專題9-5圓錐曲線大題基礎定點歸類-2023年高考數學一輪復習熱點題型歸納與變式演練

專題95圓錐曲線大題基礎：定點歸類目錄TOC\o"13"\h\u【題型一】直線過定點基礎：y=kx+m型 1【題型二】直線過定點基礎：x=tx+m型 3【題型三】定點轉化1：斜率積型 5【題型四】定點轉化2：斜率和型 7【題型五】斜率轉化3：斜率比值型 8【題型六】訂單轉化4：三斜率型 11【題型七】圓過定點 13【題型八】切線型定點 15【題型九】圓切線切點弦定點 17真題再現 18模擬檢測 24【題型一】直線過定點基礎：y=kx+m型【典例分析】設橢圓C：（）過點，離心率為，橢圓的右頂點為A.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點M，N（M，N不同于點A），若，求證：直線l過定點，并求出定點坐標【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）利用待定系數法求得，從而求得橢圓C的方程；分類討論直線斜率存在與否的情況，利用韋達定理及向量數量積的坐標表示求得，從而得到直線過定點.【詳解】（1）依題意得，，又，解得（負值舍去），所以橢圓方程為.（2）由（1）得，當直線的斜率不存在時，可設直線為，代入，得，所以，設直線交軸于點，則，因為，故，又，所以，則，即，解得或(舍去)，所以直線過定點；當直線的斜率存在時，可設直線，，聯立，消去，得，則，，因為，則，即，又因為，所以，即，解得或，當時，直線過定點；當時，直線過定點（舍去）；所以直線直線過定點；綜上：直線直線過定點.【提分秘籍】基本規(guī)律定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與曲線方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點.【變式演練】已知橢圓E：的離心率為，且過點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知定點，直線l：滿足且與橢圓E相交于不同的兩點A，B，始終滿足，證明：直線l過一定點T，并求出定點T的坐標.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據離心率得到，把點代入橢圓方程解得答案.（2）聯立方程，利用韋達定理得到根與系數的關系，利用向量的運算法則根據得到，代入直線方程得到定點.【詳解】（1）橢圓離心率，故，設橢圓方程為，過點，故，解得，故橢圓方程為.（2）設，由，得，，即.，，，，故，故，即，解得：（舍去），且滿足.當時，，直線過定點.綜上可知，直線過定點，定點坐標為.【題型二】直線過定點基礎：x=tx+m型【典例分析】已知橢圓的焦距為，且經過點，(1)求橢圓的標準方程；(2)設為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點(不與短軸端點重合)滿足，直線分別交橢圓于兩點，求證：直線過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由由焦距為得，代入點得方程，結合即可求解；（2）由得，設直線：，聯立橢圓方程，結合韋達定理可化簡整理得m、n的關系式，即可由的關系，進一步討論過定點問題.【詳解】（1）由焦距為得，則，故代入點得，，故橢圓的標準方程為；（2）證明：由題意可知AB斜率不為0，可設直線AB方程為，，聯立，由得①，②，③.直線PA：，則有，同理有.由得，代入②③整理得，若，則直線AB：過點P，不合題意；若，則直線AB：，此時直線AB過定點，得證.【提分秘籍】基本規(guī)律（1）直線AB方程為，聯立曲線方程，結合韋達定理化簡整理得到只關于t、m的方程，即可求出t、m的關系，即可進一步討論直線AB過定點的情況；（2）設直線時注意考慮AB斜率不存在的情況，聯立方程也要注意討論判別式.【變式演練】如圖，平面直角坐標系內，為坐標原點，點在軸正半軸上，點在第一象限內，.(1)若過點，且為線段的中點，求直線的方程；(2)若，求的面積取得最大值時直線的方程；(3)設，，若，求證：直線過一定點，并求出此定點的坐標.【答案】(1)(2)(3)證明見解析，定點.【分析】（1）由題意，可設，，，由中點列關于方程組即可求解出坐標，計算斜率，利用點斜式寫出直線方程；（2）由，根據兩點距離公式列式，由基本不等式求解得，從而可得當，時三角形面積最大，從而得坐標，計算斜率，利用點斜式寫出直線方程；（3）設的方程為，表示出坐標，從而可得，，代入計算可得，即可得直線方程為，判斷得定點坐標.【詳解】（1）易知直線的方程為，設，，，為線段的中點，則，解得，所以，，所以，故直線的方程為：，即.（2）設，，.由，得，即.