專題24 軸對(duì)稱變換（含折疊）問題（解析板）

一、選擇題1.（黔東南）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長(zhǎng)為【】A．6B．12C．D．故選D．考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.翻折對(duì)稱的性質(zhì)；3.矩形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.方程思想的應(yīng)用．2.（襄陽）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接BP交EF于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是【】A．①②B．②③C．①③D．①④故選D．考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.矩形的性質(zhì)；3.含30度角直角三角形的判定和性質(zhì)；4.等邊三角形的判定.3.（新疆、兵團(tuán)）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED，EC為折痕將兩個(gè)角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點(diǎn)A，B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處．若AD=3，BC=5，則EF的值是【】A．B．C．D．∴．故選A．考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.折疊對(duì)稱的性質(zhì)；3.矩形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理.4.（舟山）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將這張紙片折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)G處，折痕為AH．若HG的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為【】(A)2cm(B)cm(C)4cm(D)cm考點(diǎn)：1.折疊問題；2.矩形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.方程思想的應(yīng)用.二、填空題1.（畢節(jié)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，點(diǎn)E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，則BE的長(zhǎng)為▲．【答案】．【解析】試題分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴.由折疊的性質(zhì)得：BE=BE′，AB=AB′，設(shè)BE=x，則B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=．∴BE的長(zhǎng)為．考點(diǎn)：1.折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應(yīng)用.2.（黔東南）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為▲．【答案】.【解析】考點(diǎn)：1.軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短路線問題）；2.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；3.勾股定理.3.（河南）如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為▲.【答案】或.【解析】當(dāng)BN=D'N=3時(shí)，，∴；當(dāng)BN=D'N=4時(shí)，，∴.∵DE=D'E，∴DE的長(zhǎng)為或.考點(diǎn)：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.角平分線的性質(zhì)；4.正方形和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想和分類思想的應(yīng)用.4.（孝感）如圖，已知矩形ABCD，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE、BE，若△ABE是等邊三角形，則＝▲．∴，.∴.考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.折疊的性質(zhì)；4.矩形的性質(zhì)；5.等邊三角形的性質(zhì)．5.（張家界）已知點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則=▲．【答案】0.【解析】試題分析：關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此，∵點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴.考點(diǎn)：1.關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2.二元一次方程組的應(yīng)用；3.求代數(shù)式的值.6.（張家界）如圖，AB、CD是⊙O兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于E,CD⊥MN于點(diǎn)F,P為EF上任意一點(diǎn),，則PA+PC的最小值為▲．【答案】.【解析】考點(diǎn)：1.軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短路線問題）；2.勾股定理；3.垂徑定理．7.（揚(yáng)州）如圖，的中位線，把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若A、F兩點(diǎn)間的距離是，則的面積為_______.考點(diǎn)：1.折疊問題；2.三角形中位線性質(zhì).8.（赤峰）如圖，E是矩形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊到△AEF，F(xiàn)在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交DC于G點(diǎn)，若∠AEB=550，則∠DAF的度數(shù)為▲．【答案】20°．【解析】考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.矩形的性質(zhì)；3.直角三角形兩銳角的關(guān)系．9.（上海）如圖，已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE＝2CE，將矩形沿著過點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C′、D′處，且點(diǎn)C′、D′、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，D′F與BE交于點(diǎn)G．設(shè)AB＝t，那么△EFG的周長(zhǎng)為______________（用含t的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】考點(diǎn)：1.