安徽省皖南八校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

“皖南八校”高三第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：集合與邏輯?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)?解三角形.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則的子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求出，進而求出子集個數(shù).【詳解】依題意，集合，集合，于是，所以的子集個數(shù)為.故選：D2.已知是定義域為的函數(shù)，則“，使”是“是上的增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與充分必要條件定義判斷即可.【詳解】“，使”不能推出“是上的增函數(shù)”，如，滿足，使，但不是上的增函數(shù).反之，若是上的增函數(shù)，由增函數(shù)的定義，可知一定，使.所以“，使”是“是上的增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：C.3.設(shè)實數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，給合題意，可得答案.【詳解】因為，所以不等式的解集為或.故選：A.4.已知，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式化簡已知等式，再根據(jù)誘導(dǎo)公式簡化即可得到答案.【詳解】故選:A5.當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】作出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，觀察在上的兩個函數(shù)的圖象，共有5個交點.故選：C.6.設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列式求解即得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，而函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程為，因此，解得.故選：D7.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.是以為周期的函數(shù)B.直線是曲線的一條對稱軸C.函數(shù)的最大值為，最小值為D.函數(shù)在上恰有2024個零點【答案】C【解析】【分析】對于A，用周期性定義驗證即可；對于B,用對稱性定義驗證即可；對于C,易知是函數(shù)的一個周期，所以只需考慮在上的最大值.結(jié)合換元和二次函數(shù)，正弦函數(shù)最值問題求解即可；對于D,先研究函數(shù)在上的零點個數(shù)，再用周期性拓廣即可.【詳解】對于A,因為與不恒相等，所以不是的周期，故A錯誤；對于B,又與不恒相等，故B錯誤；對于C,易知是函數(shù)的一個周期，所以只需考慮在上的最大值.①當(dāng)時，，令，則，易知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，②當(dāng)時，,令，則，知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，綜上所述函數(shù)最大值為，最小值為，故C正確；對于D,先研究函數(shù)在上的零點個數(shù)，由C可知,當(dāng)時，令得，又因為，在只有唯一解，即此時函數(shù)只有唯一零點.同理可得當(dāng)時函數(shù)也只有唯一零點.所以函數(shù)在上恰有2025個零點.故D錯誤.故選:C.8.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將三個數(shù)進行恒等變形，使三個數(shù)中都出現(xiàn)，結(jié)合三個數(shù)據(jù)的形式構(gòu)造定義域在上的函數(shù)，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，確定時的函數(shù)值與的大小關(guān)系，即可比較三個數(shù)的大小.【詳解】由題意得，.令，則，令，則，令，則，當(dāng)時，，∴在上是減函數(shù)，且，，∴，使得，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).∵，，∴當(dāng)時，，∴在上為增函數(shù).∵，∴，∴.②令，則，∴在上為增函數(shù).∵,∴，∴.故選：B.【點睛】方法點睛：構(gòu)造函數(shù)比大小問題，比較兩個數(shù)大小的方法如下：①將兩個數(shù)恒等變形，使兩數(shù)有共同的數(shù)字，②將看成變量，構(gòu)造函數(shù)，③分析包含的某個區(qū)域的函數(shù)單調(diào)性，④根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）A.若，則有兩解B.若，則C.若，則為銳角三角形D.若，則為等腰三角形【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理、余弦函數(shù)的單調(diào)性對選項逐一分析即可.【詳解】由正弦定理，得，則，此時無解，故錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞減，則時，，故正確；因為，角為的內(nèi)角，所以，知均為銳角，則為銳角三角形，故正確；，由余弦定理，得，整理得或，即或為等腰三角形或直角三角形，故錯誤.故選：.10.已知實數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A.的最小值為1B.的最小值為18C.的最大值是D.的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】利用對數(shù)運算、指數(shù)冪的運算結(jié)合基本不等式及配湊法對選項逐一分析即可判斷.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，與0矛盾，故錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故正確.故選：.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)與圖象有相同的切線B.函數(shù)有兩個單調(diào)區(qū)間C.存在實數(shù)，使得函數(shù)和有相同的最小值D.已知直線與兩條曲線和共有三個不同的交點，且從左到右三個交點的橫坐標(biāo)分別為，則【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，由相同切線建立方程判斷A；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷B；取，求出函數(shù)的最小值判斷C；確定曲線有交點，數(shù)形結(jié)合求出判斷D.