數(shù)學（文科）總復習演練提升同步測評古典概型

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項基礎訓練(時間：35分鐘）1．(2015·全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為（）A.eq\f(3,10)B.eq\f(1，5)C。eq\f（1，10)D。eq\f（1，20）【解析】從1，2,3，4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結果：（1,2,3),(1，2，4），(1,2,5），（1,3，4），(1，3，5），(1,4，5）,(2,3，4），（2，3，5），(2，4，5),（3，4，5),其中勾股數(shù)只有（3，4，5）,所以概率為eq\f（1,10).【答案】C2．(2016·浙江金麗衢十二校二聯(lián))4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2，3，4,從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為（)A。eq\f(1,2）B。eq\f（1,3）C.eq\f（2，3)D.eq\f（3，4)【解析】因為從四張卡片中任取出兩張的情況為（1，2），(1,3)，(1，4），（2,3)，（2,4）,（3,4)，共6種．其中兩張卡片上數(shù)字和為偶數(shù)的情況為(1，3),(2,4)共2種，所以兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為eq\f(1,3）。【答案】B3．（2016·課標全國Ⅲ)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M、I、N中的一個字母，第二位是1，2，3，4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是（）A。eq\f(8,15)B.eq\f(1,8）C.eq\f(1,15)D。eq\f（1,30）【解析】小敏輸入密碼的所有可能情況如下:(M,1)，（M，2）,(M,3）,（M，4)，(M，5），(I，1)，(I，2)，（I，3）,(I，4）,（I，5)，(N，1),(N，2），（N，3），（N，4)，(N，5),共15種．而能開機的密碼只有一種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率為eq\f(1,15）.【答案】C4．（2016·北京）從甲、乙等5名學生中隨機選出2人,則甲被選中的概率為()A。eq\f(1,5)B.eq\f（2，5）C。eq\f(8，25）D。eq\f（9，25）【解析】設這5名學生為甲、乙、丙、丁、戊,從中任選2人的所有情況有(甲,乙),（甲，丙），（甲,丁)，（甲,戊)，（乙，丙）,(乙，丁)，(乙，戊）,(丙,?。?（丙，戊），(丁，戊),共4＋3＋2＋1＝10種．其中甲被選中的情況有（甲，乙)，(甲，丙)，（甲，丁)，（甲，戊），共4種，故甲被選中的概率為eq\f(4,10）＝eq\f（2,5）.故選B?！敬鸢浮緽5．（2017·太原二模)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量a＝（m，n)與向量b＝（1，0）的夾角為α，則α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,4）))的概率為（）A。eq\f（5,18）B。eq\f(5,12)C。eq\f(1，2)D.eq\f(7，12)【解析】方法一依題意，向量a＝（m，n)共有6×6＝36(個)，其中滿足向量a＝（m，n)與向量b＝(1，0)的夾角α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，4)）），即n＜m的（m，n)可根據(jù)n的具體取值進行分類計數(shù)：第一類,當n＝1時，m有5個不同的取值；第二類，當n＝2時，m有4個不同的取值；第三類，當n＝3時，m有3個不同的取值；第四類，當n＝4時,m有2個不同的取值；第五類，當n＝5時，m有1個取值，因此滿足向量a＝（m，n）與向量b＝(1，0）的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,4)))的(m，n）共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個），所以所求概率為eq\f(15,36)＝eq\f（5,12).方法二依題意可得向量a＝（m，n）共有6×6＝36(個)，其中滿足向量a＝（m，n）與向量b＝(1，0)的夾角α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，4）))，即n＜m的向量a＝(m,n）有eq\f(36－6,2)＝15（個），所以所求概率為eq\f（15，36)＝eq\f(5，12)?！敬鸢浮緽6．（2016·四川）從2，3，8，9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b,則logab為整數(shù)的概率是________．【解析】所有的基本事件有（2，3),（2，8)，(2，9），（3，2),（3，8),(3，9)，（8,2），（8，3），（8，9），（9，2),(9,3）,（9，8），共12個．記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A，則事件A包含的基本事件有（2,8）,（3，9），共2個．∴P(A）＝eq\f(2，12）＝eq\f(1，6).【答案】eq\f（1,6）7．（2016·江蘇）將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1，2，3,4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．【解析】先后拋擲2次骰子，所有可能出現(xiàn)的情況可用數(shù)對表示為(1，1），(1，2),（1，3），(1,4），(1，5),(1，6），(2，1)，(2，2)，(2，3)，（2，4)，(2,5)，（2,6），……(5，1），（5，2)，(5,3),（5，4)，（5，5）,（5,6），(6,1）,(6，2)，（6，3),(6，4),(6,5)，（6，6），共36個．其中點數(shù)之和不小于10的有(4，6）,(5,5)，(5，6），(6，4)，（6,5）,(6,6）,共6個．從而點數(shù)之和小于10的數(shù)對共有30個，故所求概率P＝eq\f(30，36)＝eq\f(5，6）?！敬鸢浮縠q\f(5,6）8．(2017·海淀一模)現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2,A3，B1，B2,C1,C2表示,其中A1，A2，A3的數(shù)學成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀,C1，C2的化學成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．【解析】從這7人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，所有可能的結果組成的12個基本事件為：（A1，B1，C1），(A1，B1，C2），（A1，B2，C1），(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1），（A2，B1,C2），(A2，B2,C1)，(A2,B2，C2),（A3，B1，C1），(A3，B1，C2)，(A3,B2,C1)，（A3，B2，C2)．設“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件N表示“A1和B1全被選中”，由于N＝｛（A1，B1,C1），（A1，B1，C2）}，所以P(N)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6），由對立事件的概率計算公式得P(N）＝1－P(N）＝1－eq\f(1,6）＝eq\f(5，6)?！