物理化學(xué)-第三章-熱力學(xué)第一定律

第二章熱力學(xué)第二定律

熱二律的提出背景熱一律以能量守恒定律為根據(jù)，引入U(xiǎn)、H兩個(gè)熱力學(xué)函數(shù)，經(jīng)W、Q、ΔU及ΔH的計(jì)算，解決變化中的能量轉(zhuǎn)換。除此而外，另一被無機(jī)、有機(jī)、化學(xué)工程等領(lǐng)域共同關(guān)心的問題：

幾種放在一起的物質(zhì)間是否可能發(fā)生化學(xué)反應(yīng)？若可能，變化的方向?yàn)楹危谀睦锿Ｏ聛恚?/p>

方向問題：C(石墨)→C(金剛石)的變化極具價(jià)值，但歷史上的無數(shù)次試驗(yàn)均告失敗。

熱二律的提出背景

事實(shí)表明：一定條件下，并非任何變化都能朝著人們預(yù)期的方向進(jìn)行。提出的問題：確定條件下的方向?yàn)楹?？預(yù)期方向的實(shí)現(xiàn)需要何種條件？

應(yīng)用熱二律計(jì)算表明，常溫實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化所需壓力為大于1500MPa（～15000atm）。即常溫常壓下該變化正向是非自發(fā)的。

限度問題：在高爐煉鐵

3CO+Fe2O3==3Fe+3CO2(高溫)事實(shí)表明：一定條件下，變化是有限度的。

提出的問題：

確定條件下某變化的限度如何，平衡位置在哪？影響平衡位置的因素有哪些，怎樣影響？如何控制條件來控制平衡位置及轉(zhuǎn)化率？

熱二律的提出背景

方向和限度兩個(gè)問題是熱一律所不能解決的。熱二律將引入新的熱力學(xué)函數(shù)S、G、A，解決這兩個(gè)問題。學(xué)習(xí)要求及重點(diǎn)：深入理解熵、亥姆霍茲函數(shù)、吉布斯函數(shù)等概念；了解熱力學(xué)能和熵的本質(zhì)；掌握封閉系統(tǒng)PVT變化、相變化及化學(xué)變化三類過程ΔS、ΔA、ΔG的計(jì)算；理解熱力學(xué)重要關(guān)系式及其應(yīng)用；理解并掌握克拉貝龍方程及其應(yīng)用。第二章熱力學(xué)第二定律第三章熱力學(xué)第二定律

§3-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述

§3-2卡諾循環(huán)及熱機(jī)效率

§3-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理

§3-4熵變的計(jì)算

§3-5Helmholtz函數(shù)及Gibbs函數(shù)

§3-6熱力學(xué)重要關(guān)系式

§3-7克拉貝龍(Clapeyron)方程

§3-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述

一、自發(fā)過程在一定條件下能夠自己發(fā)生的過程（不需環(huán)境做功——非體積功）例如：水的流動(dòng)、熱的傳導(dǎo)、氣體的擴(kuò)散、溶質(zhì)的擴(kuò)散、原電池放電過程。明顯的自發(fā)變化：中和反應(yīng)、置換反應(yīng)鐵在潮濕空氣中自動(dòng)生銹經(jīng)引發(fā)明顯自發(fā)：2H2(g)

+O2(g)

→H2O(g)H2(g)

+Cl2(g)

