shù)據(jù),而實際上并不就是,從而犯錯誤得概率。危險率就就是誤剔除得概率。例5測某一介質(zhì)溫度15次,得到以下一列測定值數(shù)據(jù)(℃):20、42,20、43,20、40,20、43,20、42,20、43,20、39,20、30,20、40,20、43,20、42,20、41,20、39,20、39,20、40試判斷其中有無含有粗大誤差得壞值。解:(1)按大小順序?qū)y定值重新排列20、30,20、39,20、39,20、39,20、40,20、40,20、40,20、41,20、42,20、42,20、42,20、43,20、43,20、43,20、43(2)計算子樣平均值與測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差(3)選取a＝5％,查表得g0(15,5％)＝2、41(4)計算最大與最小測定值得殘差,并用格拉布斯準(zhǔn)則判定因故x(1)＝20、30在a＝5％下被判定為壞值而剔除。(5)剔除含有粗大誤差得壞值后,重新計算余下測定值得算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)誤差,查表求新得臨界值,再進(jìn)行判定。故余下得測定值中已無粗大誤差得壞值。判別法得選擇原則:除了上述萊依特、格拉布斯準(zhǔn)則外,可疑數(shù)據(jù)剔除得判別方法還有狄克準(zhǔn)則、肖維涅準(zhǔn)則、t檢驗準(zhǔn)則等。自學(xué)對上述兩種常用準(zhǔn)則得一般選擇原則簡述如下:1)從理論上講,當(dāng)測量次數(shù)n趨于無窮時,采用萊依特準(zhǔn)則更為合適。若,則采用格拉布斯準(zhǔn)則。2)在最多只有一個異常值時,采用格拉布斯準(zhǔn)則來判別壞值得效果最佳。3)在可能存在多個異常值時,應(yīng)采用兩種以上得準(zhǔn)則來交叉判別,否則效果不佳。第五節(jié)隨機(jī)誤差得計算一、直接測量誤差得計算進(jìn)行隨機(jī)誤差計算前,一般按以下步驟進(jìn)行:①首先剔除過失(或粗大)誤差。②修正系統(tǒng)誤差③最后在確定不存在粗大誤差與系統(tǒng)誤差得情況下,對隨機(jī)誤差進(jìn)行分析計算。

步驟:12(黑板說明)1)2)3)4)5)6)7)例子:內(nèi)燃機(jī)測試式3-5二權(quán)得概念非等精度測量中,。。。。。引入:權(quán)得概念

“權(quán)”就是用來評價測量結(jié)果質(zhì)量得標(biāo)志,當(dāng)對二次或若干次測量結(jié)果進(jìn)行對比時,“權(quán)”得數(shù)值越大,表示該測量結(jié)果得可信賴度越高?！皺?quán)”得數(shù)值與測量得標(biāo)準(zhǔn)誤差密切相關(guān)。

權(quán)定義;數(shù)學(xué)表達(dá):3-24

最佳值:計算式3-25加權(quán)算術(shù)平均值均方根誤差:3-26例子:3-6間接測量得誤差計算1只測一次誤差計算式例子:轉(zhuǎn)速測量2運(yùn)算中得函數(shù)誤差加減乘除多參數(shù)間接測量函數(shù)誤差計算得形式數(shù)學(xué)式例子3-28間接測量誤差分析與處理(具體)在間接測量中,測量誤差就是各個測量值誤差得函數(shù)。因此,研究間接測量得誤差也就就是研究函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差有下列三個基本內(nèi)容:已知函數(shù)關(guān)系與各個測量值得誤差,求函數(shù)即間接測量值得誤差。已知函數(shù)關(guān)系與規(guī)定得函數(shù)總誤差,要求分配各個測量值得誤差。確定最佳得測量條件,即使函數(shù)誤差達(dá)到最小值時得測量條件。

數(shù)學(xué)分析。。。。。結(jié)論Ⅰ:間接測量值得最佳估計值可以由與其有關(guān)得各直接測量值得算術(shù)平均值代入函數(shù)關(guān)系式求得。結(jié)論Ⅱ:間接測量值得標(biāo)準(zhǔn)誤差就是各獨立直接測量值得標(biāo)準(zhǔn)誤差與函數(shù)對該直接測量值偏導(dǎo)數(shù)乘積得平方與得平方根。

最后,應(yīng)指出以下兩點:1、上述各公式就是建立在對每一獨立得直接測量值xi進(jìn)行多次等精度獨立測量得基礎(chǔ)上得,否則,上述公式嚴(yán)格地說將不成立。2、對于間接測量值與各直接測量值之間呈非線性函數(shù)關(guān)系得情況,上述公式只就是近似得,只有當(dāng)計算y得誤差允許作線性近似時才能使用。

二、函數(shù)誤差得分配

在間接測量中,當(dāng)給定了函數(shù)y得誤差,再反過來求各個自變量得部分誤差得允許值,以保證達(dá)到對已知函數(shù)得誤差要求,這就就是函數(shù)誤差得分配。誤差分配就是在保證函數(shù)誤差在要求得范圍內(nèi),根據(jù)各個自變量得誤差來選擇相應(yīng)得適當(dāng)儀表。

1、按等作用原則分配誤差 等作用原則認(rèn)為各個部分誤差對函數(shù)誤差得影響相等,即

由此可得如果各個測量值誤差滿足上式,則所得得函數(shù)誤差不會超過允許得給定值。

2、按可能性調(diào)整

因為計算得到得各個局部誤差都相等,這對于其中有得測量值,要保證其誤差不超出允許范圍較為容易實現(xiàn),而對于有得測量值就難以滿足要求,因此按等作用原則分配誤差可能會出現(xiàn)不合理得情況。 同時當(dāng)各個部分誤差一定時,相應(yīng)測量值得誤差與其傳遞函數(shù)成反比。所以盡管各個部分誤差相等,但相應(yīng)得測量值并不相等,有時可能相差很大。

由于存在以上情況,對等作用原則分配得誤差,必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整得基本原則:測量儀器可能達(dá)到得精度技術(shù)上得可能性經(jīng)濟(jì)上得合理性各直接測量量在函數(shù)中得地位

對那些技術(shù)上難以獲得較高測量精度或者需要花費(fèi)很高代價才能取得較高測量精度得直接測量量,應(yīng)該放松要求,分配給較大得允許誤差;對那些比較容易獲得較高測量精度得直接測量量,則應(yīng)該提高要求,分配給較小得允許誤差;考慮到各直接測量量在函數(shù)關(guān)系中得地位不同,對間接測量結(jié)果得影響也不同,對于那些影響較大得直接測量量,應(yīng)該視具體情況提高其精度要求。

3、驗算調(diào)整后得總誤差 誤差調(diào)整后,應(yīng)按誤差分配公式計算總誤差,若超出給定得允許誤差范圍,應(yīng)選擇可能縮小得誤差項進(jìn)行補(bǔ)償。若發(fā)現(xiàn)實際總誤差較小,還可以適當(dāng)擴(kuò)大難以實現(xiàn)得誤差項。