∵，∴，當且僅當，即，時取等號，所以的面積，當的面積取最大值時，，，所以，直線的方程為：，即.（3）由題意，直線斜率不為，設的方程為.令，得，即；令，得，即∴，由得：，即，∴的方程為，即，∴直線恒過定點.【題型三】定點轉化1：斜率積型【典例分析】已知圓C的圓心坐標為，與y軸的正半軸交于點A且y軸截圓C所得弦長為8．(1)求圓C的標準方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標．【答案】(1);(2)證明見解析，定點為.【分析】（1）設圓的標準為，求出即得解；（2）直線n斜率不存在時，不存在；直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，求出直線的方程為即得解.【詳解】（1）設圓的標準為，y軸截圓C所得弦長為8，即，故圓的標準方程為．（2）證明：令，可得，，又點在正半軸，故，當直線n斜率不存在時，設，，直線，的斜率之積為2，，即，點在圓上，，聯立，，舍去，當直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，①聯立方程，，，代入①，得，化簡得或，若，則直線過，與題設矛盾，舍.直線n的方程為：，所以且所以.所以過定點．【變式演練】已知拋物線：（）的焦點為，點在上，且．(1)求的方程；(2)若不過點的直線與相交于兩點，且直線，的斜率之積為1，證明：直線過定點．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式與拋物線方程列出關于的方程組，解之即可；（2）聯立方程利用韋達定理得，再由整理得，由此得到，直線為，從而求得定點.【詳解】（1）因為拋物線：，所以準線方程為，因為點在上，所以由拋物線焦半徑公式得，，聯立，解得或（由于，舍去），所以拋物線的方程為.（2）依題意，易知，直線的斜率存在（若不存在，則與拋物線至多只有一個交點），設直線為，，聯立，消去，得，則，，因為直線，的斜率之積為1，即，故，整理得，所以，得，故直線為，所以直線過定點.【題型四】定點轉化2：斜率和型【典例分析】在平面直角坐標系中，已知等軸雙曲線過點(1)求雙曲線的方程；(2)已知點，斜率為的直線與雙曲線交于兩點（不同于點），且，求證直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意，代入點，求解即可；（2）設，聯立直線和雙曲線，用坐標表示，結合韋達定理，可得或,分析即得解.（1）由等軸雙曲線知，又過點，所以，

解之得，所以雙曲線的方程為.（2）設，,聯立得,當時，,又因為，即,即，化簡得解得或,當,直線方程為,過定點,與重合，不成立，舍去；當，直線方程為，恒過點.【變式演練】．在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)曲線上存在一點，不經過點的直線與交于，兩點，若直線，的斜率之和為，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線與圓相切，兩圓內切的條件可得圓心到點的距離與直線的距離相等，再由拋物線的定義和方程可得解.（2）求得的坐標，設直線的方程為，與拋物線方程聯立，運用判別式大于和韋達定理，由兩點的斜率公式，化簡整理可得與的關系，再由直線過定點的求法，可得所求定點，即可得證.（1）圓的圓心為，半徑為，題意可得，動圓的圓心到點的距離與到直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為；（2）將代入拋物線可得（舍去），所以，因為直線的斜率不為，設直線的方程為，，，聯立直線與拋物線，可得，由題意可知，即，又，，因為直線與的斜率之和為，所以，化簡可得，此時，解得或，直線與拋物線有兩個交點，所以直線的方程為即，可得直線恒過定點.【題型五】斜率轉化3：斜率比值型【典例分析】已知雙曲線的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點為.(1)求雙曲線的方程；(2)經過點與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，點，直線與雙曲線分別交于另一點.①若直線與直線的斜率都存在，并分別設為.是否存在實常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.②證明：直線恒過定點.【答案】(1)(2)①存在，；②證明見解析【分析】（1）由點差法可得，結合及，可求得結果.（2）①又直線與雙曲線相交可求得，再設，聯立結合韋達定理可求得的坐標，進而得，代入可求解.②由①知,由對稱性知過的定點在軸上，計算可得解.【詳解】（1）由題意知，直線的斜率為，設，由題意，兩式相減得：，整理得：，即，又，所以，即雙曲線，經檢驗滿足題意.