第03講簡單幾何體的表面積與體積-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)(人教A版2019)

第3講簡單幾何體的表面積與體積知識點(diǎn)1棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積的概念棱柱、棱錐、棱臺是多面體，將棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開分別是平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形，側(cè)面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積．由此可知，棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積就是它們的各個側(cè)面的面積之和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自的底面積的和．可見，棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成這些幾何體的各個平面的面積之和，也可表示為：，，．計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺底面與側(cè)面的形狀如下表：項(xiàng)目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高注：求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．2．直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面面積（1）直棱柱的側(cè)面積：把直棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)沿一條側(cè)棱剪開后，得到的側(cè)面展開圖是一個矩形．如圖(1)所示，則直棱柱的側(cè)面面積為ch(c為底面周長，h為側(cè)棱長)．（2）正棱錐的側(cè)面積：正棱錐(底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影是底面的中心)的側(cè)面展開圖是幾個全等的等腰三角形．如圖(2)所示，則正棱錐的側(cè)面面積為ch′(c為底面周長，h′為斜高，即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)．（3）正棱臺的側(cè)面積：正棱臺(由正棱錐截得)的側(cè)面展開圖是幾個全等的等腰梯形．如圖(3)所示，則正棱臺的側(cè)面面積為(c+c′)h′(c′，c分別為上、下底面周長，h′為斜高，即側(cè)面等腰梯形的高)．知識點(diǎn)2圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱（底面半徑為r，母線長為l）圓錐（底面半徑為r，母線長為l）圓臺（上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l）側(cè)面展開圖圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)底面面積S底=πr2S底=πr2S上底=πr′2，S下底=πr2側(cè)面面積S側(cè)=2πrlS側(cè)=πrlS側(cè)=πl(wèi)(r′+r)表面積S表=2πr(r+l)S表=πr(r+l)S表=π(r′2+r2+r′l+rl)注：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．對圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積與表面積的求解(1)求圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積或表面積時(shí)，可直接使用公式.但圓臺的表面積公式比較復(fù)雜，不要求記憶，因此，表面積的求解方法是最重要的．(2)在計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件計(jì)算以上旋轉(zhuǎn)體的母線長和底面圓的半徑長．(3)這些公式的推導(dǎo)方法向我們提示了立體幾何問題的解題思路，那就是主要通過空間觀念等有關(guān)知識，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．(4)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式間的關(guān)系S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圓錐側(cè)＝πrl.知識點(diǎn)3柱體、椎體、臺體的體積1．柱體、椎體、臺體的高（1）棱柱（圓柱）的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離．圓柱的母線即圓柱的高．（2）棱錐（圓錐）的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離．（3）棱臺（圓臺）的高是指兩個底面之間的距離．2．柱體、錐體、臺體的體積幾何體體積柱體V柱體=Sh(S為底面面積，h為高)，V圓柱=πr2h(r為底面半徑，h為高)錐體V錐體=Sh(S為底面面積，h為高)，V圓錐=πr2h(r為底面半徑，h為高)臺體(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，V圓臺=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分別為上、下底面半徑，h為高)注：1、對于棱柱、棱錐、棱臺的體積公式的幾點(diǎn)認(rèn)識(1)等底、等高的兩個棱柱的體積相同．(2)等底、等高的棱錐和棱柱的體積之間的關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)得出，等底、等高的棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．(3)柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S),\s\do5())V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0),\s\do5())V＝eq\f(1,3)Sh.(4)求棱臺的體積可轉(zhuǎn)化為求棱錐的體積.根據(jù)棱臺的定義進(jìn)行“補(bǔ)形”，還原為棱錐，采用“大棱錐”減去“小棱錐”的方法求棱臺的體積．2、對于圓柱、圓錐、圓臺體積公式的幾點(diǎn)認(rèn)識(1)等底、等高的兩個圓柱的體積相同．(2)等底、等高的圓錐和圓柱的體積之間的關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)得出，等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍．