計(jì)算方法習(xí)題課

計(jì)算方法習(xí)題課2022.10.26第三章非線性方程求根二分法（介值定理）不動(dòng)點(diǎn)迭代(收斂的充分條件，一個(gè)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)絕對值小于1)Newton迭代（收斂階、方程

、方程組）弦截法（用差商近似導(dǎo)數(shù)）不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂性，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)第五章求解線性方程組的迭代方法Jacobi迭代G-S迭代SOR迭代迭代收斂條件充要條件：迭代收斂條件充分必要條件：Jacobi迭代:充分條件(定理5.2)：Gauss-Seidel迭代:充分條件1(定理5.3)：充分條件2(定理5.4)：SOR迭代:必要條件：充分條件1：A對稱正定且充分條件2：A對角優(yōu)且

不滿足充分條件也可能收斂對比二范數(shù)：

第四章求解線性方程組的直接法這一題其實(shí)是用實(shí)例來說明選取列主元對于整個(gè)算法在數(shù)值穩(wěn)定性上的幫助。為了體現(xiàn)這一點(diǎn)，題目要求了一個(gè)較低的精度下求解（四位有效數(shù)字）。由于方程比較病態(tài)，（2）中是否采用列主元會(huì)導(dǎo)致結(jié)果會(huì)有很大不同，沒采用列主元的Gauss消元會(huì)由于舍入誤差導(dǎo)致結(jié)果與理論解產(chǎn)生較大偏差。還有一點(diǎn)要注意的是（2）中需要先將原始方程取四位有效數(shù)字。只進(jìn)行初等行變換不改變行列式的值，進(jìn)行Gauss消元直至對角陣，再計(jì)算行列式特征值、特征向量數(shù)值求解特征值冪法（求解模最大特征值）反冪法（求解模最小特征值，通過求逆矩陣的最大特征值，逆矩陣通過求解線性方程組的方法實(shí)現(xiàn)）Jacobi方法（通過正交矩陣，將實(shí)對稱方陣非對角元的值減少，多次迭代后得到一個(gè)接近對角陣的矩陣，其對角元都是矩陣的特征值）QR分解（利用householder變換）第八章計(jì)算矩陣的特征值和特征向量特征值與特征向量

冪法與反冪法冪法是迭代法，書上證明了冪法的收斂性。經(jīng)過多次迭代，迭代的向量會(huì)收斂于模最大特征值的特征向量，前后兩次迭代間的向量接近平行，兩個(gè)向量之間的比值會(huì)收斂于最大特征值。反冪法是通過對A的模最小特征值與A的逆的模最大特征值乘積為1，在利用冪法來實(shí)現(xiàn)計(jì)算A的模最小特征值Jacobi方法

作業(yè)這章作業(yè)主要以理解算法流程為主，都只要求算了三步。嚴(yán)格按照算法計(jì)算即可一些問題：冪法與反冪法的規(guī)范化，是將x向量除以x的模長（通常是無窮模。模長都是正數(shù)），目的是防止數(shù)值溢出冪法與反冪法的特征值結(jié)果，兩次相鄰迭代中向量任一對應(yīng)向量的比值都可以認(rèn)為是對特征值的估計(jì)Jacobi方法，每一步必定將選擇的位置變成0，但是其他變成0的地方一般又回變成非0，但是非對角部分的總模長是變小的，非對角部分的模長會(huì)隨著迭代增加到對角元上。如果發(fā)現(xiàn)計(jì)算完之后對應(yīng)部位仍是非0肯定是算錯(cuò)了。差商拉格朗