（2）①因為的斜率存在且，設，，聯立，消去整理得：，由題意得，解得又，設直線，聯立，整理得，由韋達定理得，又，，于是，故，同理可得，，，為定值，所以的值。②由①知（*），由對稱性知過的定點在軸上，在（*）令，得，解得直線恒過定點【變式演練】在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設折痕與直線的交點為．(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；(2)設，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析，定點【分析】（1）利用對稱性可知為定值，結合雙曲線定義可得點的軌跡的方程；（2）直線所過定點，則由對稱性得定點在軸上，設定點，三點共線得，從而可得定點.【詳解】（1）解：由題意得，所以，即的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線，又，，所以，所以的方程為；（2）解：由已知得：，：，聯立直線方程與雙曲線方程，消去整理得，由韋達定理得，所以，即，所以，聯立直線方程與圓方程，消去整理得，由韋達定理得，所以，即，因為，即，所以，若直線所過定點，則由對稱性得定點在軸上，設定點，由三點共線得，即，所以直線過定點．【題型六】訂單轉化4：三斜率型【典例分析】已知橢圓：（）的離心率為，的長軸的左、右端點分別為、，與圓上點的距離的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)一條不垂直坐標軸的直線交于C、D兩點（C、D位于x軸兩側），設直線、、、的斜率分別為、、、，滿足，問直線是否經過定點，若過定點，求出該定點，否則說明理由.【答案】(1)(2)直線過定點【分析】（1）根據條件可求得，然后即可得到橢圓的方程；（2）直線的方程為：，聯立橢圓方程，結合韋達定理然后根據條件求得直線的方程，即可得到結果.【詳解】（1）設，由題意知：，又∵，∴，則?！鄼E圓方程為：.（2）設直線的方程為：聯立方程得：，設、，∴，∵∴，同理∵∴∴∵∴∴即∴∴∴∴∴或.顯然直線不過點所以直線過定點【變式演練】且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．(1)求橢圓C的方程；(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．【答案】(1)(2)(3)證明見解析，定點的坐標為【分析】（1）根據題意，得到，再利用離心率，即可求出，得到橢圓C的方程.（2），設，①，利用②，把②代入①，得，進而利用二次函數的性質，即可求出，以及取最大值時點P的坐標.（3）設直線l的方程為，則，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理進行消參，等參數，進而化簡，即可得與的關系，進而，代入直線方程，可得，最后得到所求的直線的必過點.【詳解】（1）解：由題意可知，則，所以，所以（2）由（1）得橢圓C的方程為，則，設，則，因為點P在橢圓上，所以，則，則，所以當時，，此時，所以；（3）證明：，設直線l的方程為，聯立，消y得，則，則因為，則，即，即，即，即，化簡得，解得或，時過點A，舍去所以，所以直線l得方程為，所以直線l過定點．【題型七】圓過定點【典例分析】已知雙曲線經過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的方程.(2)若動直線經過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求實數的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，使得以線段為直徑的圓恒過點【分析】（1）由漸近線夾角得或，結合雙曲線所過點可求得，由此可得雙曲線方程；（2）假設存在點滿足題意，可知；假設直線方程，與雙曲線方程聯立可得韋達定理的結論，結合向量數量積的坐標運算可化簡整理，根據等式恒成立的求解方法可得的值.【詳解】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當時，由得：，，雙曲線的方程為：；當時，方程無解；綜上所述：雙曲線的方程為：.（2）由題意得：，假設存在定點滿足題意，則恒成立；方法一：①當直線斜率存在時，設，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當時，恒成立；②當直線斜率不存在時，，則，，當時，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.