→2HCl(g)難以覺察的自發(fā)：C(金剛石)→C(石墨)非自發(fā)：C(石墨)→C(金剛石)N2+O2→2NOC+H2→汽油

自然界的一切過程都是自發(fā)過程二、過程的可逆與不可逆性舉例：箱中有隔板隔開，一邊是空氣，另一邊抽成真空，抽開隔板后空氣自動(dòng)向真空膨脹，充滿整個(gè)容器，最后壓力達(dá)到均勻一致。這個(gè)過程是不可逆的，也即與上述方向相反的過程是不會(huì)自動(dòng)進(jìn)行的。需壓縮機(jī)做電功.系統(tǒng)復(fù)原時(shí)環(huán)境留下了功變熱的痕跡.自發(fā)過程推動(dòng)力自發(fā)方向限度平衡態(tài)過程做功逆過程氣體擴(kuò)散壓力差p高→p低Δp=0膨脹功壓縮機(jī)熱傳導(dǎo)溫度差T高→T低ΔT=0熱機(jī)制冷機(jī)電遷移電勢(shì)差E高→E低ΔE=0電功充電機(jī)化學(xué)反應(yīng)吉布斯函數(shù)差G高→G低ΔG=0電池電解池自發(fā)過程的共同特征：⑴都具明顯的單向自發(fā)傾向，逆過程需借助外力做功，且系統(tǒng)和環(huán)境不可同時(shí)復(fù)原；⑵都具一推動(dòng)力，推動(dòng)力消失為限度——平衡態(tài)；⑶加以控制和利用時(shí)，可獲得功；二、過程的可逆與不可逆性

結(jié)論：一切自發(fā)過程皆具有不可逆性。——找尋方向判據(jù)的依據(jù)。高溫?zé)嵩?T1)低溫?zé)嵩?T2)熱機(jī)(氣缸)Q1>0Q2<0-W熱機(jī)：熱循環(huán)轉(zhuǎn)化為功的機(jī)器。熱100%功有限度三、熱功轉(zhuǎn)換四、熱二律的經(jīng)典敘述克勞修斯(R.Clausius)說法，熱傳導(dǎo)的不可逆性：熱不能自動(dòng)從低溫?zé)嵩瓊飨蚋邷責(zé)嵩炊恍璀h(huán)境做功。開爾文(Kelvin)說法，功熱轉(zhuǎn)換的不可逆性：不可能從單一熱源吸熱100%對(duì)外做功而不留下任何變化。奧斯瓦德(Ostwald)說法：第二類永動(dòng)機(jī)不可能制造；

任何宏觀自發(fā)過程發(fā)生后，等價(jià)于一定數(shù)量的功轉(zhuǎn)化為熱，或一定數(shù)量的熱從高溫物體傳至低溫物體。不可簡(jiǎn)單逆轉(zhuǎn)和完全復(fù)原。

熱力學(xué)第二定律中可以找到類似的熱力學(xué)函數(shù)，只要計(jì)算函數(shù)的變化值，就能判斷過程的方向。通過一種理想的熱機(jī)循環(huán)卡諾循環(huán)，來導(dǎo)出一個(gè)重要的新的狀態(tài)函數(shù)

“熵”，符號(hào)“S”?！?-2卡若循環(huán)與熱機(jī)效率——熱轉(zhuǎn)化為功的限度卡諾熱機(jī)：理想氣體為工質(zhì)，經(jīng):恒溫可逆膨脹絕熱可逆膨脹恒溫可逆壓縮絕熱可逆壓縮pV●●●●Q1Q2A(p1,V1,T1)B(p2,V2,T1)C(p3,V3,T2)D(p4,V4,T2)熱機(jī)效率：應(yīng)用第一章所學(xué)求W高溫?zé)嵩?T1)低溫?zé)嵩?T2)熱機(jī)(氣缸)Q1>0Q2<0-W所作功如AB曲線下的面積所示。1過程1：恒溫可逆膨脹（ＡＢ）：從高溫?zé)嵩次鼰釋?duì)外做功

§3-2卡若循環(huán)與熱機(jī)效率——熱轉(zhuǎn)化為功的限度

所作功如BC曲線下的面積所示。過程2：絕熱可逆膨脹（ＢＣ）：耗熱力學(xué)能對(duì)外作功環(huán)境對(duì)系統(tǒng)所作的功如DC曲線下的面積所示恒溫可逆壓縮（ＣＤ）：系統(tǒng)得功向低溫?zé)嵩捶艧岘h(huán)境對(duì)系統(tǒng)所作的功如DA曲線下的面積所示。絕熱可逆壓縮（D

