2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第二講-參數(shù)方程-四-漸開線與擺線學(xué)案新人教A版選修4-4

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講參數(shù)方程四漸開線與擺線學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講參數(shù)方程四漸開線與擺線學(xué)案新人教A版選修4-42021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講參數(shù)方程四漸開線與擺線學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講參數(shù)方程四漸開線與擺線學(xué)案新人教A版選修4-4年級：姓名：四漸開線與擺線考綱定位重難突破1.借助教具或計算機(jī)軟件，觀察圓在直線上滾動時圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動時直線上定點(diǎn)的軌跡(漸開線)．知道平擺線和漸開線的生成過程，以及它們的參數(shù)方程.2.通過閱讀材料，知道外擺線、內(nèi)擺線的生成過程；學(xué)會擺線在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)例.重點(diǎn)：漸開線與擺線的基本概念和參數(shù)方程.難點(diǎn)：漸開線與擺線及其方程的靈活運(yùn)用.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第32頁[自主梳理]1．漸開線的產(chǎn)生過程把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做基圓．2．?dāng)[線的概念及產(chǎn)生過程圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點(diǎn)的軌跡，圓的擺線又叫旋輪線．3．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程(1)圓的漸開線方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ＋φsinφ，,y＝rsinφ－φcosφ))(φ為參數(shù))．(2)擺線的參數(shù)方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rφ－sinφ，,y＝r1－cosφ))(φ為參數(shù))．[雙基自測]1．給出下列說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開線的參數(shù)方程可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；③在求圓的擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn)．其中正確的說法有()A．①③ B．②④C．②③ D．①③④解析：本題主要考查漸開線和擺線的有關(guān)概念和參數(shù)方程的問題，對于一個圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標(biāo)系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會有所區(qū)別，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看坐標(biāo)系的選?。蔬xC.答案：C2．已知圓的漸開線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ＋φsinφ，,y＝sinφ－φcosφ))(φ為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)基圓的面積是()A．1 B．πC．2 D．2π解析：由參數(shù)方程知基圓的半徑為1，∴其面積為π.故選B.答案：B3．給出某漸開線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ＋3φsinφ，,y＝3sinφ－3φcosφ))(φ為參數(shù))，根據(jù)參數(shù)方程可以看出該漸開線的基圓半徑是________，當(dāng)參數(shù)φ取eq\f(π,2)時，對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析：與漸開線的參數(shù)方程進(jìn)行對照可知，r＝3，即基圓半徑是3，然后把φ＝eq\f(π,2)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3π,2)，,y＝3.))答案：3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，3))授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第32頁探究一圓的漸開線的參數(shù)方程[例1]已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別是eq\f(π,2)和eq\f(3π,2)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．[解析]由題意，知r＝1，則圓的漸開線參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ＋φsinφ，,y＝sinφ－φcosφ))(φ為參數(shù))．當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos\f(π,2)＋\f(π,2)·sin\f(π,2)＝\f(π,2)，,y＝sin\f(π,2)－\f(π,2)·cos\f(π,2)＝1，))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)).當(dāng)φ＝eq\f(3π,2)時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos\f(3π,2)＋\f(3π,2)·sin\f(3π,2)＝－\f(3π,2)，,y＝sin\f(3π,2)－\f(3π,2)·cos\f(3π,2)＝－1，))∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－1)).∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(3π,2)))2＋1＋12)＝2eq\r(π2＋1).圓的漸開線的參數(shù)方程中，字母r表示基圓的半徑，字母φ是指繩子外端運(yùn)動時繩子上的定點(diǎn)M相對于圓心的張角；另外，漸開線的參數(shù)方程不宜化為普通方程．1．已知漸開線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosφ＋φsinφ，,y＝4sinφ－φcosφ))上的點(diǎn)A對應(yīng)φ＝eq\f(π,2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝41－sinθ，,y＝41－cosθ))與直線x＝2相交于點(diǎn)B，求A，B兩點(diǎn)間的距離．解析：將φ＝eq\f(π,2)代入eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosφ＋φsinφ，,y＝4sinφ－φcosφ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2π，,y＝4，))∴A(2π，4)．在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝41－sinθ，,y＝41－cosθ))中，令x＝2得sinθ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(3),2)或cosθ＝－eq\f(\r(3),2)，∴y＝4－2eq\r(3)或y＝4＋2eq\r(3)，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4－2eq\r(3))或(2,4＋2eq\r(3))．∴|AB|＝eq\r(2π－22＋4±2\r(3)－42)＝2eq\r(π－12＋3)＝2eq\r(π2－2π＋4).