2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修4

PAGE平面對量共線的坐標(biāo)表示(20分鐘35分)1.(2024·菏澤高一檢測)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,則下列關(guān)系式肯定成立的是 ()A.x1y1-x2y2=0 B.x1x2-y1y2=0C.QUOTE=QUOTE D.x1y2-x2y1=0【解析】選D.A、B明顯錯誤,C中只有在y1y2≠0時才成立.2.若向量a=(3,2),b=(-1,m),且a∥b,則m= ()A.QUOTEB.-QUOTEC.QUOTED.-QUOTE【解析】選B.向量a=(3,2),b=(-1,m),且a∥b,則3m-2×(-1)=0,解得m=-QUOTE.3.已知向量a=(1-sinθ,1),b=QUOTE,且a∥b,則銳角θ等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】選B.由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)-QUOTE=0,即cosθ=±QUOTE,而θ是銳角,故θ=45°.【補償訓(xùn)練】設(shè)a=QUOTE,b=QUOTE,且a∥b,則銳角α為 ()A.30° B.60° C.45° D.75°【解析】選A.因為a∥b,所以QUOTE×QUOTE-tanα·cosα=0,即sinα=QUOTE,又α為銳角,故α=30°.4.已知平面對量a=(x,1),b=(-x,x2),則向量a+b()A.平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于其次、四象限的角平分線【解析】選C.a+b=(x,1)+(-x,x2)=(0,x2+1),因為x2+1≥1,所以點(0,x2+1)在y軸正半軸上.所以a+b平行于y軸.5.(2024·寶山區(qū)高一檢測)向量a=(1,-2),向量b與a共線,且|b|=4|a|,則b=.

【解析】因為b∥a,令b=λa=(λ,-2λ),又|b|=4|a|,所以(λ)2+(-2λ)2=16×(1+4),故有λ2=16,解得λ=±4,所以b=(4,-8)或(-4,8).答案:(4,-8)或(-4,8)6.已知A,B,C三點的坐標(biāo)為(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=QUOTE,=QUOTE,求證:∥.【證明】設(shè)E,F的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),依題意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).因為=QUOTE,所以(x1+1,y1)=QUOTE(2,2).所以點E的坐標(biāo)為QUOTE.同理點F的坐標(biāo)為QUOTE,=QUOTE.又QUOTE×(-1)-4×QUOTE=0,所以∥.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分別與x,y軸正方向相同且為單位向量).與共線,則x,y的值可能分別為()A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4【解析】選B.因為=(1,2),=(3-x,4-y),又∥,所以4-y-2×(3-x)=0,即2x-y-2=0,代入檢驗知B合適.2.(2024·本溪高一檢測)已知三點A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若和是相反向量,則D點坐標(biāo)是 ()A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1)【解析】選C.因為與是相反向量,所以=-,又=(1,1),所以=(-1,-1).設(shè)D(x,y),則=(x-2,y)=(-1,-1).從而x=1,y=-1.即D(1,-1).3.設(shè)k∈R,下列向量中,與向量a=(1,-1)肯定不平行的向量是 ()A.(k,k) B.(-k,-k)C.(k2+1,k2+1) D.(k2-1,k2-1)【解析】選C.因為(k2+1)+(k2+1)=2k2+2>0,所以a與(k2+1,k2+1)肯定不平行.4.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),則①存在實數(shù)x,使a∥b;②存在實數(shù)x,使(a+b)∥a;③存在實數(shù)x,m,使(ma+b)∥a;④存在實數(shù)x,m,使(ma+b)∥b.其中,全部敘述正確的序號為 ()A.①② B.③④ C.①③ D.④【解析】選D.由a∥b?x2=-9無實數(shù)解,故①不對;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9無實數(shù)解,故②不對;因為ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a得(3m+x)x-3(mx-3)=0.即x2=-9無實數(shù)解,故③不對;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故④正確.5.(2024·鞍山高一檢測)△ABC中A為其內(nèi)角,設(shè)a=QUOTE,b=QUOTE,且a∥b,則sinA+cosA= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.2【解析】選B.a=QUOTE,b=QUOTE,且a∥b,所以QUOTE×QUOTE-sinAcosA=0,則sinAcosA=QUOTE.所以(sinA+cosA)2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+2×QUOTE=2.由A是△ABC的內(nèi)角,可得sinA>0,cosA>-1,所以sinA+cosA>-1,則sinA+cosA=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·泰安高一檢測)若三點A(-2,-2),B(0,m),C(n,0)(mn≠0)共線,則QUOTE+QUOTE的值為.

【解析】因為A,B,C共線,所以∥.因為=(2,m+2),=(n+2,2),所以4-(m+2)(n+2)=0.所以mn+2m+2n=0.因為mn≠0,所以QUOTE+QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE7.已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),∥,則x+2y=.

【解析】因為=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),所以=-=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2).因為∥,所以x(-y+2)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.答案:08.如圖所示,在四邊形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),則直線AC與BD交點P的坐標(biāo)為.

【解析】設(shè)P(x,y),則=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三點共線可得=λ=(5λ,4λ).又因為=-=(5λ-4,4λ),由于與共線得,(5λ-4)×6+12λ=0.解得λ=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE,所以P的坐標(biāo)為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知向量=(4,3),=(-3,-1),點A(-1,-2).(1)求線段BD的中點M的坐標(biāo).(2)若點P(2,y)滿意點P,B,D三點共線,求y的值.【解析】(1)設(shè)B(x1,y1),因為=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3),所以QUOTE所以QUOTE所以B(3,1).同理可得D(-4,-3),設(shè)BD的中點M(x2,y2),則x2=QUOTE=-QUOTE,y2=QUOTE=-1,所以MQUOTE.(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).因為P,B,D三點共線,所以∥,所以-4+7(1-y)=0,所以y=QUOTE.10.已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形,E為AB的中點,點F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF與EC相交于點P,求四邊形APCD的面積.【解析】以A為坐標(biāo)原點,所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,如圖所示,所以A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),設(shè)P(x,y),=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由點A,P,F和點C,P,E分別共線,得QUOTE所以QUOTE所以QUOTE=QUOTE-QUOTE-QUOTE=36-QUOTE×3×3-QUOTE×3×6=QUOTE.1.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三個頂點A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點D的坐標(biāo)為.

【解析】因為在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,所以=2.設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),則=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以QUOTE解得QUOTE故點D的坐標(biāo)為(2,4).答案:(2,4)2.如圖,已知四邊形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延長線交BA的延長線于點F,求證:AF=AE.【證明】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長為1,則A(-1,1),B(0,1),若點E的坐標(biāo)為(x,y),則=(x,y-1),=(1,-1).因為∥,所以x×(-1)-1