數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練第一講一平面直角坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2x′2+8y′2=0，則曲線C的方程為()A。25x2+36y2=0B。9x2+100y2=0C.10x+24y=0D.x2+y2=0思路解析：將坐標(biāo)直接代入新方程,即可得原來的曲線方程。將直接代入2x′2+8y′2=0,得2(5x)2+8（3y)2=0,即25x2+36y2=0為所求曲線C的方程。答案：A2△ABC中,若BC的長度為4，中線AD的長為3，則A點(diǎn)的軌跡方程是_______.思路解析:取B、C所在直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則B(-2，0）、C（2，0）,設(shè)A(x,y),則D(0，0），所以|AD|=.答案：x2+y2=9(y≠0）3在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。(1）5x+2y=0;（2）x2+y2=1。思路分析：根據(jù)變換公式，分清新舊坐標(biāo)代入即可。解:(1）由伸縮變換，得.將其代入5x+2y=0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5x′+3y′=0.經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線。(2)將代入x2+y2=1，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是=1。經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓。4在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線x2-36y2-8x+12=0變成曲線x′2—y′2—4x′+3=0，求滿足圖象變換的伸縮變換。思路分析：x2-36y2-8x+12=0可化為（）2—9y2=1，①x′2—y′2—4x′+3=0可化為（x′-2)2—y′2=1,②比較①②，可得x′-2=，y′=3y。解:伸縮變換為將曲線x2—36y2—8x+12=0所在的坐標(biāo)系的x軸擴(kuò)大到原來的2倍，y軸伸長到原來的3倍，就可得到曲線x′2—y′2—4x′+3=0的圖象.5已知△ABC，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且有BD∶DC=AE∶EB=CF∶FA。求證：△DEF與△ABC的重心重合.思路分析：根據(jù)三角形的特點(diǎn)建立坐標(biāo)系，利用重心坐標(biāo)公式求解。證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,如圖：設(shè)A（a，b),B(0，0),C(c，0)，由重心G(),設(shè)=λ.則點(diǎn)D(0），E(）,F（).由重心坐標(biāo)公式,可知△DEF的重心G′的坐標(biāo)為：（=（).∴G與G′重合。也就是△DEF和△ABC的重心重合.6已知△ABC的底邊BC長為12，且底邊固定,頂點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn),sinB-sinC=sinA，求點(diǎn)A的軌跡。思路分析：由于頂點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，所以應(yīng)該以底邊為x軸建立坐標(biāo)系，利用正弦定理求解。解:以底邊BC為x軸，底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立xOy坐標(biāo)系，這時(shí)B(—6，0)，C（6，0)，由sinB-sinC=sinA,得b-c=a=6，即｜AC|—|AB|=6.所以,點(diǎn)A的軌跡是以B(-6,0)，C(6，0）為焦點(diǎn)，2a=6的雙曲線的左支。其方程為=1(x〈-3）。綜合·應(yīng)用7如圖1—圖1（1)求點(diǎn)P的軌跡方程；（2)經(jīng)過點(diǎn)C的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn),且點(diǎn)C分所成比等于2∶3,求直線l的方程.思路分析：先根據(jù)圓切線的定義，可得到點(diǎn)P的軌跡是橢圓,然后建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出點(diǎn)P的軌跡方程;根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),列出方程組求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而求出直線方程.解:（1）∵｜PE|=｜PD|，｜BD｜=｜BA｜，|CE|=｜CA｜,∴｜PB|+|PC｜=|PD|+｜DB｜+|CE｜-|PE|=|BD｜+|CE｜=|AB｜+｜CA|=18＞6=|BC｜.∴P點(diǎn)軌跡是以B、C為焦點(diǎn),長軸長等于18的橢圓.以B、C兩點(diǎn)所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則可設(shè)橢圓的方程是=1(a＞b＞0).∵a=9，c=3,∴b2=72.∴P點(diǎn)的軌跡方程是=1(y≠0)。(2）設(shè)M（x1,y1）、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比為，∴∴=1?！啖儆?1，②由①②消去y2,得=1.解得x2=—3，y2=±8，即N(—3，±8)?！嘤蒀、N可得直線的方程是4x+3y—12=0或4x—3y-12=0.8如圖1-1—6,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米,要求通行車輛限高圖1(1）若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小?（半個(gè)橢圓的面積公式為S=lh,柱體體積為底面積乘以高。本題結(jié)果精確到0.1米）思路分析：當(dāng)最大拱高h(yuǎn)為定值時(shí),隧道設(shè)計(jì)的拱寬l即為2a；當(dāng)最大拱高h(yuǎn)為變量時(shí)，可根據(jù)均值定理，得到橢圓面積為最小。解:（1）如圖建立坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11,4.5)，橢圓方程為=1。將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=,l=2a=≈33。3。故隧道的拱寬約為33.3米。(2）由橢圓方程=1,得=1.因?yàn)椤?，即ab≥99，且l=2a，h=b,所以S=lh=.當(dāng)S取最小值時(shí),有=,得a=，b=。此時(shí)l=2a=222≈31.1，h=b≈6。4。故當(dāng)拱高約為6。4米,拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最小。9某河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬8m,一木船寬4m,高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為m,問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時(shí)，木船開始不能通航？思路分析：求拋物線方程時(shí),若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法.本題中影響通航的因素是高度和寬度,而寬度是首要的,據(jù)對(duì)稱性,可取拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),拱橋的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)拋物線方程為x2=-2py（p＞0）,運(yùn)用代定系數(shù)法確定參數(shù)p，問題即可獲解.解：根據(jù)題意,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p＞0)，∵A(4,-5)在拋物線上，∴42=-2p(—5），p=1.6.∴x2=-3。2y(—4≤x≤4）。設(shè)當(dāng)水面BB′上漲到與拋物線拱頂相距h米時(shí)船開始不能通航，這時(shí)木船兩側(cè)與拋物線接觸，于是可設(shè)木船寬BB′的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,y1）,由22＝—3。2y1，得y1＝,h=|y1|+=｜｜+=2（m)。所以當(dāng)水面上漲到與拋物線拱頂相距2m時(shí)，船開始不能通航.10如圖1-1-圖1思路分析：由于橢圓相對(duì)于直角是運(yùn)動(dòng)的,不便找出中心O′相對(duì)于直角的變化規(guī)律.若反過來變更問題的形式,由于直角與橢圓的動(dòng)與靜是相對(duì)的，把橢圓看作是固定的,而與之相切的直角自然就是繞著橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)了.問題就轉(zhuǎn)化為如圖所示的“求橢圓=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡”.解：如圖所示,在坐標(biāo)系xO′y中設(shè)兩條互相垂直的切線OE、OF的交點(diǎn)O的坐標(biāo)為（u,v)，當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，設(shè)橢圓=1的切線的斜率為k，則過點(diǎn)O（u,v)的切線方程為y=k(x—u）+v,將其代入橢圓方程并整理可以得到（b2+k2a2）x2-2a2(ku—v）x+a2［（ku—v)2—b2于是有Δ=[—2a2（ku-v）］2-4(b2+k2a2）·a2［(ku-v)2—b化簡(jiǎn)得關(guān)于k的一元二次方程（u2—a2)k2—2uvk+(v2—b2）=0。這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根就是切線OE、OF的斜率。因?yàn)镺E⊥OF,所以兩根