5.3 誘導公式 課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

誘導公式一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓.

——畢達哥拉斯

xyOP(x,y)前面我們學習了三角函數(shù)，是借助于單位圓給出的，并根據(jù)定義得出了誘導公式一，刻畫“周而復始”這種變化規(guī)律及其幾何意義．之后利用單位圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合定義，獲得了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系．事實上，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性．圓的對稱性問題1：

在直角坐標系中能找到單位圓的哪些特殊對稱性呢？如圖，在直角坐標系內(nèi)，若設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1，你能想到單位圓上點P1的哪些特殊對稱點？可能想到的對稱性有：①點P1關(guān)于原點的對稱點；②點P1關(guān)于x軸的對稱點；③點P1關(guān)于y軸的對稱點．追問

如果允許在坐標系內(nèi)添加直線，你又能想到哪些？如果允許做兩次對稱變換，你還能想到哪些？④點P1關(guān)于直線y＝x的對稱點；⑤點P1關(guān)于直線y＝x的對稱點，再關(guān)于y軸的對稱點；⑥點P1關(guān)于x軸的對稱點，再關(guān)于直線y＝x的對稱點；……如何將這些對稱性代數(shù)化呢？可能想到的對稱性有：①點P1關(guān)于原點的對稱點；②點P1關(guān)于x軸的對稱點；③點P1關(guān)于y軸的對稱點．

問題2：

在直角坐標系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1，作P1關(guān)于原點的對稱點P2．（1）以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？（2）角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？xyOxyO關(guān)注一下對稱點和的坐標之間的關(guān)系。xyOxyO因為P2是點P1關(guān)于原點的對稱點，所以xyO根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式二：追問1上述推導過程中用到點P1所在位置的條件了嗎？如果點P1在第二象限，那么點P2的坐標與點P1的坐標之間有什么關(guān)系？如果點P1在y軸負半軸上呢？在其他位置呢？據(jù)此，公式二中的角α的大小是多少？回顧推導過程，發(fā)現(xiàn)不論點P1在哪里，點P2的坐標與點P1的坐標之間的關(guān)系都不變.

即對于正弦和余弦的誘導公式，可以是任意角；對于正切的誘導公式，的終邊不能落在y軸上，即

追問2探究公式二的過程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊含的數(shù)學思想是什么？第一步，根據(jù)圓的對稱性，建立角之間的聯(lián)系；第三步，等量代換，得到三角函數(shù)值的關(guān)系.第二步，形的關(guān)系代數(shù)化，建立坐標之間的關(guān)系；形聯(lián)系性數(shù)研究誘導公式的一般套路追問3角π＋α還可以看作是角α的終邊經(jīng)過怎樣的變換得到的？結(jié)論：角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角π得到的．

問題3：

請你類比公式二的研究思路，如果作關(guān)于x軸（或y軸）的對稱點（或），那么又可以得到什么結(jié)論？請大家自主探究和推理論證圓的對稱性角與角的關(guān)系坐標間的關(guān)系三角函數(shù)的關(guān)系xyO以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即：因此，只要探究角與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可.設(shè)因為是點關(guān)于x軸的對稱點所以作點關(guān)于x軸的對稱點xyO所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式三：作點關(guān)于x軸的對稱點xyO以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即：因此，只要探究角與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可.設(shè)因為是點關(guān)于y軸的對稱點所以作點關(guān)于y軸的對稱點所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式四：xyO作點關(guān)于y軸的對稱點追問公式三和公式四中的角α是多大的角？類比公式二我們可以知道，發(fā)現(xiàn)不論點P1在哪里，點P3（

或P4）的坐標與點P1的坐標之間的關(guān)系都不變.

即對于正弦和余弦的誘導公式，可以是任意角；對于正切的誘導公式，的終邊不能落在y軸上，即誘導公式一～四公式三：公式四：公式二：公式一：誘導公式一～四

的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時的原函數(shù)值的符號例1利用公式求下列三角函數(shù)值分析：題目中的角與那個特殊角接近？拆分之后應(yīng)該選擇哪個誘導公式?例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：問題4：由例1，你對公式一～公式四的作用有什么進一步的認識？你能自己歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？任意正角的三角函數(shù)任意負角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)的角的三角函數(shù)用公式三或一用公式一用公式二或四例2化簡分析：本題與例1的異同是什么？由例1總結(jié)出的求解程序在此如何應(yīng)用？例2化簡小結(jié)思考：誘導公式與三角函數(shù)和圓之間有怎樣的關(guān)系？你學習了哪些基本知識，獲得了怎樣的研究問題的經(jīng)驗？（1）誘導公式是圓的對稱性的代數(shù)化，是三角函數(shù)的性質(zhì).（2）學習了三組誘導公式，其研究方法如下：作業(yè)基本作業(yè)：課本191頁練習1、2、3、4題.拓展作業(yè)：你能類比公式二的研究方法，利用④點P1關(guān)于直線