進(jìn)階04二項(xiàng)式定理必考點(diǎn)綜合專練-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練（2021選擇性必修二）

編者小k君小注：本專輯專為2022年上海高中數(shù)學(xué)課改版滬教版2021必修二、選擇性必修一、選擇性必修二研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計(jì)：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識(shí)難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。進(jìn)階04：二項(xiàng)式定理必考點(diǎn)綜合專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)，則的值為（）A． B．1 C．0 D．1【答案】C【分析】首先采用賦值法，令，代入求值，通分后即得結(jié)果.【詳解】令，,，.故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，涉及系數(shù)和的時(shí)候可以采用賦值法求和，本題意在考查化歸轉(zhuǎn)化和計(jì)算求解能力，屬于中檔題型.2．（2021·上海市金山中學(xué)高二月考）設(shè)，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到，再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，即，故表示直線與截距的倍，根據(jù)圖像知：當(dāng)時(shí)，的最大值為，故.展開式的通項(xiàng)為：，取得到項(xiàng)的系數(shù)為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.3．若能被7整除，則x，n的值可能為（）A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5【答案】C【分析】由二項(xiàng)式定理可得，進(jìn)而可判斷x＝5，n＝4時(shí)，能被7整除.【詳解】當(dāng)x＝5，n＝4時(shí)，(1＋x)n－1＝64－1＝(62－1)(62＋1)＝35×37能被7整除.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理和整除問題，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.4．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）已知，其中為展開式中項(xiàng)的系數(shù)，，則下列說法不正確的有（）A．， B．C． D．是中的最大項(xiàng)【答案】C【分析】依題意，寫出的展開式，再一一判斷即可；【詳解】解：依題意所以由上式可知，選項(xiàng)，正確；展開式中，，的的系數(shù)和為：，而，故，故正確；由式子可得，，故選項(xiàng)不正確．故選：．5．（2021·上海市復(fù)旦中學(xué)高三月考）在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．7【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，求得，再結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求得指定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】因?yàn)樵诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以所以的展開式的通項(xiàng)令，得所以展開式中的系數(shù)為故選：D6．（2021·上海市建平中學(xué)高三月考）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的是第（）項(xiàng)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，利用組合數(shù)的計(jì)算公式，求得該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【詳解】在二項(xiàng)式的展開式中，通項(xiàng)公式為，故第r+1項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，系數(shù)為正，因?yàn)?所以當(dāng)r＝4時(shí)，系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng).故選：C7．（2021·上海師大附中高二期中）設(shè)n是偶數(shù)，，a?b分別表示的展開式中系數(shù)大于0與小于0的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，那么（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理結(jié)合的冪的性質(zhì)得展開式中系數(shù)為實(shí)根的項(xiàng)數(shù)，并確定正負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，得出結(jié)論．【詳解】展開通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式為，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為實(shí)數(shù)，其項(xiàng)，又，，是偶數(shù)，所以正的項(xiàng)有，負(fù)的項(xiàng)有項(xiàng)．即，，所以．故選：B．8．（2021·上海奉賢·一模）已知的二項(xiàng)展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再列式即可計(jì)算得的值.【詳解】依題意，的二項(xiàng)展開式通項(xiàng)：，，于是有：，整理得，即，而，解得，所以的值為8.故選：B9．用表示個(gè)實(shí)數(shù)的和，設(shè)，，其中，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求，再利用二項(xiàng)式定理求解，之后根據(jù)的范圍求極限即可.【詳解】解：∵，∴，∴，∴，又∵，∴∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式系數(shù)和、二項(xiàng)式定理和極限，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10．（2021·上?！の挥袑W(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，共95項(xiàng)，且滿足，則數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)題意有均為整數(shù)，轉(zhuǎn)化為，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)均為非負(fù)整數(shù)，驗(yàn)證當(dāng)、時(shí)和是否為整數(shù).