數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)重點、難點1.會分析分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，能知道兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系．2．能解決用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的一些實際問題。重點：1.理解兩個計數(shù)原理的內(nèi)容及它們的區(qū)別．2．兩個計數(shù)原理的應(yīng)用．難點：1。兩個計數(shù)原理的應(yīng)用．2．分類與分步問題的選擇。1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有________種不同的方法．預(yù)習(xí)交流1（1)分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同的方案:在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？（2)分類加法計數(shù)原理的特點有哪些?（3)有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個．若從三個袋子中任取1個小球，有多少種不同的取法?2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有________種不同的方法．預(yù)習(xí)交流2(1)分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法，……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N＝__________種不同的方法．(2)分步乘法計數(shù)原理的特點有哪些？(3)若x∈{1,2，3},y∈{5，6，7}，則x·y的不同值有（)．A．6個B．7個C．8個D．9個3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理關(guān)鍵詞分類分步本質(zhì)每類方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次性的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了,才能完成這件事．各類（步)的關(guān)系各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的，即“分類互斥”.各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性，“獨立”確保不重復(fù)，即“分步互依”.4.用兩個計數(shù)原理解決問題的步驟用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)的問題時,最重要的是開始計算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析——需要分類還是分步．分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理____，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整”-—完成了所有步驟,恰好完成任務(wù),當(dāng)然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)____，得到總數(shù)．答案：1．N＝m＋n預(yù)習(xí)交流1：（1)提示：m1＋m2＋…＋mn(2)提示：①完成一件事有若干個不同的方法，這些方法可以分成n類;②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．（3)提示：15種2．N＝m×n預(yù)習(xí)交流2：（1）提示:m1×m2×…×mn（2)提示：①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可;②完成每一步有若干種方法；③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．(3)提示：D4．求和相乘在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學(xué)困點我的學(xué)疑點一、分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用某校高三共有三個班,各班人數(shù)如下表.男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1）班302050高三（2)班303060高三（3)班352055（1)從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法;(2)從高三（1）班、（2）班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？思路分析：(1)從每個班選1名學(xué)生任學(xué)生會主席都能獨立完成這件事，因此應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理;(2)完成這件事有三類方案,因此也應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理．1．某班有28名男生，20名女生，從中選一名同學(xué)作為數(shù)學(xué)課代表，則不同的選法有（)種．A．28 B．20 C．48 D．2．家住濟(jì)南的小明同學(xué)向往北京的故宮、長城,準(zhǔn)備暑假去參觀旅游，從泉城濟(jì)南到北京一天中有飛機(jī)早、中、晚3個航班,動車組有4個班次，汽車有8個不同班次．則小明乘坐這些交通工具去北京有__________種不同的方法．分類加法計數(shù)原理是涉及完成一件事的不同方法的計數(shù)種類，每一類中的各種方法都是相互獨立的，且每一類方法中的每一種方法都可以獨立地完成這件事，在應(yīng)用該原理解題時，首先要根據(jù)問題的特點，確定好分類的標(biāo)準(zhǔn)．分類時應(yīng)滿足：完成一件事的任何一種方法，必屬于某一類且僅屬于某一類．二、分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用（1）現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座,不同選法的種數(shù)是（）．A．56 B．65 C。eq\f(5×6×5×4×3×2，2） D．6×5×4×3×2(2）已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6,7}，r∈｛8,9}，則方程(x－a）2＋(y－b）2＝r2可表示（）個不同的圓．A．9 B．12 C．8 D．思路分析：確定圓的方程需要分別確定出圓心的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、半徑,可以用分步乘法計數(shù)原理解決．1．小明同學(xué)要從4個不同的人文課外活動小組和5個不同的自然課外活動小組中各選擇一個小組參加，則他有__________種不同的選擇方法．2．圖書館有8本不同的有關(guān)勵志教育的書，任選3本分給3個同學(xué),每人1本，有__________種不同的分法．利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)的一般思路是首先考慮這件事要經(jīng)過哪幾個步驟才能完成,然后找出每一步中有多少種不同的方法,最后求其積,但應(yīng)注意各個步驟是既相互獨立又密切相關(guān)的，都完成后，才能完成整件事．三、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用王華同學(xué)有課外參考書若干本,其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀．