33冪函數(shù)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練(人教A版2019)（原卷版）

3.3冪函數(shù)一、冪函數(shù)的圖象與概念1、定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2、冪函數(shù)的特征：（1）xα的系數(shù)是1；（2）xα的底數(shù)x是自變量；（3）xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù)．對(duì)于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．3、冪函數(shù)的圖象同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的圖象(如圖二、冪函數(shù)的性質(zhì)1、所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；2、如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；3、如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點(diǎn)趨向于＋∞時(shí)，圖象在x軸上方無限接近x軸；4、在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．題型一判斷是否為冪函數(shù)【例1】下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式11】下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式12】下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是（）A．y＝2xB．y＝x－1C．y＝D．y＝x2【變式13】下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)镽的冪函數(shù)是（）A．B．C．D．題型二求冪函數(shù)的解析式【例2】（多選）如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（）A．B．C．D．無解【變式21】已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的解析式為=__________．【變式22】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解析式是_____.【變式23】已知冪函數(shù)在為減函數(shù)，則___________.【變式24】已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則___________．題型三冪函數(shù)定義域問題【例3】函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【變式31】函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【變式32】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．RB．C．D．【變式33】若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________題型四冪函數(shù)的值域問題【例4】函數(shù)在區(qū)間[－4，－2]上的最小值是____．【變式41】若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值域?yàn)開___________．【變式42】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A．1B．C．D．【變式43】冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【變式44】已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為_____．題型五冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用【例5】冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【變式51】函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列四個(gè)說法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果時(shí)，那么.其中正確的是（）.A．①④B．①C．①②D．①③④【變式52】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的大致圖象是（）A．B．C．D．【變式53】圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【變式54】若冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，則（）A．；B．，；C．，；D．，．【變式55】函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．題型六冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【例6】三個(gè)冪函數(shù)（1），（2），（3）都經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【變式61】若函數(shù)與圖象關(guān)于對(duì)稱，且，則必過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【變式62】函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)A．B．C．D．【變式63】函數(shù)恒過定點(diǎn)______．【變式64】函數(shù)的圖象過定點(diǎn)________．【變式65】冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)____．題型七利用冪函數(shù)單調(diào)性解不等式【例7】若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（16，8），則的解集為（）A．（–∞，0）∪（1，+∞）B．（0，1）C．（–∞，0）D．（1，+∞）【變式71】已知函數(shù)，那么不等式的解集為__________．【變式72】若，求a的取值范圍.【變式73】已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式74】已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型八冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例8】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，記的值域?yàn)榧?，若集合，且，求?shí)數(shù)的取值范圍.【變式81】已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域．【變式82】已知函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)