高等數學（第二版）課件：極限與連續(xù)

高等數學（第二版）一、數列的概念二、數列的極限第一節(jié)數列的極限極限與連續(xù)三、收斂數列的性質一、數列的概念定義1按一定順序排列的一列數：稱為數列，記為。數列中的每一個數稱為數列的項，第項稱為通項或一般項。數列也可以理解為定義域為正整數集的函數，從而可以表示為因此，數列又可以稱為整變量函數。由于數列是一種特殊的函數，所以我們下面討論其單調性和有界性。則稱數列是單調增加的。對于數列，若有成立，則稱數列是單調減少的。對于數列，若有成立，單調增加或單調減少的數列統(tǒng)稱為單調數列。對于數列，若存在正數，使得對于一切的都有成立，則稱數列是有界的，否則稱是無界的。例如數列是有界的，而是無界的。例如數列是單調增加的，數列是單調減少的。若數列的項數無限增大時，它的一般項無限接近于某個確定的常數，則稱是數列的極限，或稱數列收斂于，記為二、數列的極限從上述各個數列可以看到，隨著的逐漸增大，它們有其各自的變化趨勢：數列無限接近于常數0，但數列則不能。下面給出數列極限的初步定義：或（當時）。若這樣的常數不存在，就稱數列沒有極限或稱數列發(fā)散。當無限增大時，如果無限增大，則該數列極限不存在。此時，為方便起見，記為。但是，上述數列極限是直觀上的觀察結果，它沒有反映接近的程度與之間的關系，不能滿足數學理論上的推導的需要，為此，對數列極限需要給以嚴格的、精確的定義。定義2設數列及常數，如果對于任意給定的正數，總存在一個正整數，當時，不等式恒成立，則稱常數為數列的極限，或稱數列收斂于。例1用定義驗證。對于任意給定的正數，要使證：只要，于是取正整數，則當，

恒成立，從而數列收斂于的幾何意義如下：在數軸上，對點的任何一個鄰域，都存在一個序號，使得點列的第個點以后的所有點都在這個鄰域之內，即點列中最多除去前個點外，都聚集在點的這個鄰域之內，如圖所示。上述幾何意義表明：一個數列增加或刪除有限多項不會影響其斂散性定理1（唯一性）若數列收斂，則其極限唯一。三、收斂數列的性質利用這個定理，可以判斷某些數列沒有極限。例如，數列，一般項，當為奇數時等于1；當為偶數時等于－1，由收斂數列極限的惟一性可以判定該數列一定發(fā)散。定理2（有界性）若數列收斂，則數列一定

有界。上述定理的逆否命題表明：無界數列一定發(fā)散。例如，數列是發(fā)散的，因為它是無界數列；但要注意，數列有界是數列收斂的必要條件，而不是充分條件。例如，數列是有界的，而卻是發(fā)散數列。一、自變量趨向于無窮大時函數的極限第二節(jié)函數的極限極限與連續(xù)二、自變量趨向于有限值時函數的極限所謂自變量趨向于無窮大有下面三種情形：一、自變量趨向于無窮大時函數的極限（1）取正值且無限增大，記為；（2）取負值而無限增大，記為；（3）既可取正值，也可取負值而無限增大，記為。定義1若當的絕對值無限無限增大時，函數無限接近于一個確定常數，則稱是當時函數的極限，記為或定義2設函數在上有定義，若對于任意給定的正數（無論多么?。?，總存在正整數，使得適合不等式的所有，對應的函數值都滿足則常數就稱為當時的極限。上述定義的幾何意義是：對于無論多么小的正數，總能找到正數，當或時，曲線介于兩條水平直線和之間。

在的定義中，將換成可以得到

的定義；若將換成就可以得到的定義。例1用定義驗證。證：當時，函數有定義。對于任意給定的正數，要使，只要，可取，當時，有成立，從而例2討論當時,函數的極限。從圖中，我們可以看到：解：所以,當時，函數值不趨向于一個確定的常數，故時，函數的極限不存在。二、自變量趨向于有限值時函數的極限我們先來觀察當趨向于1時，函數的變化趨勢。函數在點處沒有定義，但當時，

。從的圖形看出，當時，函數值無限接近于2。定義3設函數在的某去心鄰域內有定義，若當無限接近于時，對應函數值無限接近于某個確定的常數，則稱是當時函數的極限，記為或（當時）這里值得注意的是：當時，以為極限與

在處是否有定義無關。當無限接近于時，

無限接近于的意思是：當與充分靠近，即當充分小時，可以小于預先給定的任意正數（無論該正數多么?。?。定義4設函數在的某去心鄰域內有定義，若對于任意給定的正數，總存在正數，使得當

時，恒有不等式成立，則稱是當時函數的極限。此定義的幾何意義是：對于任意給定的正數，無論其多么小，總存在點的某個去心鄰域，使得函數在這個去心鄰域內的圖形介于兩條水平直線