【詳解】解：由得，要使為整數(shù)，必有均為整數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)均為非負(fù)整數(shù)，所以為整數(shù)，共有14個(gè)，當(dāng)時(shí)，，在中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為，同理計(jì)算可得因數(shù)2的個(gè)數(shù)為82，因數(shù)2的個(gè)數(shù)為110，故中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為，從而是整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，同理中因數(shù)2的個(gè)數(shù)小于10，從而不是整數(shù)，因此，整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的思路：（1）要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開；（2）用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開.但要注意：余數(shù)的范圍，，其中余數(shù)是除數(shù)，若利用二項(xiàng)式定理展開變形后，切記余數(shù)不能為負(fù).二、填空題11．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）的二項(xiàng)展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是_________.【答案】160【分析】直接利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)r=3時(shí)，有：.故答案為：16012．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）下列五個(gè)命題中正確的是________（填序號(hào)）．①若為銳角三角形，且滿足，則②在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為③函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱④設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則⑤函數(shù)的最小值為2【答案】①④【分析】根據(jù)解三角形、二項(xiàng)展開式以及函數(shù)與數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，由為銳角三角形，所以，所以，利用正弦定可得，故①正確；的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令可得，項(xiàng)的系數(shù)為，故②錯(cuò)誤；函數(shù)和函數(shù)關(guān)于對稱，而函數(shù)與函數(shù)分別為函數(shù)與函數(shù)向左、向右平移一個(gè)單位，所以函數(shù)與函數(shù)依然關(guān)于直線對稱，故③錯(cuò)誤；，顯然，所以，故④正確；而，此時(shí)，故函數(shù)的最小值為2錯(cuò)誤，即⑤錯(cuò)誤.故答案為：①④13．（2021·上海·閔行中學(xué)高三開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式的展開式中，中間項(xiàng)的系數(shù)為160，則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為______．【答案】729【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)，然后得到中間項(xiàng)的系數(shù)，由此可計(jì)算出的值，采用賦值法令可計(jì)算出各項(xiàng)系數(shù)和.【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，中間項(xiàng)為，令，所以，解得，令，可得各項(xiàng)系數(shù)和為，故答案為：.14．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高三月考）在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為______．（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】28【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，，令，即得解【詳解】由題意，令故常數(shù)項(xiàng)為故答案為：2815．（2021·上海·復(fù)旦附中高三開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則此展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是________【答案】【分析】令可得，可得的值，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)位置等于，求得的值即可求解.【詳解】令可得，解得：，展開式的通項(xiàng)為：，令可得，所以展開式中含項(xiàng)為，所以此展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為：.16．（2021·上?！げ軛疃懈呷谥校┰诘恼归_式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】1120【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為,求出n的值,再寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,當(dāng)時(shí),即可求出的系數(shù)【詳解】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為展開式的通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí),,即則展開式中的系數(shù)為1120故答案為：112017．（2021·上海師大附中高二期中）在的展開式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為___________項(xiàng).【答案】338【分析】求出通項(xiàng)公式，令的系數(shù)為整數(shù)，找出符合的值即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，則，，，也符合，故有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為：338項(xiàng).故答案為：33818．（2021·上海師大附中高二期中）設(shè)則的最小值是___________.【答案】或【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式求得，記，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及二項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】結(jié)合二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得，所以，當(dāng)時(shí)，，記，單調(diào)遞增，也單調(diào)遞增，所以最小值為；當(dāng)時(shí)，，故的最小值是；故答案為：.19．