折疊問題；2.矩形的判定和性質(zhì)；3.含30度直角三角形的判定和性質(zhì)；4.等邊三角形的判定和性質(zhì).10.（成都）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C.則A′C長(zhǎng)度的最小值是▲.【答案】.【解析】考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)和折疊問題；2.菱形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)定義；4.特殊角的三角函數(shù)值；5.三角形邊角關(guān)系；6.勾股定理；7.折疊對(duì)稱的性質(zhì).11.（舟山）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為；③當(dāng)AD＝2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則AD＝；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是▲．【答案】①③⑤.【解析】∴線段EF的最小值為.結(jié)論②錯(cuò)誤.③如圖，連接CD，CO，∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°.∴△AOB是等邊三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.∴當(dāng)AD＝2時(shí)，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.∵根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.∴EF與半圓相切.結(jié)論③正確.④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則點(diǎn)D，F(xiàn)重合于點(diǎn)B，AD=AB=8.結(jié)論④錯(cuò)誤.⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃學(xué)科網(wǎng)過的面積是△ABC面積的2倍，為.結(jié)論⑤正確.綜上所述，結(jié)論正確的是①③⑤.考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)和軸對(duì)稱問題；2.軸對(duì)稱的性質(zhì)；3.垂直線段的性質(zhì)；4.圓周角定理；5.含30度角直角三角形的性質(zhì)；6.等邊三角形的性質(zhì)；7.切線的判定.三、解答題1.（福州）（每小題7分，共14分）（1）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求證：∠A=∠D.（2）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形所組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格上.①的值是▲；②畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)），連接AA1，BB1，并計(jì)算梯形AA1B1B的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②作圖見解析，20.【解析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：AA1=2，BB1=8，高BC=4.∴.考點(diǎn)：1.全等三角形的判定和性質(zhì)；2.網(wǎng)格問題；3.勾股定理；4.銳角三角函數(shù)定義；5.作圖-軸對(duì)稱變換．2.（梅州）（本題滿分11分）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C.（1）直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得MD+MC的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.試題解析：（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)（2）如圖，連接AC，則AC與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)M即為所求.設(shè)直線AC的解析式為，則，解得.（3）存在，分兩種情況：①如圖，當(dāng)BC為梯形的底邊時(shí)，點(diǎn)P與D重合時(shí)，四邊形ADCB是梯形，此時(shí)點(diǎn)P為(－2，0).②如圖，當(dāng)BC為梯形的腰時(shí)，過點(diǎn)C作CP//AB，與拋物線交于點(diǎn)P，∵點(diǎn)C，B關(guān)于拋物線對(duì)稱，∴B(2，－3)設(shè)直線AB的解析式為，則，解得.∴直線AB的解析式為.∵CP//AB，∴可設(shè)直線CP的解析式為.∵點(diǎn)C在直線CP上，∴.∴直線CP的解析式為.聯(lián)立，解得，∴P(6，6).綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)或(6，6).考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點(diǎn)學(xué)科網(wǎng)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短線路問題）；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6.梯形存在性問題；7.分類思想的應(yīng)用.3.（遵義）（14分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1），C（0，）；（2）存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣1，0）；（3）四邊形APDQ為菱形，D點(diǎn)坐標(biāo)為．【解析】令x=0，得y=，∴C（0，）．（2）存在．如答圖1，過點(diǎn)Q作QD⊥OA于D，此時(shí)QD∥OC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC=，AQ=4．∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣1，0）．（3）四邊形APDQ為菱形，D點(diǎn)坐標(biāo)為．理由如下：如圖2，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四邊形AQDP為菱形.∵FQ∥OC，∴△AFQ∽△AOC.∴，即.∴AF=，F(xiàn)Q=，∴Q.∵DQ=AP=t，∴D.∵D在二次函數(shù)上，∴，解得t=或t=0（與A重合，舍去）.∴D．考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.雙動(dòng)點(diǎn)和折疊問題；3.等腰三角形存在性問題；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.勾股定理；6.相似三角形的減少性質(zhì)；7.分類思想和方程思想的應(yīng)用．4.