(3)圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間的關(guān)系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S),\s\do5())V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0),\s\do5())V＝eq\f(1,3)Sh.(4)求圓臺的體積轉(zhuǎn)化為求圓錐的體積.根據(jù)臺體的定義進(jìn)行“補(bǔ)形”，還原為圓錐，采用“大圓錐”減去“小圓錐”的方法求圓臺的體積．知識點(diǎn)4組合體的表面積與體積求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減．求體積時(shí)也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減．知識點(diǎn)5球的體積與表面積1．球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為．注：從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有惟一確定的S和V與之對應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．球的表面積(體積)計(jì)算中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想①函數(shù)方程思想：根據(jù)球的表面積與體積公式可知，球的半徑R，球的表面積S，球的體積V三個量“知一求二”．②轉(zhuǎn)化思想：空間問題平面化．考點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積解題方略：求棱柱、棱錐、棱臺的表面積的基本步驟(1)清楚各側(cè)面的形狀，求出每個側(cè)面的面積．(2)求出其底面的面積．(3)求和得到表面積．注意：組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．【例1】棱長為3的正方體的表面積為()A．27 B．64C．54 D．36【解析】根據(jù)表面積的定義，組成正方體的表面共6個，且每個都是邊長為3的正方形．從而，其表面積為6×32＝54.故選C.變式1：現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積．【解析】如圖，設(shè)底面對角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側(cè)面積S＝4×8×5＝160.變式2：若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側(cè)面為矩形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積等于()A．12 B．48C．64 D．72【解析】該六棱柱的6個側(cè)面是全等的矩形，則S側(cè)＝6×(3×4)＝72.故選D.變式3：已知一個三棱錐的每一個面都是邊長為1的正三角形，則此三棱錐的表面積為()A．4 B.eq\f(\r(3),4)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)【解析】三棱錐的每個面(正三角形)的面積都為eq\f(\r(3),4)，所以此三棱錐的表面積為4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).故選D.變式4：側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時(shí)，該三棱錐的表面積是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2【解析】∵側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.故選A.變式5：已知正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為5，則此棱錐的側(cè)面積為()A．6 B．12C．24 D．48【解析】正四棱錐的斜高h(yuǎn)′＝eq\r(52－32)＝4，S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.故選D.變式6：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為()A．1∶1 B．1∶eq\r(2)C．1∶eq\r(3) D．1∶2【解析】由題圖可知，三棱錐D1-AB1C的各面均是正三角形.其邊長為正方體側(cè)面對角線.設(shè)正方體的棱長為a，則面對角線長為eq\r(2)a，S錐＝4×eq\f(1,2)(eq\r(2)a)2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2，S正方體＝6a2，故S錐∶S正方體＝1∶eq\r(3).故選C.變式7：已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為________．【解析】如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，過B1作B1F⊥BC，垂足為F，在Rt△B1FB中，BF＝eq\f(1,2)×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15)，所以S梯形BB1C1C＝eq\f(1,2)×(8＋4)×2eq\r(15)＝12eq\r(15)，故四棱臺的側(cè)面積S側(cè)＝4×12eq\r(15)＝48eq\r(15)，所以S表＝48eq\r(15)＋4×4＋8×8＝80＋48eq\r(15).變式8：若五棱臺ABCDE-A1B1C1D1E1的表面積是30，側(cè)面積是25，則兩底面面積的和為________．【解析】S表＝S側(cè)＋S兩底，則S兩底＝S表－S側(cè)＝30－25＝5.變式9：已知正五棱臺的上、下底面邊長分別為4cm和6cm，側(cè)棱長為5cm，則它的側(cè)面積為________cm2.【解析】側(cè)面等腰梯形的高為eq\r(52－1)＝2eq\r(6)(cm)，所以側(cè)面積S＝5×eq\f(4＋6×2\r(6),2)＝50eq\r(6)(cm2)．考點(diǎn)二棱柱、棱錐、棱臺的體積解題方略：【例2】正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a＝4.∴其體積V＝a3＝43＝64.故選B.變式1：若長方體的長、寬、高分別為3cm,4cm,5cm，則長方體的體積為()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm3【解析】長方體即為四棱柱，其體積為底面積×高，即為3×4×5＝60(cm)3.故選B.變式2：如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A-DED1的體積為________．