方法二：①當直線斜率為時，，則，，，，，，解得：；②當直線斜率不為時，設，，，由得：，，，，；當，即時，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.【變式演練】.已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，直線被雙曲線所截得的弦長為6．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，求證：以為直徑的圓恒過軸上的定點，并求此定點坐標．【答案】(1)；(2)定點坐標為，詳見解析.【分析】（1）由題可得雙曲線的漸近線為，然后直線方程與雙曲線方程聯立，結合弦長可得方程，進而即得；（2）當直線的斜率不為0時，可設，聯立雙曲線方程，利用韋達定理法可得以為直徑的圓的方程，然后令，結合條件可得定點，當直線的斜率為0時，易得以為直徑的圓過此定點，即得.【詳解】（1）由雙曲線，可得其漸近線為，∴雙曲線：的漸近線為，∴，即，∴雙曲線：，由，可得，解得，∴直線被雙曲線所截得的弦長為，解得，所以雙曲線的方程為；（2）當直線的斜率不為0時，可設，由，可得，設，則，，∴，，設以為直徑的圓上任意一點，則，∴以為直徑的圓的方程為，令，可得，∴，∴，由，可得，即以為直徑的圓恒過定點，當直線的斜率為0時，此時為實軸端點，顯然以為直徑的圓過點，綜上，以為直徑的圓恒過軸上的定點，此定點坐標為.【題型八】切線型定點【典例分析】動點到定點的距離和到直線的距離之比為，(1)求動點的軌跡；(2)設點，動點的軌跡方程為，過點作曲線的兩條切線，切點為，求證：直線過某一個定點.【答案】(1)動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線；；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，化簡可得軌跡方程，進而即得；（2）由題可設，，聯立雙曲線方程，利用判別式為0結合條件可得，，然后根據點在切線，上，進而可得直線方程，即得.【詳解】（1）由題可得，化簡可得，所以動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線；（2）設，由題可知切線的斜率存在，可設切線的斜率為，則，由，可得，所以，所以，即，又，所以，即，所以，所以，即，同理可得，又在切線，上，所以，所以滿足直線方程上，而兩點唯一確定一條直線，所以，當時，恒成立，即直線過定點.【變式演練】已知雙曲線的漸近線方程為，且經過點.(1)求雙曲線的方程；(2)若點Q是直線上一動點，過點Q引雙曲線兩條切線，切點為A，B，試探究：直線AB是否恒過定點.若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)直線恒過定點為.【分析】（1）由題意可設雙曲線方程為，將點代入即可求解；（2）設，，，設過的切線方程：代入雙曲線方程，由可求出切線，同理可得切線，從而得到直線，進而即可求解【詳解】（1）由題意可設雙曲線方程為，將點代入得到：，即.（2）設，，，設過A的切線方程：，代入雙曲線方程并整理得：.由得：，化簡得，展開整理得，由點A在雙曲線上，∴，∴，∴，即，當時，解得：，則切線；同理切線.當時，,切線方程為，檢驗知上述結論仍然成立；同理當時，，，檢驗知上述結論同樣成立.則點A、都是直線上的點，即（*）又點在直線上，則，代入（*）式有：，則定點為.【題型九】圓切線切點弦定點【典例分析】已知直線，O為坐標原點，動點Q滿足，動點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與圓交于不同的兩點A，B，當時，求k的值；(3)若，P是直線l上的動點，過點P作曲線C的兩條切線PC、PD，切點為C、D，探究：直線CD是否過定點.【答案】(1)(2)(3)過定點【分析】（1）首先設點，根據，代入坐標運算，即可求曲線的方程；（2）由題中的幾何條件可知，點O到l的距離，代入公式，即可求解；（3）首先求過四點O、P、C、D的圓的方程，再與曲線的方程相減，可得直線的方程，根據方程的形式，求直線所過定點.【詳解】（1）設點，依題意知，整理得，∴曲線C的方程為

（2）∵點O為圓心，，∴點O到l的距離∴；（3）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，（對角互補的四邊形的四頂點共圓）設，則圓心，半徑得即