A）：對(duì)內(nèi)作功增加熱力學(xué)能整個(gè)循環(huán)：是系統(tǒng)所吸的熱，為正值，是系統(tǒng)放出的熱，為負(fù)值。由兩絕熱可逆過程得：pV●●●●Q1Q2A(p1,V1,T1)B(p2,V2,T1)C(p3,V3,T2)D(p4,V4,T2)熱機(jī)效率及卡諾定理結(jié)論：理想氣體為工質(zhì)的卡若熱機(jī)的效率η，只與兩個(gè)熱源溫度(T1,T2)有關(guān)，溫差愈大，η愈高?？ㄈ粞h(huán)熱溫商之和為0不可逆可逆任意熱機(jī)：卡若定理卡若推論可逆熱機(jī)的效率與工質(zhì)和過程無關(guān)。所有可逆熱機(jī)的效率與卡若熱機(jī)的效率相等：所有工作于同溫?zé)嵩磁c同溫冷源之間的可逆熱機(jī)，其熱機(jī)效率都相等，即與熱機(jī)的工作介質(zhì)及其變化的類型無關(guān)。不可逆可逆（a）不可逆循環(huán)可逆循環(huán)§3-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

1、熵的提出

式(a)推廣到多個(gè)熱源的無限小的循環(huán)過程。如P105圖3.3.1，有從而使眾多小卡諾循環(huán)的總效應(yīng)與任意可逆循環(huán)的封閉曲線相當(dāng)，所以任意可逆循環(huán)的熱溫商的加和等于零，或它的環(huán)程積分等于零。任意不可逆循環(huán)的熱溫加和小于零.不可逆(ir)循環(huán)可逆(r)循環(huán)一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

對(duì)于可逆循環(huán)，如圖1→2→112r,ar,b

可逆過程熱溫商的積分值只與始終態(tài)有關(guān)，而與途徑無關(guān)——狀態(tài)函數(shù)的變化量。S稱為熵(entropy)；熵是狀態(tài)函數(shù)；是宏觀熱力學(xué)性質(zhì)，廣度量；單位為J·K-1。熵變（ΔS）由可逆途徑熱溫商的積分值來計(jì)算。宏觀熱力學(xué)只給出了熵變的定義，對(duì)于其物理意義不能定義，這將由統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)完成。一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達(dá)式2、熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式對(duì)一不可逆循環(huán)，如圖1→2→112irr得：不可逆可逆——熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（克勞修斯不等式）二、熵增原理及平衡的熵判據(jù)

絕熱過程，δQ=0，則有不可逆可逆

孤立系統(tǒng)，δQ=0，則有自發(fā)平衡熵增加原理：系統(tǒng)經(jīng)絕熱過程由一狀態(tài)到達(dá)另一狀態(tài)，熵值不減少；自發(fā)變化的結(jié)果，必使孤立系統(tǒng)的熵增加(孤立系統(tǒng)中可以發(fā)生的實(shí)際過程都是自發(fā)過程)。方向：孤立系統(tǒng)的熵增加限度：孤立系統(tǒng)熵值達(dá)到最大——平衡態(tài)。不可逆可逆

熱源足夠大且體積固定，過程中基本保持T均勻不變，即熱源的變化總是可逆的。二、熵增原理及平衡的熵判據(jù)

環(huán)境的熵變§3-4熵變的計(jì)算

計(jì)算原則：

計(jì)算方法：利用狀態(tài)函數(shù)變化量特征，在確定的始末態(tài)間，設(shè)計(jì)適合的可逆過程。一、單純p、V、T變化過程ΔS的計(jì)算二、定T定p下相變化過程三、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計(jì)算1、氣、液、固體的定p或定V的變T過程定壓及定容下，T升高，則S增大