【解析】VA-DED1＝VE-DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).變式3：已知高為3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐B1-ABC的體積為________．【解析】由題意，錐體的高為BB1，底面為S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，所以VB1-ABC＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).變式4：如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)【解析】∵VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).故選C.變式5：如圖所示，三棱錐的頂點(diǎn)為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P-ABC的體積V.【解析】三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把B看作頂點(diǎn)，△PAC作為底面求解．故VP-ABC＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.變式6：如圖，某幾何體下面部分為正方體ABCD-A′B′C′D′，上面部分為正四棱錐S-ABCD，若幾何體的高為5，棱AB＝2，則該幾何體的體積為________．【解析】V正方體＝23＝8，VS-ABCD＝eq\f(1,3)×22×(5－2)＝4.V＝V正方體＋VS-ABCD＝12.變式7：長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V，P是DD1的中點(diǎn)，Q是AB上的動點(diǎn)，求四面體P-CDQ的體積．【解析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為AB＝a，BC＝b，AA1＝c，則有V＝abc.由題意知PD＝eq\f(1,2)c，S△CDQ＝eq\f(1,2)CD·AD＝eq\f(1,2)ab，所以VP-CDQ＝eq\f(1,3)S△CDQ·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝eq\f(1,12)V.變式8：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，截下一個棱錐C-A1DD1，求棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比．【解析】設(shè)矩形ADD1A1的面積為S，AB＝h，∴VABCD-A1B1C1D1＝VADD1A1-BCC1B1＝Sh.而棱錐C-A1DD1的底面積為eq\f(1,2)S，高為h，故三棱錐C-A1DD1的體積為：VC-A1DD1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×h＝eq\f(1,6)Sh，余下部分體積為：Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.變式9：三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，三角形PAB的面積為S，則V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE-ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).變式10：如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1上靠近C1的三等分點(diǎn)，且三棱錐A1-AEF的體積為2，則四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為()A．12 B．8C．20 D．18【解析】設(shè)點(diǎn)F到平面ABB1A1的距離為h，由題意得VA1-AEF＝VF-A1AE＝eq\f(1,3)S△A1AE·h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq\f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq\f(1,6)·S四邊形ABB1A1·h＝eq\f(1,6)VABCD-A1B1C1D1，所以VABCD-A1B1C1D1＝6VA1-AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為12.故選A.變式11：已知棱臺的上、下底面積分別為4,16，高為3，則棱臺的體積為________．【解析】由棱臺的體積公式可求得其體積為V＝eq\f(1,3)(4＋eq\r(4×16)＋16)×3＝28.變式12：棱臺的體積為76cm3，高為6cm，一個底面面積為18cm2，則另一個底面面積為__________．【解析】設(shè)另一個底面面積為xcm2，則由V＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)，得76＝eq\f(1,3)×6×(18＋x＋eq\r(18x))，解得x＝8，即另一個底面的面積為8cm2.答案：8cm2變式13：三棱臺ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1C1的體積之比．【解析】設(shè)棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC-A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB-A1B1C＝V臺－VA1-ABC－SC-A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.變式14：我國古代《九章算術(shù)》里，記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈．問積幾何？其意思是：今有上下底面皆為長方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長3丈，上底寬3丈，長4丈，高3丈．問它的體積是多少？該書提供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，將兩次運(yùn)算結(jié)果相結(jié)，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈【解析】由題意知，芻童的體積為[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故選B.變式15：(2019·全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.【解析】由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．考點(diǎn)三圓柱、圓錐、圓臺的表面積解題方略：求圓柱、圓錐、圓臺的表面積的基本步驟(1)得到空間幾何體的平面展開圖．