專題06相似三角形中的基本模型之半角模型（原卷版）

專題06相似三角形中的基本模型之半角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見(jiàn)模型及結(jié)論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結(jié)論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結(jié)論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊、上，、分別交于點(diǎn)M、N，連接、，且．下列結(jié)論：①，；②；③；④；⑤圖中只有4對(duì)相似三角形，其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

例2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊上的點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

例3．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，點(diǎn)、在邊上，．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．例4．（2023·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D、E都在邊上，．若，則的長(zhǎng)為．例5．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？计谀?）如圖1，、為等邊中邊所在直線上兩點(diǎn)，，求證：；（2）中，，請(qǐng)用不含刻度的直尺和圓規(guī)在上求作兩點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，使得為等邊三角形；（3）在（1）的條件下，為邊上一點(diǎn)，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，，求的值．（用含有的代數(shù)式表示）例6．（2023江蘇九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于點(diǎn)H，AH=10，連接BD，分別交AE、AH、AF于點(diǎn)P、G、Q．（1）求△CEF的周長(zhǎng)；（2）若E是BC的中點(diǎn)，求證：CF=2DF；（3）連接QE，求證：AQ=EQ．例7．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）在矩形中，，（），點(diǎn)E、F分別是邊、上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作，交直線于點(diǎn)G．

(1)如圖1：若，，，，則________，________；(2)如圖2：若，，過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G，過(guò)E作，交于點(diǎn)H，求證：；(3)如圖3：若，，過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G，，直接寫出的值________．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東深圳·九年級(jí)校考期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，連接CN、EN，且CN＝EN．下列結(jié)論：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④圖中只有4對(duì)相似三角形，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022秋·湖南懷化·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，等腰直角三角形，，、是上的兩點(diǎn)，且，過(guò)、作、分別垂直、，垂足為、，交于點(diǎn)，連接、．其中①四邊形是正方形；②；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023春·貴州遵義·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正確的是（

）A．②④ B．①③ C．②③ D．①④4．（2023·廣東汕頭·?？既＃┤鐖D，在正方形中，，為中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，且，，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則以下結(jié)論；①②③④；中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形的邊取一點(diǎn)E，將沿折疊，使得點(diǎn)A落在邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，已知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G到直線的距離為．6．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊BC及其延長(zhǎng)線上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求證：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．7．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=AC，D是邊BC上一點(diǎn)，E是射線BC上一點(diǎn)，且∠DAE=∠B．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：．(2)如圖2，已知AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若，求CE的長(zhǎng)．8．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：在中，，點(diǎn)E、D是底邊所在直線上的兩點(diǎn)，連接、．若．求證：(1)；(2)．9．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）【發(fā)現(xiàn)】如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，連接EF．因?yàn)锳B=AD，所以把ΔABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔADG，可使AB與AD重合．因?yàn)椤螩DA=∠B=90°，所以∠FDG=180°，所以F、D、G共線．如果__________（填一個(gè)條件），可得ΔAEF≌ΔAGF．經(jīng)過(guò)進(jìn)一步研究我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)BE，EF，F(xiàn)D滿足__________時(shí)，∠EAF=45°．【應(yīng)用】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=m，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2．（1）若m=8，點(diǎn)F在邊DC上，且∠EAF=45°（如圖），求DF的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)F在邊DC上，且∠EAF=45°，求m的取值范圍．10．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠EDF＝45°．（1）觀察猜想：如圖1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DCG，使AD與DC重合，易得EF、AE、CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出它們之間的關(guān)系式_____；（2）類比探究：如圖2，若∠A、∠C都不是直角，則當(dāng)∠A與∠C滿足數(shù)量關(guān)系_____時(shí)，EF、AE、CF三條線段仍有（1）中的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的長(zhǎng)．11．（2023春·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，．(1)如圖1，若點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，求證：；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，求證：；(3)如圖3，若，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，則等式仍成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)與證明】如圖①，正方形中，分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖中與可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過(guò)程．

（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使___________，連接；（2）求證：．【問(wèn)題拓展與應(yīng)用】（3）某公園管理人員發(fā)現(xiàn)該公園有一塊綠地，如圖②所示，四邊形是平行四邊形，已知米，米，．為提升游客游覽的體驗(yàn)感，準(zhǔn)備修建三條賞花通道、、，要求點(diǎn)在邊上，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，現(xiàn)計(jì)劃在所在區(qū)域種植郁金香，種植郁金香的費(fèi)用為每平方米12元，求該公園種植郁金香需要投入多少資金．13．（2023·江西吉安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）【模型建立】(1)如圖1，在正方形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的探究思路如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明．①，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；②小亮發(fā)現(xiàn)這里可以由經(jīng)過(guò)一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫出這種圖形變換的過(guò)程________．像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．【類比探究】(2)如圖2，在四邊形中，，與互補(bǔ)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，試問(wèn)線段，，之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，，，求的長(zhǎng)．14．（2023·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題探究】（1）如圖①，在正方形中，為對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求證：．【拓展延伸】（2）如圖②，在菱形中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，AF的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．①求證：；②若，，連接M