（2021·上海閔行·一模）若的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)a=___________.【答案】【分析】由二項(xiàng)式可得其展開式通項(xiàng)為，結(jié)合已知常數(shù)項(xiàng)求參數(shù)a即可.【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，∴當(dāng)，常數(shù)項(xiàng)為，可得.故答案為：.20．（2021·上海徐匯·一模）設(shè)且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_______．【答案】【分析】據(jù)題意中的和展開式中的項(xiàng)相乘，與中的和展開式中的項(xiàng)相乘的結(jié)果相加，即可得到常數(shù)項(xiàng).【詳解】的通項(xiàng)公式為，，的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：三、解答題21．（2021·上?！らh行中學(xué)高二期末）已知展開式中的項(xiàng)按的升冪排列依次為、、、、、.（1）若，求的值；（2）記，求和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）先求出的表達(dá)式，然后結(jié)合二項(xiàng)式展開式定理的逆用即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，所以，解得；（2）由題意得，所以，所以22．（2021·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期中）在二項(xiàng)式的展開式中，（1）求該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求該二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)；（3）求該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可求得展開式中即可得出結(jié)果；（3）利用二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性結(jié)合不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】（1）二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，令，可得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；（2）令，解得，故展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為；（3）第項(xiàng)的系數(shù)為，所以，解得，所以，該二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.23．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期末）（1）在的二項(xiàng)展開式中，已知的系數(shù)為20，求的值以及所有項(xiàng)系數(shù)之和；（2）求和：．【答案】（1）k=2，1；（2）.【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，由的系數(shù)為20，解出k；令x=1，即可得到所有項(xiàng)系數(shù)之和.（2）令，則，利用二項(xiàng)式定理，即可求出S.【詳解】（1）的展開式的通項(xiàng)公式為：，所以的系數(shù)為，解得：k=2，所以的二項(xiàng)展開式中，令x=1，得到，即所有項(xiàng)系數(shù)之和為1.（2）令，則，所以.24．（2021·上海交大附中高二期中）在的展開式中，把，，，叫做三項(xiàng)式的次系數(shù)列．（1）求的值；（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理，將等式的兩邊分別展開可得左右兩邊的系數(shù)對應(yīng)相等，如，利用上述思想方法，請計(jì)算值；（3）我們都知道方程無實(shí)數(shù)解，對于正整數(shù)你能否計(jì)算：的值（上標(biāo)，，為不超過的3的倍數(shù)，結(jié)果請用含有的代數(shù)式表示）．【答案】（1）13；（2）0；（3）．【分析】（1）由題知，在三項(xiàng)式中，把看做整體，即可參照二項(xiàng)式求得三項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，從而求得的值.（2）由知，，兩邊分別展開可得左右兩邊的系數(shù)對應(yīng)相等，對于，其展開式中不含，即系數(shù)為0，則右側(cè)展開式該項(xiàng)的系數(shù)也應(yīng)為0，從而證得結(jié)果.（3）根據(jù)題意列出楊輝三角形類似的表，找出規(guī)律，則，從而將問題轉(zhuǎn)化為三項(xiàng)式的系數(shù)和，令，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題知，在三項(xiàng)式中，把看做整體，即可參照二項(xiàng)式求得三項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，從而，，故.（2）由知，，兩邊分別展開可得左右兩邊的系數(shù)對應(yīng)相等，對于，其展開式中不含，即系數(shù)為0，則右側(cè)展開式該項(xiàng)的系數(shù)也應(yīng)為0，即.（3）列出楊輝三角形類似的表，，，，則當(dāng)n≥2時(shí)，即三項(xiàng)式的系數(shù)和，令，則

當(dāng)n=1時(shí)，，滿足條件，結(jié)論成立.25．（2021·上海師大附中高二期中）求的展開式中：（1）各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和；（3）系數(shù)最小的項(xiàng).【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）設(shè)，令求解；（2）令，與令得到的兩式相加減求解；（3）的展開式的通項(xiàng)公式為：，將問題轉(zhuǎn)化為求系數(shù)的絕對值的最大值即可.（1）解：設(shè)，令，得；所以的展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為1；（2）令，得，兩式相減得：，兩式相加得：，所以的展開式各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為，；（3）的展開式的通項(xiàng)公式為：，系數(shù)的絕對值為，設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大，則，解得，則，即系數(shù)的絕對值的最大值為，因?yàn)?3為奇數(shù)，所以，即第14項(xiàng)的系數(shù)最小，所以系數(shù)最小的項(xiàng)為26．（2021·上海交大附中高二期中）在的展開式中，把，，，…，