探究二圓的擺線的參數(shù)方程[例2]求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程．(如圖所示，開始時定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，取圓滾動時轉(zhuǎn)過的角度α，(以弧度為單位)為參數(shù))[解析]當(dāng)圓滾過α角時，圓心為點(diǎn)B，圓與x軸的切點(diǎn)為A，定點(diǎn)M的位置如圖所示，∠ABM＝α.由于圓在滾動時不滑動，因此線段OA的長和圓弧的長相等，它們的長都等于2α，從而B點(diǎn)坐標(biāo)為(2α，2)，向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2α，2)，向量eq\o(MB,\s\up6(→))＝(2sinα，2cosα)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－2sinα，－2cosα)，因此eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，向量eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x，y)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2α－sinα，,y＝21－cosα.))這就是所求擺線的參數(shù)方程．1．圓的擺線的實(shí)質(zhì)是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點(diǎn)的軌跡．2．根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對于某一定點(diǎn)運(yùn)動所張開的角度大小．2．已知一個圓的擺線過一定點(diǎn)(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程．解析：由擺線的圖形知，圓的半徑最大時，定點(diǎn)(2,0)就是(2πr,0)(如圖所示).∴2πr＝2，∴r＝eq\f(1,π).代入，得圓的擺線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,π)φ－sinφ，,y＝\f(1,π)1－cosφ))(φ為參數(shù))．探究三漸開線與擺線參數(shù)方程的應(yīng)用[例3]如圖，一個寬為a的矩形木條沿著半徑為r的定圓無滑動地滾動，試求木條外緣上某點(diǎn)P的軌跡方程．[解析]以定圓圓心O為原點(diǎn)，O、F、P共線時所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，取∠AOB＝φ為參數(shù)，∵|BF|＝leq\x\to(AB)＝rφ，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FP,\s\up6(→))＝(rcosφ，rsinφ)＋eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(rφcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,2)))，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(rφsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,2)))))＋(acosφ，asinφ)＝((r＋a)cosφ＋rφsinφ，(r＋a)sinφ－rφcosφ)＝(x，y)．所以所求的點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝r＋acosφ＋rφsinφ，,y＝r＋asinφ－rφcosφ))(φ為參數(shù))．用向量法建立運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程的思路和步驟(1)建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)軌跡曲線上的動點(diǎn)為M(x，y)．(2)取定運(yùn)動中產(chǎn)生的某一角度為參數(shù)．(3)用三角、幾何知識寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)表達(dá)式．(4)用向量運(yùn)算得到eq\o(OM,\s\up6(→))的坐標(biāo)表達(dá)式，由此得到軌跡曲線的參數(shù)方程．3.如圖所示，ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE，EF，F(xiàn)G，GH，…的圓心依次按B，C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長是多少？解析：根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的eq\f(1,4)圓周長，長度為eq\f(π,2)，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的eq\f(1,4)圓周長，長度為π；是半徑為3的eq\f(1,4)圓周長，長度為eq\f(3π,2)；是半徑為4的eq\f(1,4)圓周長，長度為2π.所以，曲線AEFGH的長是5π.對圓的漸開線與擺線的概念理解不清致誤[典例]已知一個圓的擺線過一定點(diǎn)(1,0)，請寫出該擺線的參數(shù)方程．[解析]令r(1－cosφ)＝0，可得cosφ＝1.所以φ＝2kπ(k∈Z)，代入得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1，所以r＝eq\f(1,2kπ).又由題意可知，r是圓的半徑，故r＞0.所以應(yīng)有k＞0且k∈Z，即k∈N*.所以所求擺線的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2kπ)φ－sinφ，,y＝\f(1,2kπ)1－cosφ))(φ為參數(shù)，k∈N*)．[錯因與防范](1)若在求出cosφ＝1后，直接得出φ＝0，會導(dǎo)致答案不全面．(2)不要誤把點(diǎn)(1,0)中的1或0當(dāng)成φ的值．(3)根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rφ－sinφ，,y＝r1－cosφ))(φ為參數(shù))，可知只需求出其中的半徑r，圓擺線的參數(shù)方程即可寫出．也就是說圓的擺線的參數(shù)方程是由圓的半徑唯一確定的．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第34頁1．關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是()A．只有圓才有漸開線B．漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C．正方形也可以有漸開線D．對于同一個圓，如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同解析：不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線；漸開線和擺線的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對于同一個圓不論在什么地方建立平面直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同．答案：C2．已知一個圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝3sinθ))(θ是參數(shù))，那么圓的擺線方程中參數(shù)φ＝eq\f(π,2)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2))之間的距離為()A.eq\f(π,2)－1 B.eq\r(2)C.eq\r(10) D.eq\r(\f(3,2)π－1)解析：根據(jù)圓的參數(shù)方程可知圓的半徑為3，那么其對應(yīng)的擺線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3φ－3sinφ，,y＝3－3cosφ))(φ是參數(shù))，把φ＝eq\f(π,2)代入?yún)?shù)方程中易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3\b\l