敬鸢浮縠q\f(5,6)9．(2017·蘭州雙基測試）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2，3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b，c。（1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c"的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．【解析】(1）由題意,（a，b，c）所有可能的結果為:（1,1,1），（1，1，2），(1，1，3），(1，2，1），(1，2，2),(1，2，3),(1，3,1)，(1,3，2)，(1，3，3)，(2，1，1),(2，1，2），(2，1，3)，(2，2,1）,（2，2，2)，(2,2，3），（2，3,1)，（2，3,2），(2,3，3)，(3，1，1)，(3,1，2)，(3，1，3），(3,2，1)，(3,2，2),(3，2,3)，（3，3，1），（3，3，2)，（3,3，3),共27種．設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1，1，2），（1，2,3)，（2,1,3），共3種，所以P(A）＝eq\f（3，27)＝eq\f(1，9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f（1,9)。(2）設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同"為事件B，則事件B包括(1,1，1），(2,2，2),（3，3，3)，共3種,所以P（B)＝1－P（B)＝1－eq\f(3，27)＝eq\f(8，9），因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f（8，9).10．(2015·天津高考)設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27，9，18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽．（1)求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)．（2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6.現(xiàn)從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽．①用所給編號列出所有可能的結果；②設A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率．【解析】（1)應從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1，2.（2）①從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為｛A1，A2}，{A1，A3｝,｛A1，A4},{A1，A5}，{A1，A6｝，｛A2，A3}，{A2，A4},｛A2，A5｝，｛A2，A6｝,{A3，A4}，｛A3,A5｝，{A3，A6｝,｛A4，A5}，｛A4，A6},{A5，A6｝，共15種．②編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5｝,｛A2，A6｝,｛A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5｝,｛A4，A6}，｛A5,A6}，共9種．因此,事件A發(fā)生的概率P(A）＝eq\f（9,15）＝eq\f(3,5)。B組專項能力提升（時間：30分鐘）11．（2017·天津紅橋區(qū)模擬）從自然數(shù)1，2，3，4，5中，任意取出兩個數(shù)組成兩位的自然數(shù)，再從這些兩位自然數(shù)中取出一個數(shù)，則取出的數(shù)恰好能被3整除的概率為(）A.eq\f(2,5）B。eq\f(1，5）C.eq\f（3，10）D.eq\f(1,2）【解析】從自然數(shù)1，2，3，4，5中任意取出兩個數(shù)組成兩位的自然數(shù)，共有5×4＝20個，從這些兩位自然數(shù)中取出的數(shù)恰好能被3整除有12,21，15,51,24，42，45,54，共8個，故能被3整除的概率為eq\f（8,20）＝eq\f(2，5).【答案】A12．（2016·安徽蕪湖、馬鞍山第一次教學質量檢測)某同學先后投擲一枚骰子兩次,第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標系xOy中，以(x，y)為坐標的點落在直線2x－y＝1上的概率為（)A.eq\f(1，12）B。eq\f（1，9）C.eq\f(5,36）D.eq\f(1,6)【解析】擲一枚骰子兩次不同的點數(shù)共有36種，以（x，y)為坐標的點落在直線2x－y＝1上的點有（1，1）,（2，3），(3，5）．故所求概率為eq\f(1,12），故選A.【答案】A13．（2017·洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓（x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．【解析】依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a,b)有(1，1），（1，2）,（1，3），…，(6，6),共36種,其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點,即滿足eq\f（2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2),a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3），（1，4），…，(6，6),共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于eq\f（21，36)＝eq\f（7,12）?！敬鸢浮縠q\f（7,12）14．(2017·雅安模擬）甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3,紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽,乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1）設(i，j）表示甲、乙抽到的牌的牌面數(shù)字（如果甲抽到紅桃2，乙抽到紅桃3,記為(2，3）），寫出甲、乙兩人抽到的牌的所有情況；（2)若甲抽到紅桃3,則乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？(3)甲、乙約定，若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；否則，乙勝，你認為此游戲是否公平?請說明理由．【解析】（1)方片4用4′表示，則甲、乙兩人抽到的牌的所有情況為：(2，3)，(2，4)，（2，4′),(3，2），（3，4),(3，4′)，(4，2），（4，3），（4,4′），(4′，2），(4′,3)，(4′，4)共12種不同的情況．（2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面數(shù)字大于3的概率為eq\f（2，3）。（3）甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，有（3，2)，(4，2）,(4，3)，(4′，2)，(4′，3），共5種情況．甲勝的概率為P1＝eq\f(5，12），乙勝的概率為P2＝eq\f(7，12)。因為eq\f(5，12)＜eq\f(7，12），所以此游戲不公平．15．(2017·山東棗莊八中南校區(qū)2月模擬)根據(jù)我國頒布的《環(huán)境空氣質量指數(shù)(AQI)技術規(guī)定》：空氣質量指數(shù)劃分為0～50、51～100、101~15