山西省大同市重點(diǎn)高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中試題 數(shù)學(xué)

年級高二學(xué)科數(shù)學(xué)說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.第I卷（60分）一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)，向量，，，且，，則的值為（）A B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直列方程來求得.【詳解】由于，所以，所以.故選：A2.已知直線過點(diǎn)，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率公式計算．【詳解】因為直線過點(diǎn)，，所以由過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得直線的斜率.故選：C．3.已知直線與平行，則與的距離為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由兩直線平行，求出，得到，再由兩平行線間的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為直線與平行，所以，解得，所以，即，因此與的距離為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查兩平行線間的距離，熟記距離公式，以及直線平行的判定條件即可，屬于?？碱}型.4.已知圓方程：，則直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】求得圓心和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理求得正確答案.【詳解】圓，即，所以圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得弦長為.故選：B5.若圓與圓外切，則A.21 B.19 C.9 D.-11【答案】C【解析】【詳解】試題分析：因為,所以且圓的圓心為,半徑為,根據(jù)圓與圓外切的判定(圓心距離等于半徑和)可得,故選C.考點(diǎn)：圓與圓之間的外切關(guān)系與判斷6.雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，則到右焦點(diǎn)的距離為（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義直接得解.【詳解】設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，由雙曲線，可得，又，則，故選：B.7.已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得即可得的范圍，再選取該范圍的一個真子集即可求解.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：．所以成立的充要條件是：．結(jié)合四個選項可知：成立的充分不必要條件是，故選：B.8.如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別為和的中點(diǎn)，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故選：D二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，分拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線的方程為，和拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線的方程為，分別代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，計算可得選項．【詳解】解：若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線的方程為，又因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為.若拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線的方程為，又因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為.故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)訪，注意考慮拋物線的焦點(diǎn)所在的位置，屬于基礎(chǔ)題．10.已知曲線.（）A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合選項進(jìn)行逐項分析求解，時表示橢圓，時表示圓，時表示雙曲線，時表示兩條直線.【詳解】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11.在長方體中，，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，所以、、、，所以，故A正確；，故B正確；，，，，所以，，故，即C正確；因為，所以與不垂直，故D錯誤；故選：ABC12.已知為橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，軸，垂足為(異于原點(diǎn))，與橢圓的另一個交點(diǎn)為，則（）AB.面積的最大值為C.周長的最小值為12D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A,設(shè)，則，設(shè),利用點(diǎn)差法推出，判斷A；利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式，判斷B；利用橢圓的定義以及幾何性質(zhì)判斷C；利用基本不等式中“1”的巧用，結(jié)合基本不等式可判斷D.【詳解】對于A,設(shè)，則，設(shè),由題意可知，則，兩式相減得，即，即,由,則，即，故A正確；對于B，由A的分析可知，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，故B正確；對于C，由題意知左焦點(diǎn)為,設(shè)右焦點(diǎn)為，，則根據(jù)橢圓的對稱性可知,故周長為,而的最小值為橢圓的短軸長，由題意可知不能與橢圓短軸重合，故周長大于，C錯誤；對于D，由C的分析可知，，故,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】本題綜合考查了橢圓的定義的應(yīng)用以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到線段的垂直和三角形面積以及周長的最值得求法，解答時要注意綜合利用橢圓的相關(guān)知識以及基本不等式的知識解決問題，屬于較難題，計算量較大.第II卷（90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，若共面，則等于_______【答案】9【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面列方程，由此求得的值.【詳解】由于共面，所以存在，使得，即，所以，解得.故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線﹣=1(a＞0)的一條漸近線方程為y=x，則該雙曲線的離心率是____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求得，由此求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線，故.由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.已知圓，圓，點(diǎn)M，N分別是圓C1、圓C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PN|－|PM|的最大值是_______.【答案】9【解析】【分析】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)等知識來求得|PN|－|PM|的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.所以，，所以.關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，,所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立.所以|PN|－|PM|的最大值是.故答案為：16.如圖，二面角為，，，過，分別作的垂線，垂足分別為，，若，，，則的長度為______.【答案】3【解析】【分析】因為，，，結(jié)合空間向量距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】因為，，，所以，又因為二面角為，所以，所以.故答案為：3.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.分別求滿足下列條件的曲線方程（1）以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；（2）過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得出的值后寫橢圓方程（2）待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解【小問1詳解】的短軸頂點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求橢圓方程為．【小問2詳解】根據(jù)雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為．18.已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.19.已知直線與圓交于兩點(diǎn)．（1）求出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)（2）求直線的斜率的取值范圍（3）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）為定值.【解析】【分析】（1）將直線方程整理后可得方程組，解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線方程，利用圓心到直線距離小于半徑可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）可設(shè)直線方程，與圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，由整理可得定值.【詳解】（1）將直線方程整理為：，令，解得：，直線恒過定點(diǎn)；（2）設(shè)直線斜率為，由（1）可知：直線方程可設(shè)為：，即；圓方程可整理為，則其圓心，半徑，直線與圓交于兩點(diǎn)，圓心到直線距離，即，解得：，即直線斜率的取值范圍為；（3）設(shè)，當(dāng)時，與圓僅有一個交點(diǎn)，不合題意，，則直線，可設(shè)直線方程為，由得：，由（2）知：；，，，定值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓中的定值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅勘硎境身f達(dá)定理的形式，通過韋達(dá)定理代入整理，消去變量即可得到定值.20.如圖，在直三棱柱中，，，.M為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角大小.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）【解析】【分析】小問1：由于，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；小問2：以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直關(guān)系即可證明；小問3：分別求得平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解．【小問1詳解】在直三棱柱中，，且平面，平面所以AC平面；【小問2詳解】因為，故以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：則，所以則所以又平面，平面故平面；【小問3詳解】由，得，設(shè)平面的一個法向量為則得又因為平面的一個法向量為所以所以二面角的大小為21.如圖，四棱錐中，，且是邊長為2的等邊三角形.若平面平面ABCD，，直線SC與平面SAB所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值求得，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，因為平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，，所以平面，平面ABCD，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意知，所以.設(shè)平面SAB的法向量為，則，即，則，取，得，故.設(shè)，則，則，解得，即，故.22.已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，