【詳解】對于A，設(shè)直線與曲線分別相切于點，，則直線或，即或，則有，消去得，令，而，函數(shù)在R上的圖象連續(xù)不斷，則函數(shù)有零點，即曲線有相同的切線，A正確；對于B，函數(shù)的定義域為，，令，則在和上單調(diào)遞增，又，，于使得，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，則，函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，B錯誤；對于C，當(dāng)時，令，，，，由，得，由，得，在上遞減，在上遞增，，由，得，由，得，在上遞減，在遞增，，C正確；對于D，由選項C知，，，作出的大致圖象：令二圖象交點，，當(dāng)直線與曲線和共有三個不同的交點時，直線必經(jīng)過點，即，而，，即，令，得，解得或，由，得，因此當(dāng)直線與曲線和共有三個不同的交點時，從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)依次為，則，而，因此，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出直線與兩條曲線交點的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，集合，若，則__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)確定的值，對函數(shù)求導(dǎo)，代入計算即得.【詳解】因為，故或，則或，因時，，不滿足，故.又因，故.故答案為：5.13.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點，兩個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】x∈0,π，則在區(qū)間0,π恰有三個極值點，兩個零點，則，解得.故答案為：.14.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于中心對稱，在上的可導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得的圖象關(guān)于軸對稱，可得是為周期函數(shù)，即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，則的圖象關(guān)于中心對稱，則，因為為奇函數(shù)，所以，即，得，設(shè)為常數(shù)，令，得，則，所以的圖象關(guān)于軸對稱，又因的圖象關(guān)于中心對稱,可得，則，故函數(shù)是周期為4的函數(shù)，因為，所以，，所以，所以.故答案為：四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知集合，集合，且：（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極小值1，無極大值.【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用并集的結(jié)果求出的值.（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.【小問1詳解】由，得，解得，則，而，，于是，解得，此時，符合題意，所以.【小問2詳解】由（1）知，的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.16.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值及函數(shù)的對稱中心；（2）設(shè)，若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），對稱中心為（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的公式化簡及圖象性質(zhì)易得結(jié)果；（2）將題干不等式轉(zhuǎn)化為，分別求出和的相應(yīng)最值，可得參數(shù)的范圍.【小問1詳解】，因為的最小正周期為，所以，故.所以，令，解得.所以的對稱中心為.【小問2詳解】因為對任意的都有，所以.因為，令，當(dāng)時，，得函數(shù).則；當(dāng)時，，則，所以，即即解得，故實數(shù)的取值范圍是.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：時，在恒成立.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）計算，根據(jù)、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）把不等式等價變形，根據(jù)、得，轉(zhuǎn)化不等式，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)分析單調(diào)性證明不等式.【小問1詳解】當(dāng)時，，由得,，故，由得,，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】要證明不等式恒成立，只需證明在上恒成立，∵，∴，∴要證，只需證.令，則.∵,∴,∴,∴在上為減函數(shù)，∵，∴在上恒成立，∴時，在恒成立.18.在中，角的對邊分別為.且滿足.（1）求角的大??；（2）若的面積，內(nèi)切圓的半徑為，求；（3）若的平分線交于，且，求的面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用和角公式化簡，借助于同角三角函數(shù)式和特殊角的函數(shù)值即得；（2）由等面積得出，，利用余弦定理得出，三式聯(lián)立即可求得邊；（3）結(jié)合題設(shè)，分別在，和中，由正弦定理推出邊的關(guān)系式，再利用基本不等式求得的最小值，繼而即得三角形面積最小值.【小問1詳解】由，可得，所以，即，因，則.【小問2詳解】由等面積法可得：，即：，所以①，②，在中，由余弦定理得，即③，由①②③解得：；小問3詳解】如圖，因平分，故，在中，設(shè)，則，在中，由正弦定理，得，則，在中，由正弦定理，得，則，得，故有（*）.在中，由正弦定理，得，則，得代入（*）式，可得，即.由基本不等式，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”.于是，.即的面積的最小值為.【點睛】思路點睛：解題時要注重題設(shè)條件的應(yīng)用，如三角形內(nèi)切圓半徑常與其面積聯(lián)系解題，內(nèi)角平分線常與正余弦定理結(jié)合使用，遇到兩參數(shù)的相關(guān)式求最值常與基本不等式掛鉤解題.19.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，，曲線與在處的切線的傾斜角互補.（1）求的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足和恒成立，則稱直線為函數(shù)和的“隔離直線”.證明：函數(shù)和之間存在唯一的“隔離直線”.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合傾斜角互補即斜率互為相反數(shù)即可求解；（2）對求導(dǎo)分析單調(diào)性及最值，利用二次求導(dǎo)分析的單調(diào)性及最值，可得的解析式，繼而即可求解.（3）由題意得點為函數(shù)的圖象的公共點，，可知函數(shù)的圖象在公共點處有公切線，通過構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性及最值來證明，，即可得證.【小問1詳解】由題得，所以，由題意可知，則.【小問2詳解】由，得，所以時，f′x<0，則是的單調(diào)遞減區(qū)間；時，f′x>0，則是的單調(diào)遞增區(qū)間.又由，得f1=0，時，，則x∈0,1時，時，；令，則恒成立，所以在x∈0,+∞又，則，使得恒成立，所以x∈0,x0時，，則是的單調(diào)遞增區(qū)間；x∈x0,+∞時，，則是的單調(diào)遞減區(qū)間又，則x∈0,1時，時，gx<0故，所以?x在和1,+∞上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故?x的單調(diào)遞增區(qū)間為.小問3詳解】證明：令，其公共定義域為0,+∞，則，則，所以點為函數(shù)的圖象的公