(2)依次求出各個平面圖形的面積．(3)將各平面圖形的面積相加．【例3】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π【解析】因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.變式1：將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4π B．3πC．2π D．π【解析】底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.變式2：圓柱的一個底面積是S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是()A．4πS B．2πSC．πS D.eq\f(2\r(3),3)πS【解析】底面半徑是eq\r(\f(S,π))，所以正方形的邊長是2πeq\r(\f(S,π))＝2eq\r(πS)，故圓柱的側(cè)面積是(2eq\r(πS))2＝4πS.故選A.變式3：如圖，一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱．(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？【解析】(1)S圓柱側(cè)＝2πrx＝2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,3)))x＝4πx－eq\f(2π,3)x2，x∈(0,6)．(2)由(1)知當(dāng)x＝－eq\f(4π,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))))＝3時(shí)，這個二次函數(shù)有最大值6π，∴當(dāng)圓柱的高為3cm時(shí)，它的側(cè)面積最大為6πcm2.變式4：如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的洞，求挖洞后幾何體的表面積是多少？(π取3.14)【解析】正方體的表面積為4×4×6＝96(cm2)，圓柱的側(cè)面積為2π·1×1＝2π(cm2)，圓柱的底面積為π·12＝π(cm2)，則挖洞后幾何體的表面積為96－π＋2π＋π＝96＋2π≈102.28(cm2).變式5：已知一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的側(cè)面積為__________．【解析】由題意，母線長l＝2，底面半徑為1，所以側(cè)面積為π×1×2＝2π.變式6：若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形，則這個圓錐的表面積是________.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝4π，∴r＝2，∴圓錐的表面積為S＝πr2＋πr×4＝4π＋8π＝12π.變式7：已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則該圓臺較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．3【解析】設(shè)圓臺較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r.由S側(cè)＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.故選A.變式8：圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為________．【解析】先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝eq\r(h2＋R－r2)＝eq\r(4r2＋3r2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.考點(diǎn)四圓柱、圓錐、圓臺的體積解題方略：圓柱、圓錐、圓臺的體積求法(1)直接法：根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定底面積和高，代入體積公式直接求出．(2)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，先求再去．【例4】如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為()A．5π B．6πC．20π D．10π【解析】用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.變式1：圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16eq\r(2)π，則圓錐的體積是()A.eq\f(64π,3) B.eq\f(128π,3)C．64π D．128eq\r(2)π【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，∵圓錐的軸截面是等腰直角三角形，∴2r＝eq\r(l2＋l2)，即l＝eq\r(2)r，由題意得，側(cè)面積S側(cè)＝πr·l＝eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，∴r＝4.∴l(xiāng)＝4eq\r(2)，高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝4.∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)π×42×4＝eq\f(64,3)π，故選A.變式2：母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于eq\f(8π,5)，則該圓錐的底面圓的半徑為________，體積為________．【解析】設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，高為h.∵母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于eq\f(8π,5)，∴側(cè)面展開圖的弧長為5×eq\f(8π,5)＝8π.又弧長＝底面周長，即8π＝2πr，∴r＝4，∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(52－42)＝3，∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×42×3＝16π.答案：416π變式3：已知圓錐SO的高為4，體積為4π，則底面半徑r＝________.【解析】設(shè)底面半徑為r，則eq\f(1,3)πr2×4＝4π，解得r＝eq\r(3)，即底面半徑為eq\r(3).變式4：已知某圓臺的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，則這個圓臺的體積是________．