（1）若他從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？（2)若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？(3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？思路分析:解決兩個原理的應(yīng)用問題,首先應(yīng)明確所需完成的事情是什么，再分析每一種做法事情是否完成,從而區(qū)分加法原理和乘法原理．1．用1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，可以組成__________個．2．集合A＝｛1,2，－3}，B＝｛－1，－2，3,4}，從A，B中各取1個元素，作為點P(x,y）的坐標(biāo)．（1）可以得到多少個不同的點？（2）這些點中，位于第一象限的有幾個?（1）解決此類綜合題的關(guān)鍵在于區(qū)分該問題是“分類”還是“分步”．首先要有意識地去區(qū)分該問題是“分類”還是“分步”,如果完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是分類；而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是分步．(2)注意運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決既有“分類”又有“分步”的綜合問題時應(yīng)“先分類，后分步”．答案：活動與探究1：解:（1)從每個班選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有3類不同的方案：第1類，從高三（1）班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類,從高三（2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法;第3類,從高三(3）班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席,共有50＋60＋55＝165種不同的選法．(2)從高三（1）班、（2)班男生或高三(3）班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有3類不同的方案:第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法；第2類，從高三（2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類,從高三(3）班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高三（1)班、(2）班男生或高三（3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80種不同的選法．遷移與應(yīng)用：1。C解析:選一名數(shù)學(xué)課代表有2類不同的方案．第1類：從該班的男生中選1名同學(xué)，有28種不同的選法．第2類：從該班的女生中選1名同學(xué)，有20種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，選1名同學(xué)有28＋20＝48種不同的選法．2．15解析：小明去北京共有3類辦法，任選一類都可以獨立完成“去北京"這件事．乘坐飛機(jī)有3種方法，動車組有4種方法，汽車有8種方法，∴共有3＋4＋8＝15種方法．活動與探究2：(1)A解析：要完成選擇聽講座這件事，需要分六步完成，即6名同學(xué)逐個選擇要聽的講座,因為每名同學(xué)均有5種講座可選擇,由分步乘法計數(shù)原理，6位同學(xué)共有5×5×5×5×5×5＝56種不同的選法．(2)D解析：完成表示不同的圓這件事有三步：第一步,確定a有3種不同的選取方法;第二步，確定b有4種不同的選取方法；第三步，確定r有2種不同的方法．由分步乘法計數(shù)原理，方程（x－a)2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圓共有3×4×2＝24(個）．遷移與應(yīng)用：1。20解析：分兩步進(jìn)行：第一步，從人文課外活動小組中選擇一個有4種方法;第二步，從自然課外活動小組中選擇一個有5種方法．∴共有5×4＝20種方法．2．336解析:分三步進(jìn)行：第一步，先分給第一個同學(xué),從8本書中選一本，共有8種方法；第二步，再分給第二個同學(xué)，從剩下的7本中任選1本,共有7種方法；第三步，分給第三個同學(xué)，從剩下的6本中任選1本，共有6種方法．∴不同分法有8×7×6＝336種．活動與探究3：解：（1)完成的事情是帶一本書,無論帶外語書，還是數(shù)學(xué)書、物理書，事情都已完成,從而確定為應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為5＋4＋3＝12(種）．(2）完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)果為5×4×3＝60(種）．（3)選1本外語書和選1本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，有5×4＝20種選法；同樣，選外語書、物理書各1本,有5×3＝15種選法；選數(shù)學(xué)書、物理書各1本，有4×3＝12種選法;即有三類情況，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理,結(jié)果為20＋15＋12＝47(種）．遷移與應(yīng)用：1.15解析：第一類，組成的整數(shù)是一位數(shù)時有1,2，3共3個．第二類,組成的整數(shù)是兩位數(shù)時，先確定十位有3種方法，再確定個位有2種方法,共3×2＝6個．第三類，組成的整數(shù)是三位數(shù)時，依次確定百位，十位，個位分別有3種方法，2種方法，1種方法,共3×2×1＝6個．所以由分類加法計數(shù)原理，共有3＋6＋6＝15個整數(shù)．2．解:(1)可分為兩類，A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y,B中元素為x，共得到3×4＋4×3＝24個不同的點．（2）第一象限內(nèi)的點，即x，y均為正數(shù),所以只能取A,B中的正數(shù)，共有2×2＋2×2＝8個不同的點．1．為了準(zhǔn)備晚飯,小張找出了3種冷凍蔬菜，5種罐裝蔬菜和4種新鮮蔬菜，如果晚飯時小張只吃1種蔬菜，那么共有不同的選擇種數(shù)為（)．A．3 B．5 C．12 D．2．5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，則不同的報名方法共有（)．A．10種 B．20種 C．25種 D．32種3．某體育館有8個門供球迷出入，某球迷從其中一門進(jìn)入，另一門走出,則不同的進(jìn)出方法有(）．A．16種 B．56種 C．64種 D．72種4．已知集合A＝｛0，3，4｝，B＝｛1,2，7,8}，集合C＝{x|x∈A，或x∈B}，則當(dāng)集合C中有且只有一個元素時,C的情況有__________種．5．甲、乙、丙3個班各有三好學(xué)生3,5，2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選2名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會，共有__________種不同的推選方法．答案：1．C解析:選一種蔬菜有3類，分別有3，5，4種方法，∴不同的選擇有3＋5＋4＝12種方法．2．D解析：完成這件事共分5步,即每個同學(xué)均報完一個小組才結(jié)束,每人有2種選擇方法，故共有2×2×2×2×2＝32種不同選擇．3．B解析：分兩步進(jìn)行：第一步，選一門進(jìn)入有8種方法；第二步,從剩下的門中選擇一門走出有7種方法,共8×7＝56種方法．4．