數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)演練提升同步測評幾何概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：30分鐘)1．（2017·寧波一模）已知實數(shù)a滿足－3＜a＜4，函數(shù)f（x）＝lg(x2＋ax＋1)的值域為R的概率為P1,定義域為R的概率為P2，則（）A．P1＞P2B．P1＝P2C．P1＜P2D．P1與P2的大小不確定【解析】若f(x)的值域為R,則Δ＝a2－4≥0,得a≤－2或a≥2，故P1＝eq\f(－2－(－3)，4－（－3））＋eq\f(4－2,4－(－3）)＝eq\f(3,7).若f（x)的定義域為R，則Δ＝a2－4＜0，得－2＜a＜2，故P2＝eq\f(2－（－2），4－（－3））＝eq\f(4,7），所以P1＜P2.【答案】C2．(2017·石家莊一模)在區(qū)間［0，1]上任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之和小于eq\f(6,5)的概率是(）A.eq\f（12，25）B。eq\f（16，25）C。eq\f（17,25）D.eq\f（18,25)【解析】設(shè)這兩個數(shù)分別是x,y，則總的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤x≤1，,0≤y≤1））確定的平面區(qū)域，所求事件包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤x≤1,,0≤y≤1,，x＋y＜\f（6，5）））確定的平面區(qū)域，如圖所示,陰影部分的面積是1－eq\f(1,2)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4,5）））eq\s\up12(2）＝eq\f(17,25）,所以這兩個數(shù)之和小于eq\f（6，5）的概率是eq\f(17，25）?！敬鸢浮緾3．（2017·山西四校聯(lián)考）在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f（S，4)的概率為(）A。eq\f(1，4）B.eq\f(3,4)C。eq\f(4，9）D。eq\f(9,16）【解析】設(shè)AB,AC上分別有點D,E滿足AD＝eq\f（3,4)AB且AE＝eq\f(3,4）AC，則△ADE∽△ABC,DE∥BC且DE＝eq\f(3，4）BC.∵點A到DE的距離等于點A到BC的距離的eq\f（3，4），∴DE到BC的距離等于△ABC高的eq\f（1,4）.當(dāng)動點P在△ADE內(nèi)時，P到BC的距離大于DE到BC的距離，∴當(dāng)P在△ADE內(nèi)部運動時，△PBC的面積大于eq\f（S,4)，∴所求概率為eq\f（S△ADE，S△ABC）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，4)））eq\s\up12(2)＝eq\f（9,16)?！敬鸢浮緿4．(2017·石家莊模擬)已知O，A,B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測繪隊員在A，B之間的直線公路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進行測繪，O地為一磁場，距離其不超過eq\r(3）km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是（)A.eq\f（1,2)B.eq\f（\r(2），2)C．1－eq\f(\r（3),2）D．1－eq\f(\r（2),2）【解析】由題意知在等腰直角三角形OAB中,以O(shè)為圓心，eq\r(3）為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2eq\r(2)，故該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1－eq\f（2,2\r（2)）＝1－eq\f（\r（2）,2)。【答案】D5．（2017·廣州摸底)由不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x≤0，，y≥0，,y－x－2≤0））確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋y≤1，，x＋y≥－2）)確定的平面區(qū)域記為Ω2,在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為（)A。eq\f(1，8)B。eq\f(1,4)C。eq\f（3，4）D。eq\f（7，8)【解析】平面區(qū)域Ω1的面積為eq\f(1，2）×2×2＝2,平面區(qū)域Ω2為一個條形區(qū)域，畫出圖形如圖所示，其中C（0,1）．由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（y－x－2＝0，,x＋y＝1,）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f（3，2），）)即Deq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，\f（3，2）)），則△ACD的面積為S＝eq\f（1，2)×1×eq\f（1,2)＝eq\f（1，4），則四邊形BDCO的面積S＝S△OAB－S△ACD＝2－eq\f(1，4)＝eq\f（7，4）.在Ω1中隨機取一點,則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為eq\f（\f(7，4)，2)＝eq\f（7,8）.【答案】D6．(2017·鞍山調(diào)查）一只昆蟲在邊分別為5,12，13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則其到三角形頂點的距離小于2的地方的概率為________．【解析】如圖所示,該三角形為直角三角形，其面積為eq\f(1,2)×5×12＝30，陰影部分的面積為eq\f(1,2）×π×22＝2π，所以所求概率為eq\f（2π，30）＝eq\f(π,15）?！敬鸢浮縠q\f(π,15)7．(2017·湖北七市聯(lián)考)AB是半徑為1的圓的直徑，M為直徑AB上任意一點,過點M作垂直于直徑AB的弦，則弦長大于eq\r(3）的概率是________．【解析】依題意知,當(dāng)相應(yīng)的弦長大于eq\r（3）時，圓心到弦的距離小于eq\r(12－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3），2）)）\s\up12（2))＝eq\f（1,2)，因此相應(yīng)的點M應(yīng)位于線段AB上與圓心的距離小于eq\f(1,2)的地方,所求的概率等于eq\f（1，2）?！