2025年春華師版九年級數(shù)學(xué)下冊 期末綜合測試卷

年春華師版九年級數(shù)學(xué)下冊期末綜合測試卷一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)1．已知平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為()A．相離B．相交C．相切D．相交或相切2．下列調(diào)查中，適合采用抽樣調(diào)查的是()A．了解神舟飛船的設(shè)備零件的質(zhì)量情況B．了解一批袋裝食品是否含有防腐劑C．全國人口普查D．企業(yè)招聘，對應(yīng)聘人員進行面試3．[2024長春博碩學(xué)校月考]將二次函數(shù)y＝2x2的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是()A．y＝2(x＋2)2＋3B．y＝2(x＋2)2－3C．y＝2(x－2)2－3D．y＝2(x－2)2＋34．為了解某中學(xué)300名男生的身高情況，在該中學(xué)隨機抽取若干名男生進行身高測量，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻數(shù)分布直方圖(如圖)．估計該校男生的身高在169.5cm～174.5cm之間的有()A．12名B．48名C．72名D．96名5．如圖，△ABC和△ABD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，則∠BAC的度數(shù)為()A．40°B．45°C．50°D．60°6．已知二次函數(shù)y＝x2－2x－3的自變量x1，x2，x3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3.當－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是()A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y37．[2024太原模擬]如圖是某十字路口機動車轉(zhuǎn)彎時的示意圖，設(shè)計轉(zhuǎn)彎半徑O1A＝10m，轉(zhuǎn)彎角度∠AO1B＝90°，大型機動車實際轉(zhuǎn)彎時，轉(zhuǎn)彎半徑O2C＝20m，轉(zhuǎn)彎角度∠CO2D＝80°，則大型機動車轉(zhuǎn)彎實際行駛路程(eq\o(CD,\s\up8(︵)))比設(shè)計轉(zhuǎn)彎行駛路程(eq\o(AB,\s\up8(︵)))多()A.eq\f(35π,18)mB.eq\f(55π,18)mC.eq\f(70π,9)mD.eq\f(35π,9)m8．[2024商丘第一中學(xué)二模]直線y1＝ax＋b和拋物線y2＝ax2＋bx(a，b是常數(shù)，且a≠0)在同一平面直角坐標系中，直線y1＝ax＋b經(jīng)過點(－4，0)．下列結(jié)論：①拋物線y2＝ax2＋bx的對稱軸是直線x＝－2；②拋物線y2＝ax2＋bx與x軸一定有兩個交點；③關(guān)于x的方程ax2＋bx＝ax＋b有兩個根x1＝－4，x2＝1；④若a＞0，當x＜－4或x＞1時，y1＞y2.其中正確的結(jié)論是()A．①②③④B．①②③C．②③D．①④9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，AD＝CD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC交DE于點F.若sin∠CAB＝eq\f(3,5)，DF＝5，則BC的長為()A．8B．10C．12D．1610．[2024上海虹口區(qū)月考]如圖，拋物線y＝eq\f(1,4)(x＋2)(x－8)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為M，以AB為直徑作⊙D.有下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸是直線x＝3；②⊙D的面積為16π；③拋物線上存在點E，使四邊形ACED為平行四邊形；④直線CM與⊙D相切．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4二、填空題(共5小題，每小題3分，共15分)11．小亮同學(xué)為了估計全縣九年級學(xué)生的人數(shù)，他對自己所在鄉(xiāng)的人口和全鄉(xiāng)九年級學(xué)生人數(shù)作了調(diào)查：全鄉(xiāng)人口約2萬，九年級學(xué)生人數(shù)為300.全縣人口約35萬，由此他推斷全縣九年級學(xué)生人數(shù)約為5250，但縣教育局提供的全縣九年級學(xué)生人數(shù)為3000，與估計數(shù)據(jù)有很大偏差，根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，你認為產(chǎn)生偏差的原因是________________．12．[2024煙臺萊陽期末]如圖，在正六邊形ABCDEF中，分別以C，F(xiàn)為圓心，以邊長為半徑作弧，圖中陰影部分的面積為24π，則正六邊形的邊長為________．13．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于點A(1，0)，點B(3，0)，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當CD∥x軸時，CD＝________.14．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(1，0)，P(－1，0)，⊙P過原點O，且與x軸交于另一點D，AB為⊙P的切線，B為切點，BC是⊙P的直徑，則∠BCD的度數(shù)為________°.15．[2024昆明官渡區(qū)期末]已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5及一次函數(shù)y＝－x＋b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象(如圖所示)，當直線y＝－x＋b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是________．三、解答題(共75分)16．(6分)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(1，－2)和B(0，－5)．