專題09-2022年北京高考數(shù)學(xué)滿分限時(shí)題集2

專題09大題限時(shí)練91．如圖，在四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)?、，、，所以、，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫妫桑á瘢┲?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭钦叫?，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；（Ⅲ）因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)槭钦叫?，所以，于是、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，1，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，，所以二面角的余弦值為．2．已知函數(shù)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在區(qū)間的取值范圍．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】見解析【詳解】函數(shù)，選條件①時(shí)，，（Ⅰ）由于，令，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋x條件②時(shí)，，（Ⅰ）由于，令：，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）由于，故，所以，故函數(shù)的值域?yàn)椋x條件③時(shí)，．（Ⅰ）由于，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）由于，所以，故．故的值域?yàn)椋海?．在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學(xué)開展了“優(yōu)化線上教育與學(xué)生線下學(xué)習(xí)相結(jié)合”的教育教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)．為了解某區(qū)教師對(duì)，，，，五類線上教育軟件的使用情況（每位教師都使用這五類教育軟件中的某一類且每位教師只選擇一類教育軟件），從該區(qū)教師中隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表，其中，．教育軟件類型選用教師人數(shù)101530假設(shè)所有教師選擇使用哪類軟件相互獨(dú)立．（Ⅰ）若某校共有300名教師，試估計(jì)該校教師中使用教育軟件或的人數(shù)；（Ⅱ）從該區(qū)教師中隨機(jī)抽取3人，估計(jì)這3人中至少有2人使用教育軟件的概率；（Ⅲ）設(shè)該區(qū)有3000名教師，從中隨機(jī)抽取1人，記該教師使用教育軟件或的概率估計(jì)值為；該區(qū)學(xué)校有600名教師，其中有200人使用教育軟件，100人使用教育軟件，從學(xué)校中隨機(jī)抽取1人，該教師使用教育軟件或的概率值為；從該區(qū)其他教師（除學(xué)校外）中隨機(jī)抽取1人，該教師使用教育軟件或的概率估計(jì)值為．試比較，和之間的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】見解析【詳解】（Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)表知：，若某校共有300名教師，則估計(jì)該校教師中使用教育軟件或的人數(shù)為：（人．（Ⅱ）設(shè)“從該地區(qū)教師中隨機(jī)抽取3人．至不有2人使用教育軟件”為事件，由題意，樣本中100名教師使用教育軟件的人數(shù)為30人，頻率為，由頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)教師中隨機(jī)抽取一名教師，該教師使用軟件的概率為，記被抽取的3人中使用軟件的人數(shù)為，則符合事件的的可能取值為2，3，估計(jì)這3人中至少有2人使用教育軟件的概率為：．（Ⅲ）設(shè)該區(qū)有3000名教師，從中隨機(jī)抽取1人，記該教師使用教育軟件或的概率估計(jì)值為，則，，，．，；該區(qū)學(xué)校有600名教師，其中有200人使用教育軟件，100人使用教育軟件，從學(xué)校中隨機(jī)抽取1人，該教師使用教育軟件或的概率值為，則是部分概率，；從該區(qū)其他教師（除學(xué)校外）中隨機(jī)抽取1人，該教師使用教育軟件或的概率估計(jì)值為．則．4．已知橢圓的離心率為，其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）點(diǎn)為橢圓上除，外的任意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線記為，直線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求與的面積之比．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【詳解】（Ⅰ）由題意，，又，，則．橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)，，則．直線的方程為，取，可得點(diǎn)，直線的斜率為，直線的方程為，又直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，，①，，代入①解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，．故與的面積之比為．5．已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線平行，求的值；（Ⅱ）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），【詳解】（Ⅰ）數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由切線與直線平行，可得（1），即，解得；（Ⅱ）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，可得在恒成立，所以，令，，由，可得，所以當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，可得，故只需，所以的取值范圍是，．6．定義滿足以下兩個(gè)性質(zhì)的有窮數(shù)列，，，，為，4，階“期待數(shù)列”：①；②．（Ⅰ）若等比數(shù)列為4階“期待數(shù)列”，求的公比；（Ⅱ）若等差數(shù)列是階“期待數(shù)列”，2，3，，，是正整數(shù)），求的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為，2，3，，，是不小于2的整數(shù)），求證：．【答案】見解析【詳解】（Ⅰ）依題意，等比數(shù)列為4階“期待數(shù)列”，故數(shù)列滿足①，②．易見，若公比為1，則①式即，不符合題意，故，故①式即，即，故，所以的公比為；（Ⅱ）依題意，等差數(shù)列是階“期待數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列公差為，則數(shù)列滿足①；②．故①式即，即，即．若時(shí)，有，，，，，，，，，則②式即，故，即，得，所以；若時(shí)，有，，，，，，，，，則②式即，故，即，