2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.1第1課時棱柱棱錐棱臺的結構特征練習含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.1第1課時A級——基礎過關練1．(2024年拉薩期末)下列幾何體中是棱柱的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【解析】依據(jù)棱柱的定義可知只有①③⑤是棱柱．故選C．2．(多選)下列命題中錯誤的是()A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行的幾何體叫棱柱C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺D．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱【答案】ACD【解析】在A中，如圖的幾何體，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不是棱柱，故A錯誤；在B中，由棱柱的定義知B正確；在C中，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，故C錯誤；在D中，如圖的幾何體，有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不是棱柱，故D錯誤．故選ACD．3．如圖所示，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體【答案】B【解析】余下部分是四棱錐A′-BCC′B′.4．下列三種敘述，正確的有()①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面相互平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】A【解析】①中的平面不肯定平行于底面，故①錯；②③可用如圖的反例檢驗，故②③錯．故選A．5．下列圖形中，不能折成三棱柱的是()【答案】C【解析】C中，兩個底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．6．四棱柱有________條側棱，________個頂點．【答案】48【解析】四棱柱有4條側棱，8個頂點(可以結合正方體視察求得)．7．對如圖所示的幾何體描述正確的是________(寫出正確結論的序號)．①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個小三棱柱而得到．【答案】①③④⑤【解析】在①中，∵這個幾何體有六個面，∴這是個六面體，故①正確；在②中，∵這個幾何體的側棱延長后不能交于同一點，所以這不是個四棱臺，故②錯誤；在③中，假如把這個幾何體的正面或背面作為底面就會發(fā)覺這是一個四棱柱，故③正確；在④中，如圖1所示，此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到，故④正確；在⑤中，如圖2所示，此幾何體可由四棱柱截去一個小三棱柱而得到，故⑤正確．故選①③④⑤.圖1圖28．如圖，M是棱長為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點M的最短路程是________cm.【答案】eq\r(13)【解析】由題意，若以BC為軸綻開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2cm，3cm，故兩點之間的距離是eq\r(13)cm.若以BB1為軸綻開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1,4，故兩點之間的距離是eq\r(17)cm.故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是eq\r(13)cm.9．如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？(3)每個面的三角形面積為多少？解：(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐．(2)這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．(3)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－eq\f(1,2)a2－a2－a2＝eq\f(3,2)a2.10．如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎？假如是，則該圖形是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？假如是，則該圖形是幾棱柱，并用符號表示；假如不是，請說明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因為長方體相對的兩個面是相互平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側面)，且相鄰側面的公共邊相互平行，符合棱柱的定義．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.B級——實力提升練11．下列命題中，真命題是()A．頂點在底面上的投影究竟面各頂點的距離相等的三棱錐是正三棱錐B．底面是正三角形，各側面是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐C．頂點在底面上的投影為底面三角形的垂心的三棱錐是正三棱錐D．底面是正三角形，并且側棱都相等的三棱錐是正三棱錐【答案】D【解析】對于選項A，到三角形各頂點距離相等的點為三角形外心，該三角形不肯定為正三角形，故該命題是假命題；對于選項B，如圖所示，△ABC為正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱錐，故該命題是假命題；對于選項C，頂點在底面上的投影為底面三角形的垂心，底面為隨意三角形皆可，故該命題是假命題；對于選項D，頂點在底面上的投影是底面三角形的外心，又因為底面三角形為正三角形，所以外心即為中心，故該命題是真命題．故選D．12．如圖，往透亮塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列三個說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不變更；③當E在AA1上時，AE＋BF是定值．其中，正確的說法是()A．①② B．①C．①②③ D．①③【答案】D【解析】明顯水的部分呈三棱柱或四棱柱狀，故①正確；容器傾斜度越大，水面四邊形EFGH的面積越大，故②不正確；由于水的體積不變，四棱柱ABFE-DCGH的高不變，所以梯形ABFE的面積不變，所以AE＋BF是定值，故③正確．所以四個命題中①③正確．故選D．13．從正方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點中隨意取4個不同的頂點，這4個頂點可能是：①矩形的4個頂點；②每個面都是等邊三角形的四面體的4個頂點；③每個面都是直角三角形的四面體的4個頂點；④有三個面是等腰直角三角形，有一個面是等邊三角形的四面體的4個頂點．其中正確結論為________．【答案】①②③④【解析】如圖所示，四邊形ABCD為矩形，故①滿意條件；四面體D-A1BC1為每個面均為等邊三角形的四面體，故②滿意條件；四面體D-B1C1D1為每個面都是直角三角形的四面體，故③滿意條件；四面體C-B1C1D1為有三個面是等腰直角三角形，有一個面是等邊三角形的四面體，故④滿意條件．故正確為①②③④.14．長方體的同一頂點處的相鄰三個面的面積分別為12,6,8，則長方體的體對角線長為________．【答案】eq\r(29)【解析】設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝12，,bc＝6，,ac＝8，))∴abc＝24.分別除以bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.∴體對角線長為eq\r(42＋32＋22)＝eq\r(29).15．如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過點A作截面△AEF，求△AEF周長的最小值．解：將三棱錐沿側棱VA剪開，并將其側面綻開平鋪在一個平面上，如圖，線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4eq\r(2).∴△AEF周長的最小值為4eq\r(2).16．給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個底面是正三角形的三棱柱模型，請設計一種剪拼方案，分別用虛線標示在圖中，并作簡要說明．解：如圖1所示，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個底面為正三角形的三棱錐．圖1圖2如圖2所示，在正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的eq\f(1,4)，有一組對角為直角，余下部分按虛線折成，可成為一個缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個底面為正三角形的棱柱的上底．C級——探究創(chuàng)新練17．正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為eq\r(3)，