（河北）(本小題滿分11分)如圖，優(yōu)弧所在⊙O的半徑為2，AB=點(diǎn)P為優(yōu)弧上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A,B重合）將圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A'.（1）點(diǎn)O到弦AB的距離是▲；當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，∠ABA’=▲0；（2）當(dāng)BA’與⊙O相切時(shí)，如圖所示，求折痕BP的長(zhǎng)；（3）若線段BA’與優(yōu)弧只有一個(gè)公共點(diǎn)B，設(shè)∠ABP=α，確定α的取值范圍.【答案】（1）1，60；（2）；（3）或.【解析】試題分析：（1）如答圖，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∵⊙O的半徑為2，AB=，∴.∴根據(jù)勾股定理，得OH=1，即點(diǎn)O到弦AB的距離是1.∵當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，，∴∠ABP=300.∴根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠ABA’=600.（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OD⊥PB于點(diǎn)D，連接OB，則根據(jù)折疊的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，（3）∵點(diǎn)P，A不重合，∴.由（1）得，當(dāng)α增大到300時(shí)，點(diǎn)A'在優(yōu)弧上，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A'在⊙O內(nèi)，線段BA’與優(yōu)弧只有一個(gè)公共點(diǎn)B.由（2）知，當(dāng)α增大到600時(shí)，BA’與⊙O相切，即線段BA’與優(yōu)弧只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)P，但點(diǎn)P，B不重合，∴.∵，∴.∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A'在⊙O外，線段BA’與優(yōu)弧只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述，α的取值范圍是或.考點(diǎn)：1.折疊問題；2.銳角三角函數(shù)定義；3.特殊角的三角函數(shù)值；4.勾股定理；5.切線的性質(zhì)；6.垂徑定理；7.直線與圓的位置關(guān)系；8.分類思想的應(yīng)用.5.（武漢）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(0，4)、C(3，0)，（1）①畫出線段AC關(guān)于y軸對(duì)稱線段AB；②將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，得到對(duì)應(yīng)線段CD，使得AD∥x軸，請(qǐng)畫出線段CD；（2）若直線y＝kx平分(1)中四邊形ABCD的面積，請(qǐng)直接寫出實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）①作圖見解析；②作圖見解析；（2）．【解析】（2）∵A（0，4），C（3，0），∴平行四邊形ABCD的中心G坐標(biāo)為（，2），代入直線得，，解得．考點(diǎn)：1.作圖（旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱變換）；2.平行四邊形的性質(zhì)；3.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系．6.（張家界）(本小題6分)利用對(duì)稱變換可設(shè)計(jì)出美麗圖案，在方格紙中有一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的四邊形，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，完成下列問題：（1）圖案設(shè)計(jì)：先作出該四邊形關(guān)于直線L成軸對(duì)稱的圖形，再將你所作的圖形和原四邊形繞O點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；（2）完成上述設(shè)計(jì)后，整個(gè)圖案的面積等于▲.【答案】（1）作圖見解析；（2）20.【解析】（2）20.考點(diǎn)：1.網(wǎng)格問題；2.利用旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案；3.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用．7.（揚(yáng)州）（本題12分）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP，OP，OA.①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1:4，求邊AB的長(zhǎng)；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰巧是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；（3）如圖2，在（1）條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M，N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求線段EF的長(zhǎng)度.【答案】（1）①證明見解析；②10；（2）30o；（3）不變，.【解析】∵AD=8，∴CP=4.設(shè)AB=AP=x，則.∵M(jìn)P=MH，ME⊥PB，∴PE=EH.∵EF=EH+FH，∴EF=EP+FB=.由（1）得AB=10，AD=8，∴DP=6.∴PC=4.∴.∴.考點(diǎn)：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.含30度直角三角形的性質(zhì)；6.全等三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想的應(yīng)用.8.（呼和浩特）（7分）如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE與DC的交點(diǎn)為O,連接DE．（1）求證：?ADE≌?CED；（2）求證：DEAC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】考點(diǎn)：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.折疊對(duì)稱的性質(zhì)；4.全等三角形的判定和性質(zhì)；5.平行的判定.9.（呼和浩特）（12分）如圖，已知直線l的解析式為，拋物線y=ax2＋bx＋2經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；（2）已知點(diǎn)P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E,延長(zhǎng)PE與直線l交于點(diǎn)F，請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．