2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.2.2最大值最小值問題學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE2．2最大值、最小值問題授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第32頁(yè)[自主梳理]函數(shù)的最大值與最小值1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上全部點(diǎn)的函數(shù)值都不超過f(x0)．2.最大值或者在__________取得，或者在________取得．3．要想求函數(shù)的最大值，應(yīng)首先求出函數(shù)的極大值點(diǎn)，然后將全部極大值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中________即為函數(shù)的最大值．4．函數(shù)的最小值點(diǎn)也具有類似的意義和求法．函數(shù)的________和________統(tǒng)稱為最值．[雙基自測(cè)]1．函數(shù)f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．是增函數(shù)，無最值 B．是減函數(shù)，無最值C．有最大值 D．有最小值2．將8分為兩數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不對(duì)3．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，當(dāng)所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為(A．6cm BC．10cm D4．若函數(shù)f(x)在[a，b]上滿意f′(x)>0，則f(a)是函數(shù)的最________值，f(b)是函數(shù)的最________值．[自主梳理]2．極大值點(diǎn)區(qū)間的端點(diǎn)3.最大的值4.最大值最小值[雙基自測(cè)]1．Af′(x)＝2＋sinx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)．2．B設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y′＜0；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，y′＞0.所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最?。?．B設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，則在(0,24)內(nèi)有解x＝8，故當(dāng)x＝8時(shí)，V有最大值．4．小大f′(x)>0，所以f(x)在[a，b]上是增加的，f(b)為最大值，f(a)為最小值．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第33頁(yè)探究一求函數(shù)的最值[例1]求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最值：(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝sin2x＋x，x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]．[解析](1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，則6x2－6x－12＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.∵f(－1)＝12，f(2)＝－15，f(－2)＝1，f(3)＝－4，∴函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值為12，最小值為－15.(2)f′(x)＝2cos2x＋1，令f′(x)＝0，又x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，得x＝eq\f(π,3)或x＝－eq\f(π,3).∵f(eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3)，f(－eq\f(π,3))＝－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)，又f(eq\f(π,2))＝eq\f(π,2)，f(－eq\f(π,2))＝－eq\f(π,2)，∴f(x)max＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3)，f(x)min＝－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3).求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，一般是先找出該區(qū)間上使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，無需推斷出是極大值還是微小值，只需將這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值．1．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)求f(x)在區(qū)間[－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)]上的最大值和最小值．解析：f(x)的定義域?yàn)?－eq\f(3,2)，＋∞)．(1)f′(x)＝eq\f(2,2x＋3)＋2x＝eq\f(4x2＋6x＋2,2x＋3)＝eq\f(2(2x＋1)(x＋1),2x＋3).當(dāng)－eq\f(3,2)<x<－1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－1<x<－eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>－eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在區(qū)間(－eq\f(3,2)，－1)，(－eq\f(1,2)，＋∞)上是增加的，在區(qū)間(－1，－eq\f(1,2))上是削減的．(2)由(1)知f(x)在區(qū)間[－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)]上的最小值為f(－eq\f(1,2))＝ln2＋eq\f(1,4).又因?yàn)閒(－eq\f(3,4))－f(eq\f(1,4))＝lneq\f(3,2)＋eq\f(9,16)－lneq\f(7,2)－eq\f(1,16)＝lneq\f(3,7)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1－lneq\f(49,9))<0，所以f(x)在區(qū)間[－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)]上的最大值為f(eq\f(1,4))＝eq\f(1,16)＋lneq\f(7,2).探究二求含參數(shù)的函數(shù)的最值[例2]已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝3x2－2ax，因?yàn)閒′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又當(dāng)a＝0時(shí)，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).當(dāng)eq\f(2a,3)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0,2]上是增加的，從而f(x)max＝f(2)＝8－4a；當(dāng)eq\f(2a,3)≥2，即a≥3時(shí)，f(x)在[0,2]上是削減的，從而f(x)max＝f(0)＝0；當(dāng)0<eq\f(2a,3)<2，即0<a<3時(shí)，f(x)在[0，eq\f(2a,3)]上是削減的，在[eq\f(2a,3)，2]上是增加的，從而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a，0<a≤2，,0，2<a<3.))綜上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a，a≤2，,0，a>2.))含參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類探討，應(yīng)分清探討的緣由，如本題要比較兩根在不在區(qū)間[0,2)內(nèi)或根之間要分出大?。?．已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.x改變時(shí)，f(x)與f′(x)的改變狀況如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,1]上是增加的，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)0＜k－1＜1，即1＜k＜2時(shí)，由(1)知f(x)在[0，k－1]上是削減的，在(k－1,1]上是增加的，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k－1≥1，即k≥2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,1]上是削減的．所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.探究三生活中的優(yōu)化問題[例3]某種商品每件的成本為9元，當(dāng)售價(jià)為30元時(shí)，每星期可賣出432件．假如降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期可多賣出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？[解析](1)設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)星期里的獲利為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，又由已知條件，24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)依據(jù)(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12.當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072微小值極大值0因?yàn)閒(0)＝9072＜f(12)＝11664，所以x＝12時(shí)，f(x)取得最大值；即當(dāng)定價(jià)為30－12＝18元時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的一般步驟(1)抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函數(shù)可能的極值點(diǎn)；(3)比較函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值和可能極值點(diǎn)的函數(shù)值的大小，得出函數(shù)f(x)的最大值或最小值；(4)依據(jù)實(shí)際問題的意義給出答案．3．某商場(chǎng)銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．解析：(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)極大值42由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用[例4](本題滿分12分)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi)，預(yù)料當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí)，一年的銷售量為(12－x)2萬件．(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q(a)．[解析](1)分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11].2分(2)L′＝(12－x)(18＋2a－3x)，令L′＝0，得x＝6＋eq\f(2,3)a或x＝12(不合題意，舍去)．因?yàn)?≤a≤5，所以8≤6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3).在x＝6＋eq\f(2,3)a兩側(cè)，由左向右L′的值由正變負(fù)，4分所以當(dāng)8≤6＋eq\f(2,3)a＜9，即3≤a＜eq\f(9,2)時(shí)，Lmax＝L(9)＝9(6－a)，當(dāng)9≤6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3)，即eq\f(9,2)≤a≤5時(shí)，Lmax＝Leq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)a))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)a))3.9分Q(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9(6－a)，3≤a＜\f(9,2)，,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)a))3，\f(9,2)≤a≤5.))10分即若3≤a＜eq\f(9,2)時(shí)，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(萬元)；若eq\f(9,2)≤a≤5時(shí)