(1)求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標；(2)當y≤－2時，求x的取值范圍．17．(6分)[2024哈爾濱龍沙區(qū)期末]如圖，BC為△ABC的外接圓⊙O的直徑，點M為△ABC的內(nèi)心，連結(jié)AM并延長交⊙O于點D，連結(jié)CD.(1)求∠BCD的大?。?2)若CD＝4，求DM的值．18．(6分)國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責任督學(xué)進行“五項管理”督導(dǎo)的通知》指出，要加強中小學(xué)生作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)管理．某校七年級學(xué)生共有600人，該校數(shù)學(xué)社團成員采用隨機抽樣的方法，抽取了七年級部分學(xué)生，對他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時間t(單位：小時)進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到如下不完整的統(tǒng)計表：睡眠時間頻數(shù)頻率t＜730.067≤t＜8a0.168≤t＜9100.209≤t＜1024bt≥1050.10請根據(jù)統(tǒng)計表中的信息回答下列問題：(1)a＝________，b＝________；(2)請估計該校七年級學(xué)生中平均每天的睡眠時間不足9小時的人數(shù)；(3)研究表明，初中生每天睡眠時間低于9小時，會影響學(xué)習效率．請你根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議．19．(8分)如圖，已知二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋eq\r(3)的圖象經(jīng)過點O(0，0)，A(2，0)．(1)寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；(2)若將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，試判斷點A′是否為該函數(shù)圖象的頂點．20．(8分)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直徑HF交AC于點D，HF的延長線與BC的延長線交于點E.(1)若HF⊥AB，求證：∠OAD＝∠E.(2)若點A是下半圓上一動點，當點A運動到什么位置時，△CDE的外心在△CDE的一邊上？請說明理由．21．(8分)[2024吉林昌邑區(qū)期末]如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋c與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點A，B，且OA＝OB，點G為拋物線的頂點．(1)求拋物線的表達式及點G的坐標；(2)點M，N為拋物線上兩點(點M在點N的左側(cè))，且到對稱軸的距離分別為3個單位和5個單位，點Q為拋物線上點M，N之間(含點M，N)的一個動點，求點Q的縱坐標yQ的取值范圍．22．(10分)如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，AC是⊙O的直徑，連結(jié)OP交⊙O于點E.過點A作AB⊥PO于點D，交⊙O于點B，連結(jié)BC，PB.(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)求證：E為△PAB的內(nèi)心；(3)若cos∠PAB＝eq\f(\r(10),10)，BC＝1，求PO的長．

23.(10分)某課外科技活動小組研制了一種航模飛機，通過實驗，收集了飛機相對于出發(fā)點的飛行水平距離x(單位：m)、飛行高度y(單位：m)隨飛行時間t(單位：s)變化的數(shù)據(jù)，記錄如表．飛行時間t(s)02468…飛行水平距離x(m)010203040…飛行高度y(m)022405464…【探究發(fā)現(xiàn)】x與t，y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述．(1)直接寫出x關(guān)于t的函數(shù)表達式和y關(guān)于t的函數(shù)表達式(不要求寫出自變量的取值范圍)；【問題解決】如圖，活動小組在水平安全線上A處設(shè)置一個高度可以變化的發(fā)射平臺試飛該航模飛機．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．(2)若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；(3)在安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飛機落到MN內(nèi)(不包括端點M，N)，求發(fā)射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．24.(13分)【學(xué)習心得】(1)小雯同學(xué)在學(xué)習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB長為半徑作輔助圓⊙A，則C，D兩點必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，∠BDC是⊙A的圓周角，則∠BDC＝________°.【初步運用】(2)如圖②，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝17°，求∠BAC的度數(shù)．【方法遷移】(3)如圖③，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在直線l上作出所有的點P，使得∠APB＝30°(不寫作法，保留作圖痕跡)．【問題拓展】(4)①如圖④，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M為邊CD上的點．若滿足∠AMB＝45°的點M恰好有兩個，則m的取值范圍為________；②如圖⑤，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的長．

