2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章定積分4.1定積分的概念學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE§1定積分的概念授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第37頁[自主梳理]一、定積分的概念一般地，給定一個(gè)在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)y＝f(x)，其圖像如圖所示．將[a，b]區(qū)間分成n份，分點(diǎn)為：a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b.第i個(gè)小區(qū)間為[xi－1，xi]，設(shè)其長度為Δxi，在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)ξi，使f(ξi)在區(qū)間[xi－1，xi]上的值最大，設(shè)S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)ξi，使f(ξi)在區(qū)間[xi－1，xi]的值最小，設(shè)s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.假如每次分割后，最大的小區(qū)間的長度趨于0，S與s的差也趨于0，此時(shí)，S與s同時(shí)趨于某一個(gè)固定的常數(shù)A，我們就稱A是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝A.其中∫叫作__________，a叫作________，b叫作________，f(x)叫作________．二、定積分的幾何、物理意義1．當(dāng)f(x)≥0時(shí)，eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示的是______與________所圍曲邊梯形的面積；2．當(dāng)f(x)表示速度關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)時(shí)，eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示的是運(yùn)動物體從x＝a到x＝b時(shí)所走過的________．三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1：eq\i\in(a,b,)1dx＝________；性質(zhì)2：eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝____________；性質(zhì)3：eq\i\in(a,b,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx±gx))dx＝________；性質(zhì)4：eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝________.[雙基自測]1．一物體沿直線運(yùn)動，其速度v(t)＝2t，這個(gè)物體在t＝0到t＝1這段時(shí)間所走的路程為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．22．下列式子中不成立的是()A．∫eq\o\al(2π＋a,a)sinxdx＝∫eq\o\al(2π＋a,a)cosxdxB．＝C.eq\i\in(0,π,)sinxdx＝eq\i\in(0,π,)cosxdxD.eq\i\in(0,π,)|sinx|dx＝eq\i\in(0,π,)|cosx|dx3．若eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝3，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝2，則eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝________.[自主梳理]一、積分號積分的下限積分的上限被積函數(shù)二、1.y＝f(x)x＝a，x＝b和x軸2.路程三、b－akeq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f(x)dx±eq\i\in(a,b,)g(x)dxeq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx[雙基自測]1．C所走的路程為eq\i\in(0,1,)2tdt，由定積分的幾何意義作圖(圖略)求得eq\i\in(0,1,)2tdt＝1.2．C分別作出被積函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx在各區(qū)間上的圖像，由定積分的幾何意義，易得只有C選項(xiàng)不成立．3．5由定積分的性質(zhì)易得eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝3＋2＝5.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第38頁探究一對定積分定義的理解(曲邊梯形的面積)[例1]求拋物線y＝x2與直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S.[解析](1)分割：在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n－1個(gè)點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間：[0，eq\f(1,n)]，[eq\f(1,n)，eq\f(2,n)]，…，[eq\f(n－1,n)，1]．記第i個(gè)區(qū)間為[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，其長度為Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).分別過上述n－1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積記作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si.(2)近似代替：記f(x)＝x2.當(dāng)n很大，即Δx很小時(shí)，在區(qū)間[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]上，可以認(rèn)為f(x)＝x2的值改變很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于左端點(diǎn)eq\f(i－1,n)處的函數(shù)值f(eq\f(i－1,n))．就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]上，用小矩形的面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′＝f(eq\f(i－1,n))Δx＝(eq\f(i－1,n))2·Δx＝(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)． ①(3)求和：由①，得Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si′＝eq\i\su(i＝1,n,f)(eq\f(i－1,n))Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)＝[0·eq\f(1,n)＋(eq\f(1,n))2·eq\f(1,n)＋…＋(eq\f(n－1,n))2·eq\f(1,n)]＝eq\f(1,n3)[12＋22＋…＋(n－1)2]＝eq\f(1,n3)·eq\f(nn－12n－1,6)＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))．從而得到S的近似值S≈Sn＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))． ②(4)取極限：分別將區(qū)間[0,1]等分成8,16,20，…等份時(shí)，可以看到隨著n的不斷增大，即Δx越來越小時(shí)，Sn＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))越來越趨近于S，而當(dāng)n趨向于＋∞時(shí)，②式無限趨近于eq\f(1,3)，即所求面積為eq\f(1,3).用分割，近似代替，求和，取極限這四個(gè)步驟可以求曲邊多邊形的面積，它體現(xiàn)了一種化整為零(分割)，積零為整(取極限)的思想方法．