【答案】（1），（–4，0），作圖見解析；（2），其中–4<x<0，12，（–2，2）；（3）證明見解析.【解析】∴拋物線的解析式為.∵A（m，0）在拋物線上，∴，解得.∴A（–4，0）.作拋物線的大致圖象如下：（2）∵由題設(shè)知直線l的解析式為，∴.又∵AB=6，∴.∴將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)為，其中–4<x<0.∵，∴S最大=12，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（–2，2）.∴直線l上任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在的直線上 .考點(diǎn)：1.二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；5.二次函數(shù)最值的應(yīng)用.10.（寧夏）（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2考點(diǎn)：作圖（軸對(duì)稱變換和中心對(duì)稱變換）11.（寧夏）（6分）在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B'處，AB'‘和CD相交于點(diǎn)O．求證：OA=OC．考點(diǎn)：1.折疊問題；2.平行四邊形的性質(zhì)；3.等腰三角形的判定.12.（濰坊）（本小題滿分12分）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．（1）求證：AE⊥BF；（2）將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF（如圖2），延長(zhǎng)FP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；（3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（3）∵正方形ABCD的面積為4，∴AB=2.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAE=∠EAM，又由（1）AE⊥BF，∴△ABG≌△ANG（ASA）.∴AN=AB.=2.∵∠BAE=∠GAN，∠ABE=∠AGN=900，∴△ABE∽△AGN.∴.∵在Rt△ABE中，AB=2，BN=1，∴.∴.∴.∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴.∴四邊形GHMN的面積是.考點(diǎn)：1.折疊和旋轉(zhuǎn)問題；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.銳角三角函數(shù)定義；6.勾股定理；7.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.13.（天津）（本小題10分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線l：x＝1，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)M都在直線l上，且點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，直線EA與直線OF交于點(diǎn)P．（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），①當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，如圖，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)F為直線l上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，記點(diǎn)P（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．（2）若點(diǎn)M（1，m），點(diǎn)F（1，t），其中t≠0，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，當(dāng)OQ=PQ時(shí)，試用含t的式子表示m．（2）同（1），易求．則由PQ⊥l于點(diǎn)Q，得點(diǎn)，則，，所以，化簡(jiǎn)得到：，通過解該方程②由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，t）．∴直線OF的解析式為y=tx．設(shè)直線EA的解析式為y=cx+dy（c、d是常數(shù)，且c≠0）．由點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M（1，-1）對(duì)稱，得點(diǎn)E（1，-2-t）．又點(diǎn)A、E在直線EA上，∴，解得.∴直線EA的解析式為：．∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn)，∴，即．∴∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.（2）由（1）可得，直線OF的解析式為y=tx．直線EA的解析式為．∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn)，∴，化簡(jiǎn)，得．考點(diǎn)：1.一次函數(shù)綜合題；2.單動(dòng)點(diǎn)和軸對(duì)稱問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.代數(shù)式的變形．14.（金華）（本題6分）在棋盤中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，三顆棋子A，O，B的位置如圖，它們的坐標(biāo)分別是，（0，0），（1，0）.（1）如圖2，添加棋C子，使四顆棋子A，O，B，C成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出該圖形的對(duì)稱軸；（2）在其他格點(diǎn)位置添加一顆棋子P，使四顆棋子A，O，B，P成為軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)直接寫出棋子P的位置的坐標(biāo).（寫出2個(gè)即可）【答案】（1）作圖見解析（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）.【解析】（2）如圖②，P都能使四顆棋子A，O，B，P成為軸對(duì)稱圖形，故棋子P的位置的坐標(biāo)可以為（答案不唯一）.考點(diǎn)：1.開放型；2.點(diǎn)的坐標(biāo)；3.應(yīng)用和設(shè)計(jì)作圖（軸對(duì)稱圖形的構(gòu)造）；4.分類思想的應(yīng)用.15.（舟山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B坐標(biāo)為(O，2)，直線AB交軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長(zhǎng)為m，△BED的面積為S．（1）當(dāng)時(shí)，求S的值．（2）求S關(guān)于的函數(shù)解析式．（3）①若S＝時(shí)，求的值；②當(dāng)m＞2時(shí)，設(shè)，猜想k與m的數(shù)