又C、D在圓上∴即（直線CD是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程）由，得∴直線CD過定點【變式演練】．已知圓?，點?是直線?上一動點，過點?作圓?的切線?，切點分別是?和?.(1)當點?的橫坐標為3時，求切線的方程;(2)試問直線?是否恒過定點，若是求出這個定點，若否說明理由.【答案】(1)或；(2)直線?恒過定點?，理由見解析【分析】（1）分斜率存在，不存在討論，根據直線與圓的位置關系即得；（2）設?，由題可得以?為直徑的圓的方程，結合條件可得公共弦?的方程進而即得.【詳解】（1）由題可知，由圓?，可知圓心為，半徑為1，當切線的斜率不存在時，滿足題意，當切線的斜率存在時，可設切線為，則，解得，所以切線為，即，所以切線的方程為或；（2）直線?恒過定點?，設?，由題意知?在以?為直徑的圓上，又?，則以?為直徑的圓的方程為?，即?，又圓?，即?，兩式相減，故直線?的方程為?，即?，由?，解得?，即直線?恒過定點?.1.（·北京·高考真題）如圖，為橢圓的兩個頂點，為橢圓的兩個焦點．(1)寫出橢圓的方程及準線方程；(2)過線段上異于O，A的任一點K作的垂線，交橢圓于P，兩點，直線與交于點M．求證：點M在雙曲線上．【答案】(1)橢圓的方程為，準線方程為；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得，進而即得；（2）設，點，由題可得直線與的方程，進而可得交點的坐標，驗證即得.【詳解】（1）由題可設橢圓的方程為，則，∴，所以橢圓的方程為，準線方程為；（2）設，點，其中，則，直線的方程為，直線的方程為，由，可得，所以，又，因為，所以直線與交于點M在雙曲線上.2．（·重慶·高考真題（理））如圖，和是平面上的兩點，動點P滿足：．(1)求點P的軌跡方程；(2)若，求點P的坐標．【答案】(1)(2)，，，【分析】由已知，可根據橢圓的定義，判斷點P的軌跡為橢圓，設出橢圓方程，利用待定系數法，分別求解出即可；由已知，由可得：，將這個式子代入到中，利用余弦定理得到中，可得：，從而判斷點P的軌跡滿足雙曲線，求解出雙曲線的方程，令橢圓和雙曲線方程聯立，即可求解坐標.【詳解】（1）由已知，和是平面上的兩點，動點P滿足：，所以由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以和為焦點，長軸為的橢圓，設橢圓方程為：，由已知可得：半焦距，長半軸，所以，所以點P的軌跡方程為：.（2）由，得，①又因為，所以點P不為橢圓長軸的頂點，故點P、點M、點N三點組成三角形，在中，，，由余弦定理可知：，②將①代入②得：，所以，即，故點P的軌跡是以和為焦點，實軸為的雙曲線，設雙曲線方程為：，由已知可得：，，所以點P的軌跡方程為：.又因為點P又滿足橢圓方程：，所以由方程組：解得：，所以點P的坐標為：，，，.3．（·上海·高考真題）設分別為橢圓的左、右兩個焦點．(1)若橢圓C上的點到兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；(2)設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明．【答案】(1)；(2)；(3)見解析【分析】（1）由橢圓定義、代入點坐標得方程組，求解可得參數；（2）設，線段的中點為，由中點坐標公式得，代入橢圓方程即可得；（3）類比橢圓與雙曲線寫出性質，結合兩點斜率公式，利用雙曲線方程消元化簡即可證明【詳解】（1）點在橢圓C上，且到兩點的距離之和等于4，則，，解得，橢圓C的方程為；（2），則有，設，線段的中點為，則有，又K是橢圓上的動點，則有，即，即.故線段的中點的軌跡方程為（3）類似特性的性質為：若M、N是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P位置無關的定值．證明：設，，則，，，又，則4（·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系xOy中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C.(1)求實數b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)請問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論.【答案】(1)，且；(2)（，且）；(3)過定點和.【分析】（1）令得拋物線與軸交點，此交點不能是原點；令，則方程＞0，即可求的范圍．（2）設出所求圓的一般方程，令得到的方程與是同一個方程；令得到的方程有一個根為，由此求得參數及圓的一般方程．（3）把圓方程里面的b合并到一起，令b的系數為零，得到方程組，求解該方程組，即得圓過的定點．【詳解】（1）令得拋物線與軸交點是；令，由題意，且，解得，且．即實數的取值范圍，且．（2）設所求圓的一般方程為，由題意得的圖象與兩坐標軸的三個交點即為圓和坐標軸的交點，令得，，由題意可得，這與是同一個方程，故，．