1．求由直線x＝1、x＝2、y＝0及曲線y＝eq\f(1,x2)圍成的圖形的面積S.解析：(1)分割：在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個(gè)點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間：[1，eq\f(n＋1,n)]，[eq\f(n＋1,n)，eq\f(n＋2,n)]，…，[eq\f(n＋n－1,n)，2]，記第i個(gè)區(qū)間為[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)](i＝1,2，…，n)，其長度為Δx＝eq\f(n＋i,n)－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1,n).分別過上述n－1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形(如圖)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則小曲邊梯形面積的和為S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si.(2)近似代替：記f(x)＝eq\f(1,x2).當(dāng)n很大，即Δx很小時(shí)，在區(qū)間[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)]上，可以認(rèn)為f(x)＝eq\f(1,x2)的值改變很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它等于f(eq\r(\f(n＋i－1,n)·\f(n＋i,n)))．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)]上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′＝f(eq\r(\f(n＋i－1,n)·\f(n＋i,n)))Δx＝eq\f(n2,n＋i－1n＋i)·eq\f(1,n)＝eq\f(n,n＋i－1n＋i)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：小曲邊梯形的面積和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si≈eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si′＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(n,n＋i－1n＋i)＝eq\f(n,nn＋1)＋eq\f(n,n＋1n＋2)＋…＋eq\f(n,n＋n－1n＋n)＝n(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n－1)－eq\f(1,n＋n))＝n(eq\f(1,n)－eq\f(1,2n))＝eq\f(1,2).從而得到S的近似值S≈Sn＝eq\f(1,2).(4)取極限：分別將區(qū)間[1,2]等分成8,16,20，…等份時(shí)，Sn越來越趨向于S，從而有S＝eq\f(1,2).∴由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝eq\f(1,x2)圍成的圖形的面積S為eq\f(1,2).探究二用定積分的幾何意義求定積分[例2]用定積分的幾何意義求eq\i\in(a,b,)eq\r(x－ab－x)dx(b＞0)的值．[解析]令y＝f(x)＝eq\r(x－ab－x)，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－a,2)))2，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))為圓心，半徑為eq\f(b－a,2)的上半圓，而這個(gè)上半圓的面積為S＝eq\f(1,2)πr2＝eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－a,2)))2＝eq\f(πb－a2,8)，由定積分的幾何意義可知，eq\i\in(a,b,)eq\r(x－ab－x)dx＝eq\f(πb－a2,8).由定積分的幾何意義求定積分的步驟(1)當(dāng)f(x)≥0時(shí)，eq\i\in(a,b,)f(x)dx等于由直線x＝a，x＝b，y＝0與曲線y＝f(x)圍成曲邊梯形的面積，這是定積分的幾何意義．(2)計(jì)算eq\i\in(a,b,)f(x)dx時(shí)，先明確積分區(qū)間[a，b]，從而確定曲邊梯形的三條直邊，x＝a，x＝b，y＝0，再明確被積函數(shù)f(x)，從而確定曲邊梯形的曲邊，這樣就可以通過求曲邊梯形的面積S而得到定積分的值：當(dāng)f(x)≥0時(shí)，eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝S；當(dāng)f(x)＜0時(shí)，eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝－S.2．用定積分的幾何意義求下列各式的值：(1)(2)(3)解析：(1)由y＝eq\r(4－x2)可知x2＋y2＝4(y≥0)，其圖像如圖．等于圓心角為eq\f(π,3)的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和．S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝AB·BC＝2eq\r(3)，∴＝2eq\r(3)＋eq\f(2π,3)－eq\r(3)＝eq\f(2π,3)＋eq\r(3).(2)∵函數(shù)y＝sinx在x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上是奇函數(shù)，∴＝0.(3)函數(shù)y＝1＋sinx的圖像如圖所示，＝S矩形ABCD＝2π.探究三定積分性質(zhì)的應(yīng)用[例3]已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)(3x3)dx；(2)eq\i\in(1,4,)(6x2)dx.[解析](1)eq\i\in(0,2,)(3x3)dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)x3dx＋\i\in(1,2,)x3dx))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)(6x2)dx＝6eq\i\in(1,4,)x2dx＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(1,2,)x2dx＋\i\in(2,4,)x2dx))＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.利用定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分的步驟(1)假如被積函數(shù)是幾個(gè)簡潔函數(shù)的和的形式，利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，可以簡化計(jì)算．(2)假如被積函數(shù)含有肯定值或被積函數(shù)為分段函數(shù)，一般利用積分區(qū)間的連續(xù)可加性計(jì)算．3．已知eq\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x2dx＝eq\f(e3,3)，求下列定積分的值：(1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x2)dx；(2)eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx.解析：(1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x2)dx＝2eq\i\in(0,e,)xdx＋eq\i\in(0,e,)x2dx＝2×eq\f(e2,2)＋eq\f(e3,3)＝e2＋eq\f(e3,3).(2)eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx＝2eq\i\in(0,e,)x2dx－eq\i\in(0,e,)xdx＋eq\i\in(0,e,)1dx，因?yàn)閑q\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x2dx＝eq\f(e3,3)，又由定積分的幾何意義知：eq\i\in(0,e,)1dx等于直線x＝0