定容變溫過程：由δQV=dU=nCV,mdT

定壓變溫過程：由δQp=dH=nCp,mdT液、固體定溫下p、V變化過程：熵變可忽略不計(jì)；結(jié)論：定T下，V增加，則S增大；p減小，則S增大；一、單純p、V、T變化過程ΔS的計(jì)算2、定溫下p、V變化過程：本課程僅討論理想氣體的變化過程：例3-1：10.00mol理想氣體，由25℃，1.000MPa膨脹到25℃，0.100MPa。假定過程是：⑴可逆膨脹；⑵對(duì)抗恒外壓0.100MPa膨脹；⑶自由膨脹。計(jì)算體系(sy)熵變及環(huán)境(su)熵變。一、單純p、V、T變化過程ΔS的計(jì)算2、氣體定溫下p、V變化過程：解：∵三過程的始終態(tài)相同，∴系統(tǒng)熵變相等。一、單純p、V、T變化過程ΔS的計(jì)算例3-1：10.00mol理想氣體，由25℃，1.000MPa膨脹到25℃，0.100MPa。思考題1：計(jì)算結(jié)果表明？⑴可逆膨脹；⑵對(duì)抗恒外壓0.100MPa膨脹；⑶自由膨脹。3、T、p、V同時(shí)變化過程或：定V→定p如設(shè)計(jì)為：定T→定p或：定T→定Vp1,T1,V1p2,T2,V2p2,T1,V’Tpp2,T’,V1Vpp’,T1,V2TV（2）理想氣體（1）凝聚態(tài)T、p、V同時(shí)變化過程近似看成定壓變溫過程△ST△Sp△S理想氣體p,T,V變化可逆pTV變化的△S計(jì)算公式同樣適用于不可逆過程例3-2：5mol氮?dú)猓?5℃，1.01MPa對(duì)抗恒外壓0.101MPa絕熱膨脹到0.101MPa。Cp,m(N2)=(7/2)R。計(jì)算ΔS。解：絕熱膨脹ΔU=W，體系溫度降低，

首先需確定終態(tài)T23、理想氣體T、p、V同時(shí)變化過程一、單純p、V、T變化過程ΔS的計(jì)算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計(jì)算例3-2：ΔU=W5mol氮?dú)?5℃，1.01MPa5mol氮?dú)?21K,0.101MPa

∵yA

，yB

<1，∴ΔmixS>0nA,p,T,VA

nB,p,T,VBnA+nB,p,T,VA+VB定溫定壓

nA,VnA+nB,V定溫定容

nB,V＋結(jié)論：定T定p理氣混合過程系統(tǒng)熵增加4、理想氣體的混合過程

混合前后A，B的狀態(tài)未變4、理想氣體的混合過程

例3-3

始態(tài)為0℃,100kPa的2mol單原子B與150℃,100kPa的5mol雙原子理想氣體C,在恒壓100kPa下絕熱混合達(dá)到平衡,求過程的W,△U,及△S。解：絕熱：Q=△H=0定壓變溫混合4、理想氣體的混合過程

nB,100kpa,0℃nB+nC,100kpa,389.82K恒壓nC,100kpa,150℃

注意:B,C的溫度,體積,壓力都發(fā)生變化二、定T定p下相變化過程B(α,T,p)B(β,T,p)irB(α,Teq,peq)⑴⑵B(β,Teq,peq)⑶r2.不可逆相變：根據(jù)狀態(tài)函數(shù)變化量的特征設(shè)計(jì)可逆途徑：1.可逆相變：△S=△αβH/Teq二、定T定p下相變化過程例3-4：已知水的沸點(diǎn)是100℃，汽化焓ΔvapHm=40.67kJ·mol-1，Cp,m(l)=75.20J·K·mol-1，Cp,m(g)=33.50J·K·mol-1（且視Cp,m和ΔvapHm與T無關(guān)）計(jì)算在60℃、101kPa下，水蒸氣凝結(jié)為液態(tài)水過程的ΔU、ΔH和ΔS和ΔSamb

。H2O(g,60℃,101kPa)H2O(l,60℃,101kPa)H2O(g,100℃,101kPa)⑴⑵H2O(l,100℃,101kPa)⑶60℃100℃解：例3-4：二、定T定p下相變化過程H2O(g,60℃,101kPa)H2O(l,60℃,101kPa)H2O(g,100℃,101kPa)⑴⑵H2O(l,100℃,101kPa)⑶60℃100℃今在一帶活塞的汽缸中有1mol的N2（g），底部有一小玻璃瓶，瓶中有4molH2O（l）.汽缸置于100℃的恒溫槽中維持恒溫，外壓恒定在150kPa?，F(xiàn)將小玻璃瓶打破，水蒸發(fā)至平衡態(tài)，求過程的Q，W，△U，△H，△S及△Siso.