和之間。如下圖性質1性質2（其中為常數）。在的定義中，可以以任意方式趨向。有時，可以只考慮從的某一側（左側：；右側：）趨于時的變化趨勢。為明確起見，引進函數的左極限與右極限的概念，其定義如下：定義5設函數在的某個左（右）鄰域內有定義，當小于（大于）而趨于時，對應的函數值無限接近于某一確定常數，則稱常數是當時函數的左（右）極限：左極限記為：

右極限記為：或或根據時函數的極限定義、左極限和右極限的定義，可以得到下面的結論。定理1極限

的充分必要條件是因此，當及都存在，但不相等，或者

與中至少一個不存在時，就可斷言

在處極限不存在。先分別求當時的左、右極限：例4設，試判斷是否存在。由于左、右極限存在但不相等，所以極限不存在。解：例5判斷極限是否存在。當趨向于0時，趨于，，即當趨向于0時，趨于，，即由充分必要條件可知不存在。解：一、無窮小量二、無窮小量的比較第三節(jié)無窮小量極限與連續(xù)三、無窮大量四、無窮小量與無窮大量的關系一、無窮小量定義1若當時（或時），函數的極限為0，則稱函數當（或）時為無窮小量，簡稱無窮小。例如，因為，所以函數是當時的無窮小量。又如，因為，所以函數是當時的無窮小量。注意：無窮小量與一個很小的確定常數不能混為一談，因為無窮小是一個以0為極限的變量。零是無窮小量中唯一的常數。無窮小量的代數性質：性質1有限個無窮小量之和仍為無窮小量。性質2有界函數與無窮小量之積仍為無窮小。推論

常數與無窮小量之積為無窮小。例1求因為，即是時的無窮小，而

，即在的任一去心鄰域內有界。故由無窮小的性質2可得：是

時的無窮小，即解：由無窮小的概念，我們可以看到函數有極限可以通過無窮小來表述：定理1的充分必要條件是，其中在時為無窮小量。這個定理也適用于的情形。例如，，函數，其中

，即可以表示為與無窮小量之和。兩個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量，但它們的商的情況卻不同。比較兩個無窮小量在自變量同一變化過程中趨于零的“速度”是很有意義的。為此，我們引入下面的定義：例如，當時，都是無窮小量，可是

，這些情形表明，同為無窮小，但它們趨于零的速度有快有慢：要比趨向于零更快；而和趨向于零的快慢大致差不多。二、無窮小量的比較定義設和都是在自變量同一變化過程中的無窮小量，且，（1）如果，則稱是比高階的無窮小，記，（在時）也稱是比低階的無窮小。由定義可知，當時，是比高階的無窮小，記為。與是同階無窮小，記為。（2）如果（為不等于零的常數），則稱是的同階無窮小，記；特別地，如果

，則稱是的等價無窮小，記作。三、無窮大量定義2當（或）時，如果函數值的絕對值無限地增大，則稱函數當（或）時為無窮大量。注意：（或）只是沿用了極限符號，表明雖然無極限，但還是有明確趨向的。無窮大量是一個絕對值無限增大的變量，而不是絕對值很大很大的固定數。例如，因為，所以是當時的無窮大。又如函數，當時，相應的函數值無限地增大，則當時為無窮大，可記為。又例如，函數，當時，對應的函數值無限地增大，則當時為無窮大，記為還需指出的是，無窮大量與無窮小量不同，在自變量同一變化過程中，兩個無窮大量的和、差、商的極限是沒有確定的結果的，對于這類問題要針對具體情況進行處理。四、無窮小量與無窮大量的關系定理

在自變量的同一變化過程中：（1）如果是無窮大量，則是無窮小量；（2）如果且是無窮小量，則是無窮大量。定理表明了無窮小量與無窮大量互成倒數關系。第四節(jié)極限的運算法則極限與連續(xù)在同一定理中，考慮的是的同一變化過程，其主要運算法則如下：定理

設，則（3）當時，有（2）（1）（1）為常數，則；在使用這些法則時，必須注意：（1）法則要求每個參加運算的函數的極限存在；（2）商的極限的運算法則運用的前提是分母極限不為零。（2）（為正整數）。推論

例1

求解：例2求因為解：所以，由商的運算法則（2）對于有理分式函數（其中為多項式），當分母時，有從上面兩個例子可以看出：（1）對于函數為多項式，有但是在處，當有理分式的分母時，就不能使用商的極限運算法則，需要用另外的方法處理。例3求解：因為分母的極限，故不能用商的極限運算法則求其極限。在分母為零的情況下，求極限的方法將取決于分子的極限狀況。我們看到分子極限.由于分子和分母中有公因子，當時，，即，可約去這個不為零的公因子，所以例4求解：故由無窮大與無窮小關系得到：因為分母的極限，故不能用商的極限運算法則。但由于例5求解：當時，分子、分母的極限都是0，將分子無理式有理化，然后再求極限，得由于所以例6求下列極限（1）（2）（3）解：這里所求各極限都是在時的情形。（1）當時，分子、分母的極限都不存在，用同時除分子、分母，然后取極限，得（3）分子、分母同時除以，然后求極限，得（2）分子、分母同時除以，然后求極限，得一般地，當和為非負整數時，有例7求因為

