專題 一元一次方程中的新定義問題（解答題30題）（原卷版）

七年級上冊數(shù)學(xué)《第三章一元一次方程》專題一元一次方程中的新定義問題（解答題30題）1．用“△”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a△b＝ab2+2ab+b，如：1△3＝1×32+2×1×3+3＝18．（1）求（﹣2）△3的值；（2）若x△（﹣3）＝2x+2，求x的值．2．用*定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定：a*b＝ab2﹣2ab，如：2*1＝2×12﹣2×2×1＝﹣2．（1）求：（﹣2）*3；（2）若（x+1）*12=3，求3．若規(guī)定這樣一種新運算法則：a*b＝a2﹣4ab，如3*（﹣2）＝32﹣4×3×（﹣2）＝33．（1）求4*（﹣5）的值；（2）若（﹣6）*y＝﹣11﹣y，求y的值．4．用“※”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．（1）求（﹣3）※4的值；（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．5．我們規(guī)定一種新的運算“?”：a?b＝a+ab﹣3b．例如：4?2＝4+4×2﹣3×2＝6，5?（﹣3）＝5+5×（﹣3）﹣3×（﹣3）＝﹣1．（1）（﹣1）?3＝，（2x﹣1）?12=（2）若4?（x+1）＝（2x﹣1）?12，求x6．定義一種新運算“※”，其規(guī)則為x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．（1）計算5※6值為．（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．（3）有理數(shù)的加法和乘法運算都滿足交換律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”運算是否滿足交換律？若滿足，請說明理由；若不滿足，請舉例說明．7．對于任意四個有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個有理數(shù)對（a，b）與（c，d）．我們規(guī)定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：（1）有理數(shù)對（3，﹣2）★（1，﹣2）＝．（2）若有理數(shù)對（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值．8．用“⊕”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a⊕b＝ab2+2ab+a．如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）則（﹣2）⊕3的值為；（2）若a+12⊕(?3)=8，求9．定義新運算：a?b＝a+b，a⊕b＝ab，等式右邊是通常的加法、減法運算．（1）求（﹣2）?3+4⊕（﹣2）的值；（2）化簡：a2b?3ab+5a2b⊕4ab；（3）若2x?1＝（﹣x+2）⊕4，求x的值．10．現(xiàn)定義一種新運算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b＝ab+2a．如2⊕3＝2×3+2×2＝10，且在運算過程中，有括號的要先算括號里面的．請解答下列問題：（1）求3⊕（﹣1）的值；（2）求（﹣2）⊕[（﹣4）⊕12（3）現(xiàn)改變上述運算規(guī)則：當(dāng)a≥b時，a⊕b＝ab+2a，當(dāng)a＜b時，a⊕b＝ab﹣2a．若4⊕x＝30，求x的值．11．“*”是新規(guī)定的這樣一種運算法則：a*b＝a2+2ab．比如3*（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3（1）試求2*（﹣1）的值；（2）若2*x＝2，求x的值；（3）若（﹣2）*（1*x）＝x+9，求x的值．12．（2022秋?香坊區(qū)期末）已知m，n為有理數(shù)，且m≠0，若關(guān)于x的一元一次方程mx﹣n＝0的解恰為x＝2m+n，則此方程稱為“合并式方程”．例如：3x+9＝0∵x＝2×3+（﹣9）＝﹣3，且x＝﹣3是方程3x+9＝0的解∴此方程3x+9＝0為“合并式方程”，請根據(jù)上述定義解答下列問題：（1）一元一次方程14（2）關(guān)于x的一元一次方程6x﹣n＝0是“合并式方程”，求n的值．13．對任意4個有理數(shù)a，b，c，d，定義新運算：abcd=（1）計算：已知1435=（2）若3x2x1（3）若x34x214．定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“兄弟方程”．如：方程2x＝4和3x+6＝0為“兄弟方程”．（1）若關(guān)于x的方程5x+m＝0與方程2x﹣4＝6是“兄弟方程”，求m的值；（2）若某“兄弟方程”的兩個解的差為8，其中一個解為n，求n的值．15．我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“定值方程”．例如：2x＝4的解為x＝2＝4﹣2，則該方程2x＝4是“定值方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）判斷方程4x＝6（回答“是”或“不是”）“定值方程”；（2）若a＝3，有符合要求的“定值方程”嗎？若有，求b的值；若沒有，請說明理由；（3）若關(guān)于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“定值方程”，求代數(shù)式5﹣3m+3n的值．16．規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“和解方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）已知關(guān)于x的一元一次方程﹣3x＝t是“和解方程”，求t的值；（2）已知關(guān)于x的一元一次方程4x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n（n≠0），求m，n的值．17．（2023春?浦東新區(qū)期末）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“奇異方程”．例如：2x＝4的解為x＝2＝4﹣2，則該方程2x＝4是“奇異方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）判斷方程5x＝﹣8（回答“是”或“不是”）“奇異方程”；（2）若a＝3，有符合要求的“奇異方程”嗎？若有，求b的值；若沒有，請說明理由．18．對于有理數(shù)a，b，定義兩種新運算“※”與“◎”，規(guī)定：a※b＝a2+2ab，a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|，例如，2※（﹣1）＝22+2×2×（﹣1）＝0，（﹣2）※3＝|﹣2+3|﹣|﹣2﹣3|＝﹣4．