例3-5已知H2O在100℃的飽和蒸氣壓為101.325kPa,在此條件下的=40.668kJ.mol-1.1molN2150kpa100℃4molH2O1molN2150kpa100℃ng

H2Onl

H2O解：先確定n(H2O,g)水部分蒸發(fā)1molN2150kpa100℃4molH2O1molN2150kpa100℃ng

H2Onl

H2O三、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算1.熵的物理意義恒壓變溫：恒容變溫：T升高

S增大恒溫變壓：V增大S增大相變：：（可逆相變）S增大系統(tǒng)混亂度增大，熵值增大S：系統(tǒng)微觀混亂度的宏觀表現(xiàn)三、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算2、熱三律的經(jīng)典表述普朗克(Planck)說法：凝聚態(tài)純物質(zhì)在0K時(shí)的熵值為零。能斯特(Nernst)說法：隨著熱力學(xué)溫度趨于零，凝聚體系定溫反應(yīng)的熵變趨于零。后修正為：純物質(zhì)完美晶體在0K時(shí)的熵值為零。3、熱三律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

4、摩爾規(guī)定熵和標(biāo)準(zhǔn)摩爾規(guī)定熵由熱三律：S(0K)=0，對(duì)于單位物質(zhì)量的物質(zhì)B，有物質(zhì)B在溫度T時(shí)的摩爾規(guī)定熵標(biāo)準(zhǔn)態(tài)下(pθ=100kPa)的摩爾規(guī)定熵又稱為標(biāo)準(zhǔn)摩爾規(guī)定熵，表示為：S

θm(B,β,T)

三、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算

在手冊(cè)中可查到物質(zhì)B在298K下的標(biāo)準(zhǔn)摩爾規(guī)定熵，即：S

θm(B,β,298K)

其中0K→15K時(shí)，德拜(Debye)公式求算：CV,m=aT

3

a為物理常數(shù)，低溫下晶體的Cp,m與CV,m幾乎相等。三、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算純物質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)摩爾規(guī)定熵可通過以下步驟求得:T(K)5、化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算溫度T下反應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)摩爾熵[變]：三、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算aAbB＋yYzZ＋aAbB＋yYzZ＋四、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計(jì)算aAbB＋yYzZ＋aAbB＋yYzZ＋T升高，ΔrSm增加；T升高，ΔrSm降低；T改變，ΔrSm不變。>0：<0：=0：§3-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)一、亥姆霍茨(Helmholtz)函數(shù)及其判據(jù)對(duì)于恒溫恒容，W’=0過程：irrirrirrirr由熱二律：一、亥姆霍茨函數(shù)及其判據(jù)二、吉布斯函數(shù)及其判據(jù)三、引入A、G的意義四、定溫過程ΔA、ΔG的計(jì)算亥姆霍茨函數(shù)irr一、亥姆霍茨(Helmholtz)函數(shù)及其判據(jù)自發(fā)平衡irrirrirr△AT,V=Wr’△AT=Wr=WV+W’恒溫過程系統(tǒng)對(duì)外做可逆功的能力的大小恒溫恒容過程系統(tǒng)對(duì)外做可逆非體積功的能力的大小二、吉布斯(Gibbs)函數(shù)及其判據(jù)對(duì)于定溫定壓過程，由irrirr自發(fā)平衡封閉系統(tǒng)，定溫定壓，W’=0對(duì)于定溫恒壓，W’=0過程：為恒溫恒壓過程系統(tǒng)對(duì)外做可逆非體積功的能力。irr三、引入A、G的意義1、A、G皆為狀態(tài)函數(shù)；具有能量量綱，單位為J或kJ。其絕對(duì)值難以求得(如同焓)，但重要的是變化量ΔA、ΔG。2、對(duì)兩類過程方向(可能性)的判斷：⑴定溫定容不作非體積功；⑵定溫定壓不作非體積功；3、對(duì)特定條件下平衡位置的判定——