答案一、1.D2.B3.C4.C5.C6.D7．D【點撥】∵O1A＝10m，轉(zhuǎn)彎角度∠AO1B＝90°，O2C＝20m，轉(zhuǎn)彎角度∠CO2D＝80°，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))的長為eq\f(90π×10,180)＝5π(m)，eq\o(CD,\s\up8(︵))的長為eq\f(80π×20,180)＝eq\f(80π,9)(m)．∵eq\f(80π,9)－5π＝eq\f(35π,9)(m)，∴大型機動車轉(zhuǎn)彎實際行駛路程比設(shè)計轉(zhuǎn)彎行駛路程多eq\f(35π,9)m．故選D.8．B【點撥】∵直線y1＝ax＋b經(jīng)過點(－4，0)，∴－4a＋b＝0.∴b＝4a.∴y2＝ax2＋bx＝ax2＋4ax.∴拋物線y2＝ax2＋bx的對稱軸是直線x＝－eq\f(4a,2a)＝－2，故①正確；∵y2＝ax2＋4ax，∴Δ＝16a2＞0.∴拋物線y2＝ax2＋bx與x軸一定有兩個交點，故②正確；∵b＝4a，∴方程ax2＋bx＝ax＋b可化為ax2＋4ax＝ax＋4a，整理得x2＋3x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝1，故③正確；∵a＞0，∴拋物線y2＝ax2＋bx的開口向上，在y1＝ax＋b中，y1隨x的增大而增大．易知直線y1＝ax＋b和拋物線y2＝ax2＋bx的交點的橫坐標分別為－4，1.∴當x＜－4或x＞1時，y1＜y2，故④錯誤．故選B.9．C【點撥】連結(jié)BD，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.又∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD.∵DE⊥AB，∴∠ABD＋∠BDE＝90°.又∵∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE.∴∠ADE＝∠DAC.∴FD＝FA＝5.在Rt△AEF中，sin∠EAF＝eq\f(EF,AF)＝eq\f(3,5)，∴EF＝3.∴AE＝eq\r(52－32)＝4，DE＝5＋3＝8.∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE.∴DE∶BE＝AE∶DE，即8∶BE＝4∶8.∴BE＝16.∴AB＝4＋16＝20.在Rt△ABC中，sin∠CAB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5)，∴BC＝20×eq\f(3,5)＝12.故選C.10．B【點撥】∵在y＝eq\f(1,4)(x＋2)(x－8)中，當y＝0時，x＝－2或x＝8，∴A(－2，0)，B(8，0)．∴拋物線的對稱軸為直線x＝eq\f(－2＋8,2)＝3，故①正確．易知⊙D的直徑為8－(－2)＝10，∴⊙D的半徑為5.∴⊙D的面積為25π，故②錯誤．若四邊形ACED是平行四邊形，則CE∥AD.在y＝eq\f(1,4)(x＋2)(x－8)＝eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x－4中，當x＝0時，y＝－4，∴C(0，－4)，當y＝－4時，eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x－4＝－4，解得x1＝0，x2＝6.∴E(6，－4)．∴CE＝6.∵AD＝3－(－2)＝5，∴AD≠CE.∴四邊形ACED不是平行四邊形，故③錯誤．∵y＝eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x－4＝eq\f(1,4)(x－3)2－eq\f(25,4)，∴點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(25,4))).連結(jié)CD，易求得CD＝5，CM＝eq\f(15,4)，DM＝eq\f(25,4)，∴CD2＋CM2＝DM2.∴∠DCM＝90°，即DC⊥CM.∵CD為⊙D的半徑，∴直線CM與⊙D相切，故④正確．故選B.二、11.樣本選取不合理12.613.414．60【點撥】∵點A(1，0)，P(－1，0)，∴OA＝OP＝1.∴AP＝OP＋OA＝2.∵⊙P過原點O，∴OP為⊙P的半徑．∵AB為⊙P的切線，B為切點，∴PB⊥AB，PB＝OP＝1.在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，∴sinA＝eq\f(PB,AP)＝eq\f(1,2).∴∠BAP＝30°.∴∠BPA＝60°.∴∠CPD＝60°.又∵PC＝PD，∴△CPD為等邊三角形．∴∠PCD＝60°，即∠BCD的度數(shù)為60°.15．－eq\f(29,4)<b＜－1【點撥】如圖，當y＝0時，－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，則A(－1，0)，B(5，0)，易得該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方后，這部分圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝x2－4x－5，－1≤x≤5.當直線y＝－x＋b經(jīng)過點A(－1，0)時，1＋b＝0，解得b＝－1；當直線y＝－x＋b與拋物線y＝x2－4x－5(－1≤x≤5)有唯一公共點時，方程x2－4x－5＝－x＋b，即x2－3x－(b＋5)＝0有兩個相等的實數(shù)根，所以9＋4(b＋5)＝0，解得b＝－eq\f(29,4).結(jié)合圖象易知，當直線y＝－x＋b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍為－eq\f(29,4)<b＜－1.三、16.【解】(1)把A(1，－2)和B(0，－5)的坐標代入y＝x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝－2，,c＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－5，))∴該二次函數(shù)的表達式為y＝x2＋2x－5.∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，∴該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(－1，－6)．