【解析】設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r和R，母線長為l，高為h，則S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝π(r＋R)l＝6π，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)π(12＋22＋1×2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)π.考點(diǎn)五球的體積與表面積解題方略：1．求球的體積與表面積的方法(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解．(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.2．球的截面問題的解題技巧(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題．(2)解題時(shí)要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.3．常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時(shí)，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點(diǎn)等．(2)解決此類問題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計(jì)算．【例5】球的體積是eq\f(32π,3)，則此球的表面積是()A．12πB．16πC.eq\f(16π,3) D.eq\f(64π,3)【解析】設(shè)球的半徑為R，則由已知得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，解得R＝2.故球的表面積S表＝4πR2＝16π.變式1：直徑為6的球的表面積和體積分別是()A．144π，144π B．144π，36πC．36π，144π D．36π，36π【解析】半徑R＝3.所以S表＝4πR2＝36π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×27＝36π.故選D.變式2：兩個半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是________.【解析】設(shè)大球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，所以R＝eq\r(3,2).變式3：一平面截一球得到直徑為2eq\r(5)cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm，則該球的體積是()A．12πcm3 B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3 D．108πcm3【解析】設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示．在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r(5)cm，OO1＝2cm，∴球的半徑R＝OA＝eq\r(22＋\r(5)2)＝3(cm)，∴球的體積V＝eq\f(4,3)×π×33＝36π(cm3)．變式4：已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面積．【解析】設(shè)截面圓心為O′，球心為O，連接O′A，OA，OO′，設(shè)球半徑為R，因?yàn)镺′A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3).在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＋eq\f(1,4)R2，所以R＝eq\f(4,3)，所以S球＝4πR2＝eq\f(64,9)π.變式5：圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm，有一個實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個鐵球，測得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，則這個鐵球的表面積為________cm2.【解析】設(shè)該鐵球的半徑為r，則由題意得eq\f(4,3)πr3＝π×102×eq\f(5,3)，解得r3＝53.∴r＝5.∴這個鐵球的表面積S＝4π×52＝100π(cm2)．答案：100π變式6：長方體的一個頂點(diǎn)處的三條棱長分別是eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(6)，這個長方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，這個球的表面積是()A．12π B．18πC．36π D．6π【解析】由題意可知，該長方體的體對角線即為球的直徑，其長度為2eq\r(3)，從而球的半徑為eq\r(3)，球表面積為12π.故選A.變式7：圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為________．【解析】如圖，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以O(shè)A＝5，所以球的表面積為100π.變式8：表面積為Q的多面體的每一個面都與表面積為64π的球相切，則這個多面體的體積為()A.eq\f(1,3)Q B．QC.eq\f(4,3)Q D．2Q【解析】4πR2＝64π?R＝4，∴V＝eq\f(1,3)QR＝eq\f(4,3)Q.故選C.變式9：將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2) D.eq\f(π,6)【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).故選A.變式10：一飛行昆蟲被長為12cm的細(xì)繩綁在房間一角，則飛蟲活動范圍的體積為()A．144πcm3 B．288πcm3C．576πcm3 D．864πcm3【解析】飛蟲活動的范圍是以墻角為球心，半徑為12cm的球在房間內(nèi)的部分，即整個球的eq\f(1,8)，∴飛蟲活動范圍的體積為eq\f(1,8)×eq\f(4,3)×π×123＝288π(cm3)．故選B.【例6】一球與棱長為2的正方體的各個面相切，則該球的體積為________．【解析】由題意可知球是正方體的內(nèi)切球，因此球的半徑為1，其體積為eq\f(4,3)π.變式1：表面積為16π的球的內(nèi)接正方體的體積為()A．8 B.eq\f(16,9)C.eq\f(64\r(3),9) D．16【解析】設(shè)表面積為16π的球的半徑為r，則4πr2＝16π，解得r＝2.設(shè)內(nèi)接正方體的棱長為a，則eq\r(3)a＝2r，所以a＝eq\f(4,\r(3)).所以內(nèi)接正方體的體積V＝a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(3))))3＝eq\f(64\r(3),9).