，

，故不能直接應用極限的運算法則，可以先通分，約去非零因子

，再利用有理函數求極限的結論，故有解：解：當時，上式是無限項無窮小之和，不能直接應用運算法則。例8求一、極限存在準則二、兩個重要極限第五節(jié)極限的存在準則與兩個重要極限極限與連續(xù)三、用等價無窮小量計算極限一、極限存在準則（2）（1）

準則I（夾逼準則）設有三個數列，，滿足條件：則數列收斂，且。類似地，有關于函數極限的夾逼準則：設函數，，在點的某去心領域內有定義，且滿足條件：

（1）

（2）則存在，且等于。例1 給定對所有，求。解：由于以及，故由夾逼準則得：。準則II（單調有界準則）

單調有界數列必有極限。幾何解釋從數軸上看，對應于單調數列的點只能向一個方向移動（單調增加數列只向右方移動，單調減少數列只向左移動），所以只有兩種可能情形：或者點沿數軸移向無窮遠處（或）；或者點無限接近于某個定點（但不會超過上界或小于下界）。因此，對于單調增加數列來說，當它有界時，有，當它無界時，有；對于單調減少數列來說，當它有界時，有。當它無界時，有。由第一節(jié)我們知道，數列有界是數列收斂的必要條件。但對于單調數列來說，有界是其收斂的充分必要條件。二、兩個重要極限重要極限Ⅰ證：如圖在單位圓中，設圓心角,(),過點作圓的切線與的延長線交于，又作，垂足為。顯然，，，

從圖中可以看到：故即由于，，1均為偶函數，故以上不等式當時也成立。又，由夾逼準則，得解：例2

求例3求解：例4求解：例5求此題不可以使用乘積的極限運算法則。由于，當時，，解：故重要極限Ⅱ從表中不難看出，當時，數列的變化趨勢是穩(wěn)定的，且可以證明它的極限存在。這個極限值記為，即是一個無理數，其近似值為。當取實數而趨于無窮大時，仍有如果令，當時，，上式還可以改寫成例6求解：令，當時，，于是或例7求解：利用適當變形，求極限三、用等價無窮小量計算極限定理

如果在自變量的同一變化過程中，~，~，且存在（或為），則該定理實質上是等價無窮小的替換。在求極限時，分子及分母中的無窮小量因子，可用等價無窮小量代替。如果使用恰當，可以簡化計算。一些常見的等價無窮小當時，，，，，

，例8.求解：當時，，，所以例9．求解：當時，，，所以注意：相乘（除）的無窮小都可用各自的等價無窮小代換，但是相加（減）的無窮小的項不能作等價代換，例如一、函數的連續(xù)性二、函數的間斷點第六節(jié)函數的連續(xù)性與間斷點極限與連續(xù)三、初等函數的連續(xù)性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質一、函數的連續(xù)性定義1設變量從它的一個初值變化到終值，則終值與初值的差就稱為變量的增量，記為，即。增量可以是正的，可以是負的，也可以是零。當

時，變量從增大到，當時，變量從減小到。對于函數，當自變量從變化到，即在點取得增量時，函數相應地從變化到，取得增量，即。圖(2.11)定義2設函數在點的某鄰域內有定義，如果當自變量的增量趨向于零時，函數相應的增量也趨向于零，即則稱函數在點處連續(xù)或稱是的連續(xù)點。例1用定義證明在點處連續(xù)。證：在連續(xù)性定義中，令，即，則當

時，，且，于是可以改寫為即定義3設函數在點的某鄰域內有定義，如果則稱函數在點處連續(xù)。從定義式可知，一個函數在點處連續(xù)，必需滿足下列三個條件：（1）在有確定的函數值（2）極限存在（3）這個極限值就等于函數值顯然可知，函數在點處連續(xù)的充分必要條件是在點處左、右連續(xù)。若，則稱函數在點處左連續(xù)。若，則稱函數在點處右連續(xù)；如果函數在開區(qū)間內每一點都連續(xù)，則稱函數在開區(qū)間內連續(xù)。如果函數在開區(qū)間

內連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。二、函數的間斷點由函數在某點連續(xù)的定義可知，如果在點處有下列三種情況之一，則是的一個間斷點。定義4如果函數在點不連續(xù)，則稱點為函數的一個間斷點。（2）不存在；（3）存在，也有定義，但。（1）在的某個去心鄰域內有定義，而在點沒有定義；例2函數在點處無定義，所以是

的一個間斷點。又因為，所以點稱為的無窮間斷點。例3函數在點處有定義，

，但在處，有即在處左、右極限不相等，在處極限不存在。所以是的一個間斷點。例4函數在點處有定義，且

但是所以點是的間斷點。例5設函數在點處連續(xù)，求值。因為在處連續(xù)，則，而所以當時，函數在點處連續(xù)。解：定理1若函數與在點處連續(xù)，則這兩個函數的和、差、積、商時在點處仍連續(xù)。三、初等函數的連續(xù)性定理2設函數在點處連續(xù)，在點處連續(xù)，且