（1）計算（﹣3）※2的值；（2）若a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a◎b；（3）若（﹣2）※x＝2◎（﹣4）+3x，求x的值；（4）對于任意有理數(shù)m，n，請你定義一種新運算“★”，使得（﹣3）★5＝4，直接寫出你定義的運算：m★n＝（用含m，n的式子表示）．19．閱讀材料：規(guī)定一種新的運算a☆b☆c＝a+b﹣ac．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．（1）按照這個規(guī)定，計算1☆2☆3的結(jié)果為；（2）按照這個規(guī)定，化簡（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3；（3）按照這個規(guī)定，當(dāng)2☆x☆3＝4☆1☆x時，x的值為；（4）按照這個規(guī)定，若（1﹣x）☆（2x+1）☆（﹣2）＝m，12☆m☆（m﹣1）＝2，則x的值為220．如果兩個方程的解相差k，且k為正整數(shù)，則稱解較大的方程為另一個方程的“k的后移方程”．例如：方程x﹣3＝0的解是x＝3，方程x﹣1＝0的解是x＝1．所以：方程x﹣3＝0是方程x﹣1＝0的“2的后移方程”．（1）判斷方程2x﹣3＝0是否為方程2x﹣1＝0的k的后移方程（填“是”或“否”）；（2）若關(guān)于x的方程2x+m+n＝0是關(guān)于x的方程2x+m＝0的“2的后移方程”，求n的值；（3）若關(guān)于x的方程5x+b＝1是關(guān)于x的方程5x+c＝1的“3的后移方程”，求2b﹣2（c+3）的值．21．（2022秋?朔州月考）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為0、我們就稱這兩個方程為“互補方程”．例如：方程2x+5＝﹣1和x3（1）方程3x﹣7＝8與方程x?32+1＝﹣3（2）若關(guān)于x的方程x2+m＝2與方程3x﹣2＝x+6是“互補方程”，求（3）若關(guān)于x的方程2x﹣1＝4k﹣3與5x?34?k=32是“互補方程”，求k的值．及關(guān)于y的方程22．（2022秋?郴州期末）定義：如果兩個一元一次方程的解的和為1，我們就稱這兩個方程為“集團方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0為“集團方程”．（1）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程4x﹣1＝x+8是“集團方程”，求m的值；（2）若“集團方程”的兩個解的差為6，其中一個較大的解為n，求n的值；（3）若關(guān)于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“集團方程”，求關(guān)于23．已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數(shù)），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”．（1）已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為；（2）已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值；（3）已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數(shù)式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．24．（2023秋?東臺市期中）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程4x＝8與方程y+1＝0為“美好方程”．（1）請判斷方程4x﹣（x+5）＝1與方程﹣2y﹣y＝3是否為“美好方程”，請說明理由；（2）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程4y﹣2＝y(tǒng)+10是“關(guān)好方程”，求m的值；（3）若“美好方程”的兩個解的差為8，其中一個解為n，求n的值．25．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）定義一種新運算“▲”，其運算方式如下：2▲1＝4×2﹣3×1＝51▲（﹣3）＝4×1﹣3×（﹣3）＝13（﹣5）▲（﹣2）＝4×（﹣5）﹣3×（﹣2）＝﹣14…觀察式子的運算方式，請解決下列問題：（1）這種運算方式是：m▲n＝（用含m，n的式子表示）；（2）解方程3▲（2▲x）＝2▲x；（3）若關(guān)于x的方程3▲（ax﹣1）＝6的解為整數(shù)，求整數(shù)a的值；26．新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0為“友好方程”．（1）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的兩個解的差為6，其中一個解為n，求n的值．27．（2022秋?于都縣期末）我們規(guī)定關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解為x＝4.5﹣3＝1.5，則該方程3x＝4.5就是“差解方程”，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：【定義理解】（1）判斷：方程2x＝4差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關(guān)于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；【知識應(yīng)用】（3）已知關(guān)于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，則3（ab+a）＝．（4）已知關(guān)于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代數(shù)式3（mn+m）﹣9（mn+n）2的值．28．定義：關(guān)于x的方程ax+b＝0的解為x＝a+b，則稱這樣的方程是“和合方程”．如：x?12=0的解x=12=1+（?12），3（1）判斷方程﹣2x+4＝0是不是“和合方程”？說明理由；（2）若關(guān)于x的方程mx+n﹣m＝0是“和合方程”，求方程2（mn+n）y﹣4＝2（my+1）+3y的解．29．（2022秋?雨花區(qū)校級月考）如果兩個方程的解相差a，a為正整數(shù)，則稱解較大的方程為另一個方程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”．（1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，則a＝；（2）若關(guān)于x的方程x?x?2m3=n﹣1是關(guān)于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m（3）當(dāng)a≠0時，如果關(guān)于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3