(2)如圖，易知該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－1，∴點A(1，－2)關(guān)于直線x＝－1的對稱點(－3，－2)在該函數(shù)圖象上，∴當y≤－2時，x的取值范圍是－3≤x≤1.17．【解】(1)∵BC為△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°.∵M為△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝45°.∴∠BCD＝∠BAD＝45°.(2)如圖，連結(jié)CM.∵M為△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠DAC，∠ACM＝∠BCM.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠DAC＝∠BCD.∵∠DMC＝∠DAC＋∠ACM，∠DCM＝∠BCD＋∠BCM，∴∠DMC＝∠DCM.∴DM＝CD＝4.18．【解】(1)8；0.48【點撥】本次抽取的學(xué)生有3÷0.06＝50(人)，a＝50×0.16＝8，b＝24÷50＝0.48.(2)600×(0.06＋0.16＋0.20)＝600×0.42＝252(人)．答：估計該校七年級學(xué)生中平均每天的睡眠時間不足9小時的有252人．(3)建議是：近期組織一次家長會，要求家長監(jiān)管好學(xué)生的睡眠時間，要不少于9小時．(答案不唯一，合理即可)19．【解】(1)該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1.(2)由(1)知y＝a(x－1)2＋eq\r(3)，∵圖象經(jīng)過點(0，0)，∴0＝a＋eq\r(3).∴a＝－eq\r(3).∴y＝－eq\r(3)(x－1)2＋eq\r(3).如圖，作A′B⊥x軸于點B，∵線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，∴在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°.∴OB＝eq\f(1,2)OA′＝1.∴A′B＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴點A′的坐標為(1，eq\r(3))．∴點A′為該函數(shù)圖象的頂點．20．(1)【證明】如圖，連結(jié)OB，∵HF⊥AB，∴eq\o(BH,\s\up8(︵))＝eq\o(AH,\s\up8(︵)).∴∠AOH＝eq\f(1,2)∠AOB.又∵∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB，∴∠AOH＝∠ACB.∵∠AOD＋∠AOH＝180°，∠ECD＋∠ACB＝180°，∴∠AOD＝∠ECD.又∵∠ODA＝∠CDE，∴△OAD∽△CED.∴∠OAD＝∠E.(2)【解】當點A運動到使AB是⊙O的直徑或AC⊥HF時，△CDE的外心在△CDE的一邊上．理由如下：由題意易知，△CDE為直角三角形，∠E不可能為90°，∴分兩種情況．①若∠DCE＝90°，則∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直徑，此時△CDE的外心在△CDE的邊DE上．②若∠CDE＝90°，則AC⊥HF，此時△CDE的外心在△CDE的邊CE上．綜上所述，當點A運動到使AB是⊙O的直徑或AC⊥HF時，△CDE的外心在△CDE的一邊上．21．【解】(1)∵拋物線y＝－x2＋2x＋c與y軸正半軸交于點B，∴點B(0，c)，c＞0.∴OA＝OB＝c.∴點A(c，0)．∴0＝－c2＋2c＋c.∴c＝3或c＝0(舍去)．∴拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴頂點G的坐標為(1，4)．(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.∵點M，N為拋物線上兩點(點M在點N的左側(cè))，且到對稱軸的距離分別為3個單位和5個單位，∴點M的橫坐標為－2或4，點N的橫坐標為6.∴點M的坐標為(－2，－5)或(4，－5)，點N的坐標為(6，－21)．∵點Q為拋物線上點M，N之間(含點M，N)的一個動點，∴當M，N在對稱軸的同側(cè)時，－21≤yQ≤－5；當M，N在對稱軸的兩側(cè)時，－21≤yQ≤4.22．(1)【證明】如圖，連結(jié)OB.∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.∵AB⊥PO，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C.∴∠AOP＝∠POB.在△AOP和△BOP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,∠AOP＝∠BOP，,PO＝PO，))∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.∵PA為⊙O的切線，切點為A，∴∠OAP＝90°.∴∠OBP＝90°.∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．(2)【證明】如圖，連結(jié)AE.∵∠OAP＝90°，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.∵PA，PB為⊙O的切線，∴PD平分∠APB.∴點E為△PAB的內(nèi)心．(3)【解】∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴∠PAB＋∠BAC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∴∠PAB＝∠C.∴cosC＝cos∠PAB＝eq\f(\r(10),10).在Rt△ABC中，cosC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,AC)＝eq\f(\r(10),10)，∴AC＝eq\r(10)，∴AO＝eq\f(\r(10),2).∵∠PAO＝∠ABC＝90°，∠AOP＝∠C，∴△PAO∽△ABC.∴eq\f(PO,AC)＝eq\f(AO,BC).∴PO＝eq\f(AO,BC)·AC＝eq\f(\r(10),2)×eq\r(10)＝5.23．【解】(1)x＝5t，y＝－eq\f(1,2)t2＋12t.(2)依題意，得－eq\f(1,2)t2＋12t＝0，解得t1＝0(舍)，t2＝24，當t＝24時，x＝120.答：飛機落到安全線時