故選C.考點(diǎn)六組合體體積與表面積【例7】某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．【解析】該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).變式1：如圖為長方體與半球拼接的組合體，已知長方體的長、寬、高分別為10,8,15(單位：cm)，球的直徑為5cm，求該組合體的體積和表面積．【解析】根據(jù)該組合體是由一個長方體和一個半球組合而成．由已知可得V長方體＝10×8×15＝1200(cm3)，又V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125,12)π(cm3)，所以所求幾何體體積為V＝V長方體＋V半球＝1200＋eq\f(125,12)π(cm3)．因?yàn)镾長方體全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)，故所求幾何體的表面積S表面積＝S長方體全＋S半球－S半球底＝700＋eq\f(25,4)π(cm2)．變式2：有位油漆工用一把滾筒長度為50cm，橫截面半徑為10cm的刷子給一塊面積為10m2的木板涂油漆，且滾筒刷以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間是多少？(精確到1s)【解析】滾筒刷滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積．因?yàn)閳A柱的側(cè)面積S側(cè)＝2π×0.1×0.5＝0.1π(m2)，且滾筒刷以每秒5周的速度勻速滾動，所以滾筒刷每秒滾過的面積為0.5πm2.所以油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間t＝eq\f(10,0.5π)＝eq\f(20,π)≈6.366(s)．故油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間約是7s.練習(xí)一棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積1、已知四面體S-ABC的棱長為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．【解析】如圖所示，由等邊三角形的面積計(jì)算公式可得：的面積．四面體的表面積為．2、如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.（1）求大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面面積之比；（2）若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.【解析】（1）設(shè)小棱錐的底面邊長為，斜高為，則大棱錐的底面邊長為，斜高為，所以大棱錐的側(cè)面積為，小棱錐的側(cè)面積為，棱臺的側(cè)面積為，所以大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面積之比.（2）因?yàn)樾±忮F的底面邊長為4cm，所以大棱錐的底面邊長為8cm，因?yàn)榇罄忮F的側(cè)棱長為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，所以大棱錐的側(cè)面積為，所以棱臺的側(cè)面積為，棱臺的上，下底面的面積和為，所以棱臺的表面積為.練習(xí)二棱柱、棱錐、棱臺的體積1、一個長方體的三個面的面積分別為eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為()A．6 B.eq\r(6)C．3 D．2eq\r(3)【解析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則xy＝eq\r(2)，yz＝eq\r(3)，xz＝eq\r(6)，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝eq\r(6).故選B.2、已知一個六棱錐的高為10cm，底面是邊長為6cm的正六邊形，求這個六棱錐的體積．【解析】正六邊形可以分成6個相同的等邊三角形，故..3、如圖所示，正方體的棱長為，連接，，，，，得到一個三棱錐．求：（1）三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）三棱錐的體積．【解析】（1）是正方體，，三棱錐的表面積為而正方體的表面積為，故三棱錐的表面積與正方體表面積的比值為（2）三棱錐是完全一樣的．故4、已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積.【解析】如圖所示，在三棱錐中，、分別是上、下底面的中心，、分別是、的中點(diǎn)，連接、、、，則、分別在、上，則是三棱錐的高，記為，是等腰梯形的高，也是三棱錐的斜高，記為，所以；上、下底面面積之和為，由得：，即，又，，在直角梯形中，，則三棱錐的體積.5、如圖，在多面體中，已知是邊長為1的正方形，且△，△均為等邊三角形，，，求該多面體的體積.【解析】如圖，分別過A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，，易得，過點(diǎn)E作于點(diǎn)O，連接，易得，，∴，∴.練習(xí)三圓柱、圓錐、圓臺的表面積1、圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16eq\r(2)π，則圓錐的體積是()A.eq\f(64π,3)B.eq\f(128π,3)C．64πD．128eq\r(2)π【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，∵圓錐的軸截面是等腰直角三角形，∴2r＝eq\r(l2＋l2)，即l＝eq\r(2)r，由題意得，側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，解得r＝4，∴l(xiāng)＝4eq\r(2)，圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝4，∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×42×4＝eq\f(64π,3).故選A.2、圓臺的上、下底面半徑分別為10cm、20cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺的表面積為________cm2.(結(jié)果中保留π)【解析】如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為ccm，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10cm，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以S表面積＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.3、把長、寬分別為4、