專題12函數(shù)與方程-2024年數(shù)學(xué)高頻考點重點題型（原卷版）

專題12函數(shù)與方程一、核心體系函數(shù)與方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(零點的概念,零點存在性定理,一元二次方程根的分布))二、關(guān)鍵能力學(xué)生應(yīng)掌握函數(shù)的零點、方程的解、圖象交點（橫坐標(biāo)）三者之間的靈活轉(zhuǎn)化，以實現(xiàn)快速解決問題．三、教學(xué)建議從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點，尤其是函數(shù)零點(方程的根)個數(shù)的判斷及由零點存在性定理判斷零點是否存。常常以基本初等函數(shù)為載體，結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷方程根的存在性及根的個數(shù)，或利用函數(shù)零點確定參數(shù)的取值范圍等．也可與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查.題目的難度起伏較大.四、高頻考點1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系（☆☆☆）Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210四、重點題型考點一、求解函數(shù)零點例11(2019·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]所有零點之和為例12用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.6000)≈0.200

f(1.5875)≈0.133

f(1.5750)≈0.067

f(1.5625)≈0.003

f(1.5562)≈－0.029

f(1.5500)≈－0.060

據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解為________(精確到0.01)例13．已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．當(dāng)2<a<3<b<4時，函數(shù)f(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________．題組訓(xùn)練1.（天津高考真題）已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的所有零點之和為（）A．2 B．3 C．4 D．52.如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]3．用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的近似解，驗證，給定精度為0.1，需將區(qū)間等分__________次.考點二、判斷函數(shù)零點個數(shù)例21設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)(如，)，則函數(shù)的零點個數(shù)為_______.例22函數(shù)的零點一定位于區(qū)間（）A． B． C． D．例23已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則方程根的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6對點訓(xùn)練1.函數(shù)，的零點個數(shù)是（）.A．0 B．1 C．2 D．32.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A． B． C． D．3.【多選題】在下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點的區(qū)間為（）A． B． C． D．3.(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)考點三、已知零點求參例31.已知函數(shù)若函數(shù)有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值可以是（）A．1 B．0 C．1 D．2例32.函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)題組訓(xùn)練1.已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]3.(2022·蘇州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝x·2x－kx－2在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，則實數(shù)k的取值范圍是________．考點五、二次函數(shù)零點分布例4．若函數(shù)在區(qū)間（－1，1）上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）對點訓(xùn)練1.已知，有下列四個命題：：是的零點；：是的零點；：的兩個零點之和為1：有兩個異號零點若只有一個假命題，則該命題是（）A． B． C． D．2.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為________．3.若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．考點五、零點應(yīng)用例5.設(shè)方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則()A．x1x2<0B．x1x2＝0C．x1x2>1D．0<x1x2<1對點訓(xùn)練1.已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，，，，則的取值范圍是______.2.函數(shù)，如果方程有四個不同的實數(shù)解、、、，則．3.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x≤1,－x＋2，x＞1))，若實數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，則3a＋c＋3b＋c的取值范圍為()A.(6，16) B.(6，18)C.(8，16) D.(8，18)鞏固訓(xùn)練一、單項選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))則函數(shù)f(x)的零點為()A．2 B．－2,0C．eq\f(1,2) D．02．用二分法求函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在區(qū)間(0,1)上的零點，要求精確度為0．01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()A．5 B．6C．7 D．83．(2022·惠州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．34．(2022·西安模擬)函數(shù)y＝x3和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2存在公共點P(x0，y0)，則x0的范圍為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)5．(2022·汕頭質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))6．已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A.x1＜x3＜x2B.x2＜x3＜x1C.x2＜x1＜x3D.x1＜x2＜x37．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.8．(2022·西安高三模擬)定義域和值域均為[－a，a](常數(shù)a＞0)的函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖象如圖所示，方程g(f(x))＝0解的個數(shù)不可能是()A．1 B．2C．3 D．4二、多項選擇題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜110．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則實數(shù)m可能的值有()A．2B．3C．4D．511．(2022·濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，實數(shù)d是函數(shù)f(x)的一個零點．給出下列四個判斷，其中可能成立的是()A．d＜a B．d＞bC．d＞c D．d＜c12．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個點x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是()A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1三、填空題13.已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點之和為_________.14．若函數(shù)f(x)＝ax2－