令得，，由題意可得，此方程有一個根為，代入此方程得出，∴圓的方程為（，且）．（3）把圓的方程改寫為，令，解得或，故圓過定點和．5．（2020·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）由題意得到關于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設出點，的坐標，在斜率存在時設方程為,聯立直線方程與橢圓方程，根據已知條件，已得到的關系，進而得直線恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設點，若直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據,代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標系將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為，設直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯立得，即，化簡得，即．設，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標系下直線過定點，則在原坐標系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A點處的切線方程為，即．設直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數）．即．對比項、x項及y項系數得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法四］：設．若直線的斜率不存在，則．因為，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因為，所以，即或．當時，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當時，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因為，即，所以點D在以線段為直徑的圓上運動．取線段的中點為，則．所以存在定點Q，使得為定值．1．已知直線：，，為坐標原點，動點滿足，動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程；(2)若直線與圓：交于不同的兩點，當∠時，求的值；(3)若，是直線上的動點，過點作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點．【答案】(1)(2)(3)直線過定點【分析】(1)設點，由兩點間的距離公式代入已知，化簡即可.(2)由點到直線的距離公式計算即可.(3)對角互補的四邊形的四頂點共圓，求出公共弦所在直線的方程，得出該直線過定點.（1）設點，依題意知，整理得，曲線的方程為（2）點為圓心，∠，點到的距離，；（3）由題意可知：四點共圓且在以為直徑的圓上，(對角互補的四邊形的四頂點共圓)設，則圓心，半徑得即又在圓：上即

(直線是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程)由得，直線過定點.2．已知圓C的圓心坐標為C（3，0），且該圓經過點A（0，4）．(1)求圓C的標準方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標．【答案】(1)；(2)證明見解析；定點.【分析】（1）設圓的標準為，求出即得解；直線n斜率不存在時，不存在；直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，求出直線的方程為即得解.（1）解：設圓的標準為，把代入得，故圓的標準方程為．（2）證明：當直線n斜率不存在時，設，，直線，的斜率之積為2，，，即，點在圓上，，聯立，，舍去，當直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，①聯立方程，，，代入①，得，化簡得或，若，則直線過，與題設矛盾，舍.直線n的方程為：，所以且所以.所以過定點．3．已知點在橢圓上，橢圓C的左右焦點分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用，結合三角形的面積公式，求出，即可求橢圓的方程.(2)（i）設直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，可得是方程的兩根，利用韋達定理即可證明.（ii）設直線的方程為，