如化學(xué)平衡、相平衡。四、定溫過程ΔA、ΔG的計(jì)算1.定溫下單純p、V變化過程當(dāng)W’=0(1)(2)2、定溫定壓相變化（W’＝0）⑵非平衡T、p下的相變化(不可逆相變)四、定溫過程ΔA、ΔG的計(jì)算B(β,T,p)irB(α,Teq,peq)⑴⑵B(β,Teq,peq)⑶rB(α,T,p)⑴平衡Teq、peq下的相變化（可逆相變）例3-6：計(jì)算在－5℃、100kPa下，5mol水凝固為冰的ΔG和ΔA。已知：ΔfusHm(0℃)=-6009J·mol-1，0～－5℃間水和冰的Cp,m(l)=75.3J·K·mol-1，Cp,m(s)=37.6J·K·mol-1。四、定溫過程ΔA、ΔG的計(jì)算四、定溫過程ΔA、ΔG的計(jì)算5H2O(l,0℃,100kPa)⑴⑵5H2O(s,0℃,100kPa)⑶0℃268.2K下得：ΔG＝ΔH－T

ΔS＝－541J5H2O(l,-5℃,100kPa)5H2O(s,-5℃,100kPa)-5℃解ΔfusHm(0℃)=-6009J·mol-1，在0～－5℃間水和冰的Cp,m(l)=75.3J·K·mol-1，Cp,m(s)=37.6J·K·mol-1。ΔH＝ΔH1＋ΔH２

＋ΔH３ΔS＝ΔS1＋ΔS２

＋ΔS３例3-7：計(jì)算在－5℃、100kPa下，5mol水凝固為冰的ΔG和ΔA。（-5℃過冷水和冰的飽和蒸氣壓分別為421Pa和401Pa，密度分別為1.0g·cm-3和0.91g·cm-3

；⑴H2O(l,-5℃,421Pa)⑵⑶H2O(g,-5℃,421Pa)H2O(g,-5℃,401Pa)H2O(s,-5℃,401Pa)⑸⑷5H2O(l,-5℃,100kPa)5H2O(s,-5℃,100kPa)四、定溫過程ΔA、ΔG的計(jì)算四、定溫過程ΔA、ΔG的計(jì)算2、定溫定壓化學(xué)變化（W’＝0）或：能量組合§3-6熱力學(xué)函數(shù)的重要關(guān)系式HUpVApVTSGTS一、定義式

一、定義式二、熱力學(xué)基本方程三、對(duì)應(yīng)系數(shù)方程H=U+pV=G+TS=A+TS+pV二、熱力學(xué)基本方程（4個(gè)）封閉系統(tǒng)發(fā)生W’＝0的微小可逆過程：U=H-pV代入H=G+TS代入U(xiǎn)=A+TS代入

這是熱力學(xué)第一與第二定律的聯(lián)合公式，適用于不作非體積功的封閉體系。

雖然用到了 的公式，但適用于任何可逆或不可逆過程，因?yàn)槭街械奈锢砹拷允菭顟B(tài)函數(shù)，其變化值僅決定于始、終態(tài)。但只有在可逆過程中 才代表Wr

， 才代表Qr

。三、對(duì)應(yīng)系數(shù)方程及吉－亥方程(1)(2)(3)(4)1.對(duì)應(yīng)系數(shù)方程

表示和與溫度的關(guān)系式都稱為Gibbs-Helmholtz方程.它們有多種表示形式三、對(duì)應(yīng)系數(shù)方程及吉－亥方程2.吉布斯——亥姆霍茨方程所以根據(jù)基本公式根據(jù)定義式在溫度T時(shí)，公式的導(dǎo)出則在公式(1)等式兩邊各乘得左邊就是 對(duì)T微商的結(jié)果，則移項(xiàng)得公式

的導(dǎo)出移項(xiàng)積分得