專題11空間直線平面的垂直（分層訓(xùn)練）教師版

專題11空間直線、平面的垂直A組基礎(chǔ)鞏固1．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】．C【解析】如圖，連結(jié)，易知平面，所以，又，所以平面，故，選C．2．已知互相垂直的平面交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】．C【解析】選項(xiàng)A，只有當(dāng)或時(shí)，；選項(xiàng)B，只有當(dāng)時(shí)；選項(xiàng)C，由于，所以；選項(xiàng)D，只有當(dāng)或時(shí)，，故選C．3．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面（）A．若，，則B．若，則C．若則D．若，，，則【答案】．C【解析】選項(xiàng)中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選．4．已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】．B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯(cuò)誤；顯然選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，，則或或與相交，D錯(cuò)誤．故選B．5．（2020屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)）設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，正確的是（）．A．若，則B．，則C．若∥，，則D．∥，則∥【答案】C【解析】A．錯(cuò)，因?yàn)闆](méi)說(shuō)明垂直于兩平面的交線，B．錯(cuò)，垂直于同一平面的兩個(gè)平面相交或平行，C．正確，因?yàn)槠矫娲嬖诖怪庇诘木€，D．錯(cuò)，因?yàn)榕c有可能相交．故選C。6．（線線垂直的條件判斷）在直三棱柱中，.以下能使的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橹比庵?，所以，又因?yàn)椋砸驗(yàn)?，平面，所以平面，所以，那么，要證，故只需要證明平面，即證，因?yàn)橹比庵膫?cè)面都是長(zhǎng)方形，當(dāng)增加條件時(shí)，則可以得到，因?yàn)?，，平面，所以平面，所?故選B.7．（四川省宜賓市2019屆高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)試題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，分別是的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿及把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，則四面體的高為（）A． B．C． D．1【答案】B【解析】如圖，由題意可知兩兩垂直，∴平面，∴，設(shè)P到平面的距離為h，又，∴，∴，故，故選B.8．如圖，在正方體中，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)．下列命題正確的為_(kāi)______________.①存在點(diǎn)，使得//平面；②對(duì)于任意的點(diǎn)，平面平面；③存在點(diǎn)，使得平面；④對(duì)于任意的點(diǎn)，四棱錐的體積均不變．【答案】①②④【解析】①當(dāng)為棱上的一中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)也為棱上的一個(gè)中點(diǎn)，此時(shí)//，滿足//平面，故①正確；②連結(jié)，則平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故②正確；③平面，不可能存在點(diǎn)，使得平面，故③錯(cuò)誤；④四棱錐的體積等于，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.∵無(wú)論、在何點(diǎn)，三角形的面積為為定值，三棱錐的高，保持不變，三角形的面積為為定值，三棱錐的高為，保持不變.∴四棱錐的體積為定值，故④正確.故答案為①②④.9．在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）證明：在中，，，由余弦定理可得：故所以，即為等腰直角三角形取的中點(diǎn)，連接由，得連接，因?yàn)?，所以平面所以又，，，所以即又所以平面，又平面所以平面平面?）解：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面證明如下：連接交于點(diǎn)因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危詾榈闹悬c(diǎn)又為的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫妫矫嫠云矫?0.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．【解析】（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面，所以．又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以．又平面，平面，，所以平面PAC．（Ⅱ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD．又，所以AB⊥AE．又平面，平面，，所以AE⊥平面PAB．又平面，所以平面PAB⊥平面．（Ⅲ）棱PB上存在點(diǎn)F，且為的中點(diǎn)，使得CF∥平面PAE．取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，則FG∥AB，且FG=AB．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四邊形CEGF為平行四邊形，所以CF∥EG．因?yàn)镃F平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．11．（2018全國(guó)卷Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．【解析】(1)因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以⊥，且．連結(jié)．因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，且⊥，．由知，⊥．由⊥，⊥知⊥平面?2)作⊥，垂足為．又由(1)可得⊥，所以⊥平面．故的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離．由題設(shè)可知，，．所以，．所以點(diǎn)到平面的距離為．

B組能力提升12．（2020屆湖南省永州市高三第三次模擬）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)槔庵侵比庵杂?，所以面又，分別為AB，BC的中點(diǎn)所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于13．（2020屆全國(guó)名校高三模擬）在如圖所示的幾何體中，已知，平面ABC，，，若M是BC的中點(diǎn)，且，平面PAB．求線段PQ的長(zhǎng)度；求三棱錐的體積V．【答案】（1）2；（2）2.【解析】取AB的中點(diǎn)N，連接MN，PN，，且，，、Q、M、N確定平面，平面PAB，且平面平面，又平面，，四邊形PQMN為平行四邊形，．解：取AC的中點(diǎn)H，連接QH，，且PQ=AH=2，四邊形PQHA為平行四邊形，，平面ABC，平面ABC，，，三棱錐的體積：．14．（2020·北京市西城區(qū)高三一模）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.15．（2020·黑龍江哈爾濱師大附中高三模擬（理））如圖，三棱柱中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）連結(jié)交于，連結(jié)，∵，，∴，.又，，∴，因此，四邊形為平行四邊形，即∵面，面，∴平面（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，過(guò)作，連結(jié)∵面，面，∴∵，，∴面∵面，∴面面，∵面，，面面，面，即為直線與平面所成角，記為，，∴，在中，，∴，，，，，設(shè)平面的法向量，，取，平面的法向量，因此，二面角的余弦值。16．（2020·陜西省西安中學(xué)高三三模（理））如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，且平面，，是中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使直線與平面的所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案