敬鸢浮縠q\f（1,2)【解析】如圖所示,當(dāng)m＝0時，平面區(qū)域E(陰影部分）的面積最大，此時點P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大．【答案】09．(2017·湖南衡陽八中月考）隨機向邊長為5,5,6的三角形中投一點P，則點P到三個頂點的距離都不小于1的概率是________．【解析】由題意作圖，如圖則點P應(yīng)落在深色陰影部分，S三角形＝eq\f（1,2)×6×eq\r（52－32)＝12，三個小扇形可合并成一個半圓，故其面積為eq\f（π,2),故點P到三個頂點的距離都不小于1的概率為eq\f(12－\f（π,2），12)＝eq\f(24－π,24)?！敬鸢浮縠q\f(24－π,24）10．已知向量a＝（2，1),b＝（x,y）．(1）若x∈{－1，0，1，2｝,y∈{－1，0，1｝，求向量a∥b的概率；(2)若x∈［－1，2］,y∈［－1，1]，求向量a,b的夾角是鈍角的概率．【解析】(1)設(shè)“a∥b”為事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件空間為Ω＝{（－1,－1），（－1，0），(－1，1），(0，－1),（0，0)，（0，1)，(1，－1)，（1,0),（1，1)，（2，－1），（2，0）,(2，1)｝，共包含12個基本事件；其中A＝｛（0，0)，（2，1)}，包含2個基本事件．則P（A）＝eq\f（2，12）＝eq\f(1,6)，即向量a∥b的概率為eq\f（1,6).（2)因為x∈［－1，2]，y∈［－1，1］,則滿足條件的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域如圖為矩形ABCD，面積為S1＝3×2＝6.設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a,b的夾角是鈍角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.事件B包含的基本事件所構(gòu)成的區(qū)域為圖中四邊形AEFD，面積S2＝eq\f（1，2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)＋\f（3，2））)×2＝2，則P(B)＝eq\f(S2,S1)＝eq\f（2，6）＝eq\f（1，3).即向量a,b的夾角是鈍角的概率是eq\f（1,3）.B組專項能力提升（時間：30分鐘)11．(2016·課標(biāo)全國Ⅱ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(）A。eq\f（7，10)B。eq\f（5，8)C。eq\f（3,8)D。eq\f（3,10）【解析】此人來到時，正好是紅燈,若至少需要等待15秒，說明紅燈開始時間小于等于25秒．對應(yīng)概率P＝eq\f（25,40）＝eq\f（5,8)。故選B?！敬鸢浮緽12．(2015·湖北）在區(qū)間［0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥eq\f(1,2）"的概率，p2為事件“｜x－y|≤eq\f（1,2）"的概率，p3為事件“xy≤eq\f(1，2）”的概率，則（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p3＜p1＜p2D．p3＜p2＜p1【解析】如圖，點（x，y）所處的空間為正方形OBCA表示的平面區(qū)域(包括其邊界),故本題屬于幾何概型中的“面積比”型．分別畫出三個事件對應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形面積的大小估算概率的大?。疂M足條件的x，y構(gòu)成的點(x，y)在正方形OBCA及其邊界上．事件“x＋y≥eq\f（1,2）”對應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分；事件“|x－y｜≤eq\f(1,2)"對應(yīng)的圖形為圖②所示的陰影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”對應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分．對三者的面積進行比較，可得p2＜p3＜p1.【答案】B13．（2016·黑龍江哈爾濱六中期末)設(shè)不等式組eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（0≤x≤3,0≤y≤1）），表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離小于2的概率是（)A.eq\f(π,4）B。eq\f(π－\r（3)，6）C。eq\f（\r(3）＋3π，12）D.eq\f（3\r（3)＋2π,18）【解析】區(qū)域D：eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤x≤3,0≤y≤1））,表示矩形,面積為3.到坐標(biāo)原點的距離小于2的點,位于以原點O為圓心、半徑為2的圓內(nèi),則圖中的陰影面積為eq\f（1，2）×1×eq\r(3）＋eq\f(30，360)×π×4＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f（π,3），∴所求概率為P＝eq\f(3\r（3)＋2π，18).故選D?！敬鸢浮緿14．(2017·山東青島一模）如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝eq\f(π，6）?，F(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________．【解析】易知小正方形的邊長為eq\r(3)－1，故小正方形的面積為S1＝(eq\r（3)－1）2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面積為S＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P＝eq\f（S1，S)＝eq\f(4－2\r（3），4)＝eq\f(2－\r(3),2)。【答案】eq\f(2－\r(3）,2)15．甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的．如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h,求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．【解析】設(shè)甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y,記事件A為“兩船都不